Поле наборов

Эта статья требует внимания специалиста по математике . См. Подробности на странице обсуждения . WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2019 г. )

В математике , А поле множеств является математической структурой , состоящей из пары , где представляет собой набор , и представляет собой семейство из подмножеств из называется алгеброй над , которая содержит пустое множество в качестве элемента, и замкнуто относительно операций взятия дополнения в , конечные объединения и конечные пересечения . Эквивалентно, алгебра над представляет собой подмножество из множества мощности из таких , что${\ displaystyle \ langle X, {\ mathcal {F}} \ rangle}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle X \ setminus F \ in {\ mathcal {F}}}$ для всех ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}$
2. ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$(или эквивалентно ), и${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}}}$
3. ${\ Displaystyle F \ чашка G \ in {\ mathcal {F}}}$ для всех ${\ displaystyle F, G \ in {\ mathcal {F}}.}$

По законам Де Моргана , если имеет первые два свойства, то имеет свойство (3) тогда и только тогда, когда пересечение любых двух его членов снова является членом , поэтому последнее условие (3) иногда заменяется следующим: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

2. ${\ Displaystyle F \ cap G \ in {\ mathcal {F}}}$ для всех ${\ displaystyle F, G \ in {\ mathcal {F}}.}$

Другими словами, образует подалгебру в мощности устанавливается булевой алгебре из (с тем же элементом идентичности ). Многие авторы называют себя полем множеств. Элементы называются точками , а элементы называются комплексами и , как говорят , чтобы быть допустимые множествами из .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$

Поля множеств не следует путать с полями в теории колец или с полями в физике . Точно так же термин «алгебра над » используется в смысле булевой алгебры, и его не следует путать с алгебрами над полями или кольцами в теории колец.${\ displaystyle X}$

Поля множеств играют существенную роль в теории представлений булевых алгебр. Каждую булеву алгебру можно представить как поле множеств.

Поля множеств в теории представлений булевых алгебр [ править ]

Каменное изображение [ править ]

Для произвольного множества , его силовой агрегат (или, несколько педантический, пара этого набора и его набора мощности) представляет собой поле множеств. Если конечно (а именно -элемент), то конечно (а именно -элемент). Оказывается, каждое конечное поле множеств (то есть с конечным, хотя может быть бесконечным) допускает представление формы с конечным ; это означает функцию, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между и через обратное изображение : где и (то есть, ).${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle 2 ^ {Y}}$${\ Displaystyle \ langle Y, 2 ^ {Y} \ rangle}$${\ displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle Y,2^{Y}\rangle }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B\in 2^{Y}}$${\displaystyle B\subset Y}$Одно примечательное следствие: количество комплексов, если оно конечно, всегда имеет форму .${\displaystyle 2^{n}}$

С этой целью выбирают набор всех атомов данного поля наборов и определяют с помощью when для точки и комплекса, который является атомом; последнее означает, что непустое подмножество отличного от не может быть сложным.${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=A}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Другими словами: атомы являются разделением ; - соответствующее фактормножество ; и - соответствующая каноническая сюръекция.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

Точно так же любую конечную булеву алгебру можно представить как набор степеней - набор степеней ее набора атомов ; каждый элемент булевой алгебры соответствует набору атомов под ним (объединение которых является элементом). Это представление набора мощности может быть построено в более общем случае для любой полной атомарной булевой алгебры.

В случае булевых алгебр, которые не являются полными и атомарными, мы все же можем обобщить представление набора степеней, рассматривая поля множеств вместо целых множеств степеней. Для этого сначала заметим, что атомы конечной булевой алгебры соответствуют ее ультрафильтрам и что атом находится ниже элемента конечной булевой алгебры тогда и только тогда, когда этот элемент содержится в ультрафильтре, соответствующем атому. Это приводит нас к построению представления булевой алгебры, взяв ее набор ультрафильтров и образуя комплексы, ассоциируя с каждым элементом булевой алгебры набор ультрафильтров, содержащий этот элемент. Эта конструкция действительно дает представление булевой алгебры как поле множеств и известно как представление Стоуна.. Это основа теоремы Стоуна о представлении для булевых алгебр и пример процедуры завершения в теории порядка, основанной на идеалах или фильтрах , аналогичных разрезам Дедекинда .

