Теория представлений

Теория представлений изучает, как алгебраические структуры «действуют» на объекты. Простой пример - как симметрии правильных многоугольников , состоящие из отражений и поворотов, преобразуют многоугольник.

Теория представлений является ветвью математики , что исследования абстрактных алгебраических структур пути представляющими их элементов , как линейные преобразования из векторных пространств , ^[1] и изучают модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. ^{[2] [3]} В сущности, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы от матриц и их алгебраических операции (например, матрица , сложение , умножение матриц). Теория матриц и линейных операторов хорошо изучена, поэтому представление более абстрактных объектов в терминах знакомых объектов линейной алгебры помогает подбирать свойства и иногда упрощает вычисления в более абстрактных теориях.

В алгебраических объектах поддаются такое описание в включают группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Самая известная из них (и исторически первая) - это теория представлений групп , в которой элементы группы представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповой операцией является матричное умножение. ^{[4] [5]}

Теория представлений - полезный метод, поскольку она сводит проблемы абстрактной алгебры к проблемам линейной алгебры , предмета, который хорошо изучен. ^[6] Кроме того, векторное пространство, на котором представлена ​​группа (например), может быть бесконечномерным, и, допуская, что оно может быть, например, гильбертовым пространством , методы анализа могут быть применены к теории групп. ^{[7] [8]} Теория представлений также важна в физике, потому что, например, она описывает, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему. ^[9]

Теория представлений широко распространена во всех областях математики по двум причинам. Во-первых, приложения теории представлений разнообразны: ^[10] помимо ее влияния на алгебру, теория представлений:

• подсвечивается и обобщает анализ Фурье с помощью гармонического анализа , ^[11]
• связан с геометрией через теорию инвариантов и программу Эрлангена , ^[12]
• оказывает влияние на теорию чисел через автоморфные формы и программу Ленглендса . ^[13]

Во-вторых, существуют разные подходы к теории представлений. Те же объекты можно изучать с помощью методов алгебраической геометрии , теории модулей , аналитической теории чисел , дифференциальной геометрии , теории операторов , алгебраической комбинаторики и топологии . ^[14]

Успех теории представлений привел к многочисленным обобщениям. Один из самых общих - в теории категорий . ^[15] Алгебраические объекты, к которым применяется теория представлений, можно рассматривать как особые виды категорий, а представления как функторы от категории объектов к категории векторных пространств . ^[5] Это описание указывает на два очевидных обобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены более общими категориями; во-вторых, целевая категория векторных пространств может быть заменена другими хорошо понятными категориями.

Определения и понятия [ править ]

Пусть V является векторное пространство над полем F . ^[6] Например, предположим, что V - это R ⁿ или C ⁿ , стандартное n -мерное пространство векторов-столбцов над действительными или комплексными числами , соответственно. В этом случае идея теории представлений состоит в том, чтобы делать абстрактную алгебру конкретно, используя матрицы n × n действительных или комплексных чисел.

Есть три основных вида алгебраических объектов, для которых это возможно: группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . ^{[16] [5]}

• Множество всех обратимых матриц размера n × n является группой при матричном умножении , и теория представлений групп анализирует группу, описывая («представляя») ее элементы в терминах обратимых матриц.
• Сложение и умножение матриц превращают набор всех матриц размера n × n в ассоциативную алгебру, и, следовательно, существует соответствующая теория представлений ассоциативных алгебр .
• Если мы заменим матричное умножение MN коммутатором матриц MN - NM , тогда матрицы размера n × n станут вместо этого алгеброй Ли, что приведет к теории представлений алгебр Ли .

Это обобщает в любую области F и любой векторное пространство V над F , с линейными отображениями замены матриц и композицией , заменяющее умножение матриц: есть группа GL ( V , Р ) из автоморфизмов из V , ассоциативной алгебры Конец _F ( V ) всех эндоморфизмы V и соответствующая алгебра Ли gl ( V , F ).

Определение [ править ]

Есть два способа сказать, что такое представление. ^[17] Первый использует идею действия , обобщая способ воздействия матриц на векторы-столбцы путем умножения матриц