В качестве альтернативы можно рассматривать набор гомоморфизмов на двухэлементную булеву алгебру и формировать комплексы, связывая каждый элемент булевой алгебры с множеством таких гомоморфизмов, которые отображают его на верхний элемент. (Этот подход эквивалентен, поскольку ультрафильтры булевой алгебры являются в точности прообразами верхних элементов при этих гомоморфизмах.) При таком подходе можно видеть, что стоун-представление можно также рассматривать как обобщение представления конечных булевых алгебр с помощью таблицы истинности .

Разделительные и компактные поля множеств: к двойственности Стоуна [ править ]

• Поле множеств называется разделительным (или дифференцированным ) тогда и только тогда, когда для каждой пары различных точек существует комплекс, содержащий одну, а не другую.
• Поле множеств называется компактным , если и только если для каждого собственного фильтра над пересечением всех комплексов , содержащихся в фильтре не пусто.${\displaystyle X\ }$

Эти определения возникают из рассмотрения топологии, порожденной комплексами поля множеств. (Это просто одна из примечательных топологий на данном наборе точек; часто бывает, что задается другая, может быть, более примечательная топология с совершенно другими свойствами, в частности, не нульмерная). Учитывая поле множеств, комплексы составляют основу топологии. Обозначим через соответствующее топологическое пространство, где - топология, образованная взятием произвольных объединений комплексов. потом${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {T}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$всегда нульмерное пространство .
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда оно сепаративно.${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является компактным пространством с компактными открытыми множествами тогда и только тогда, когда оно компактно.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$является логическим пространством с закрытыми множествами тогда и только тогда, когда оно и разделяющее, и компактное (в этом случае оно описывается как описательное )${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

Стоун-представление булевой алгебры всегда разделительно и компактно; соответствующее булево пространство известно как пространство Стоуна булевой алгебры. Таким образом, закрытые множества Каменного пространства представляют собой именно комплексы Каменного изображения. Область математики, известная как двойственность Стоуна, основана на том факте, что стоун-представление булевой алгебры может быть восстановлено исключительно из соответствующего пространства Стоуна, откуда существует двойственность между булевыми алгебрами и булевыми пространствами.

Поля множеств с дополнительной структурой [ править ]

Сигма-алгебры и пространства с мерой [ править ]

Если алгебра над множеством замкнута относительно счетных объединений (следовательно, также и относительно счетных пересечений ), она называется сигма-алгеброй, а соответствующее поле множеств называется измеримым пространством . Комплексы измеримого пространства называются измеримыми множествами . Лумис - Сикорски теорема дает камень типа двойственность между счетно полных булевых алгебр (которые можно назвать абстрактные алгебры сигма ) и измеримых пространств.

Пространство с мерой называется тройка , где есть измеримое пространство и является мерой , определенная на нем. Если это на самом деле вероятностная мера, мы говорим о вероятностном пространстве и называем лежащее в его основе измеряемое пространство пространством выборок . Точки выборочного пространства называются выборками и представляют потенциальные результаты, в то время как измеримые множества (комплексы) называются событиями и представляют свойства исходов, для которых мы хотим назначить вероятности. (Многие используют термин " пространство образца"${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}},\mu \rangle }$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$просто для базового набора вероятностного пространства, особенно в том случае , когда каждое подмножество является событием.) Измерить пространства и вероятностные пространства играют фундаментальную роль в теории меры и теории вероятностей соответственно.

В приложениях к физике мы часто имеем дело с пространствами мер и вероятностными пространствами, полученными из богатых математических структур, таких как внутренние пространства продуктов или топологические группы, с которыми уже связана топология - это не следует путать с топологией, полученной путем взятия произвольных объединений комплексов. .

Топологические поля множеств [ править ]

Топологическое поле множеств называется тройкой , где это топологическое пространство и является полем множеств, замкнуто относительно закрывающего оператора из или , что эквивалентно под внутренним оператором , т.е. закрытия и внутренность каждый комплекса также комплексом. Другими словами, образует подалгебру внутренней алгебры степенного множества на .${\displaystyle \langle X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {T}}\rangle }$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {T}}\rangle }$

Топологические поля множеств играют фундаментальную роль в теории представлений внутренних алгебр и алгебр Гейтинга . Эти два класса алгебраических структур обеспечивают алгебраическую семантику для модальной логики S4 (формальная математическая абстракция эпистемической логики ) и интуиционистской логики соответственно. Топологические поля множеств, представляющих эти алгебраические структуры, обеспечивают соответствующую топологическую семантику для этих логик.

Каждую внутреннюю алгебру можно представить как топологическое поле множеств с базовой булевой алгеброй внутренней алгебры, соответствующей комплексам топологического поля множеств, а также внутренним и замыкающим операторами внутренней алгебры, соответствующими операторам топологии. Всякая алгебра Гейтингаможет быть представлено топологическим полем множеств с базовой решеткой алгебры Гейтинга, соответствующей решетке комплексов топологического поля множеств, открытых в топологии. Более того, топологическое поле множеств, представляющих алгебру Гейтинга, может быть выбрано так, чтобы открытые комплексы порождали все комплексы как булеву алгебру. Эти связанные представления обеспечивают четко определенный математический аппарат для изучения взаимосвязи между модальностями истинности (возможно, истинным и обязательно истинным, изучаемым в модальной логике) и понятиями доказуемости и опровержимости (изучаемыми в интуиционистской логике) и, таким образом, глубоко связаны с теорией модальности. компаньоны из промежуточных логик .

В топологическом пространстве замкнутые множества тривиально образуют топологическое поле множеств, поскольку каждое замкнутое множество является собственной внутренней частью и замыканием. Стоун-представление булевой алгебры можно рассматривать как такое топологическое поле множеств, однако в целом топология топологического поля множеств может отличаться от топологии, порожденной взятием произвольных объединений комплексов и, в общем, комплексов топологического поля. наборов не обязательно должны быть открытыми или закрытыми в топологии.

Алгебраические поля множеств и поля Стоуна [ править ]

Топологическое поле множеств называется алгебраическим тогда и только тогда, когда существует база его топологии, состоящая из комплексов.

Если топологическое поле множеств компактно и алгебраично, то его топология компактна, а его компактные открытые множества - это в точности открытые комплексы. Более того, открытые комплексы составляют основу топологии.

Топологические поля множеств, которые являются сепаративными, компактными и алгебраическими, называются полями Стоуна и обеспечивают обобщение стоуновского представления булевых алгебр. Для данной внутренней алгебры мы можем сформировать стоун-представление лежащей в ее основе булевой алгебры, а затем расширить его до топологического поля множеств, взяв топологию, порожденную комплексами, соответствующими открытым элементам внутренней алгебры (которые образуют основу топологии ). Таким образом, эти комплексы представляют собой именно открытые комплексы, и конструкция дает Каменное поле, представляющее внутреннюю алгебру - представление Стоуна . (Топология представления Стоуна также известна как топология Мак-Кинси – Тарски Стоуна. после математиков, которые впервые обобщили результат Стоуна для булевых алгебр на внутренние алгебры и не должны путаться с топологией Стоуна базовой булевой алгебры внутренней алгебры, которая будет более тонкой топологией).

Поля предзаказа [ править ]

Поле предпорядок является тройной , где это предупорядоченное множество , и является полем множеств.${\displaystyle \langle X,\leq ,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\leq \rangle }$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$

Как и топологические поля множеств, поля предпорядка играют важную роль в теории представлений внутренних алгебр. Каждую внутреннюю алгебру можно представить в виде поля предпорядка с ее внутренними операторами и операторами замыкания, соответствующими операторам топологии Александрова, индуцированной предпорядком. Другими словами, для всех :${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}$ а также

${\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}$

Подобно топологическим полям множеств, поля предварительного порядка возникают естественным образом в модальной логике, где точки представляют возможные миры в семантике Крипке теории в модальной логике S4 , предварительный порядок представляет отношение доступности в этих возможных мирах в этой семантике, и комплексы представляют собой наборы возможных миров, в которых выполняются отдельные предложения теории, обеспечивая представление алгебры Линденбаума – Тарского теории. Они являются частным случаем общих модальных фреймов, которые представляют собой поля множеств с дополнительным отношением доступности, обеспечивающие представления модальных алгебр.

Алгебраические и канонические поля предварительного заказа [ править ]

Поле предпорядка называется алгебраическим (или жестким ) , если и только если оно имеет набор комплексов , который определяет предпорядок следующим образом: тогда и только тогда , когда для каждого комплекса , предполагает . Поля предпорядка, полученные из теорий S4 , всегда являются алгебраическими, а комплексы, определяющие предпорядок, являются наборами возможных миров, в которых предложения теории, замкнутые по необходимости, выполняются.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle y\in S}$

Сепаративное компактное алгебраическое поле предпорядка называется каноническим . Для внутренней алгебры, заменяя топологию ее стоуновского представления на соответствующий канонический предпорядок (предпорядок специализации), мы получаем представление внутренней алгебры в виде канонического предпорядка. Заменяя предпорядок соответствующей топологией Александрова, мы получаем альтернативное представление внутренней алгебры как топологического поля множеств. (Топология этого « представления Александрова » - это просто биперфлексия Александрова.топологии представления Стоуна.) В то время как представление модальных алгебр с помощью общих модальных фреймов возможно для любой нормальной модальной алгебры, только в случае внутренних алгебр (которые соответствуют модальной логике S4 ) общий модальный фрейм соответствует к топологическому полю множеств таким образом.

Сложные алгебры и поля множеств на реляционных структурах [ править ]

Представление внутренних алгебр полями предпорядка можно обобщить до теоремы о представлении для произвольных (нормальных) булевых алгебр с операторами . Для этого мы рассматриваем структуры, где - реляционная структура, т.е. набор с индексированным семейством отношений, определенным на нем, и является полем множеств. Комплексная алгебра (или алгебра комплексов ) определяется полем множеств на реляционной структуре, является Булева алгебра с операторами${\displaystyle \langle X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \langle X,(R_{i})_{I}\rangle }$${\displaystyle \langle X,{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}}\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=\langle {\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I}\rangle }$

где для всех , если - отношение арности , то - оператор арности и для всех${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\}}$

Эту конструкцию можно обобщить на поля множеств на произвольных алгебраических структурах, имеющих как операторы, так и отношения в качестве операторов, можно рассматривать как частный случай отношений. Если - весь набор степеней, то он называется полной комплексной алгеброй или степенной алгеброй .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$

Каждую (нормальную) булеву алгебру с операторами можно представить как поле множеств на реляционной структуре в том смысле, что она изоморфна комплексной алгебре, соответствующей полю.

(Исторически термин комплекс впервые был использован в случае, когда алгебраическая структура была группой, и берет свое начало в теории групп 19 века, где подмножество группы называлось комплексом .)

См. Также [ править ]

• Топология Александрова
• Алгебра множеств
• Логическое кольцо
• δ-кольцо
• Общий каркас
• Внутренняя алгебра
• λ-система (система Дынкина)
• Список тем по булевой алгебре
• Теория меры
• π-система
• Предварительно заказанное поле
• Теория вероятности
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо
• Каменная двойственность
• Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Ссылки [ править ]

• Голдблатт, Р. , Алгебраическая полимодальная Logic: обзор , логика журнал IGPL, том 8, выпуск 4, стр. 393-450, июль 2000 г.
• Гольдблатт Р., Многообразия комплексных алгебр , Анналы чистой и прикладной логики, 44, с. 173–242, 1989 г.
• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные просторы (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33779-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Натурман, Калифорния, Внутренние алгебры и топология , канд. кандидатская диссертация, факультет математики Кейптаунского университета, 1991 г.
• Патрик Блэкберн, Йохан Ф.К. ван Бентем, редактор Фрэнка Уолтера, Справочник по модальной логике, Том 3 исследований по логике и практическому мышлению , Elsevier, 2006

Внешние ссылки [ править ]

• "Алгебра множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Алгебра множеств , Математическая энциклопедия.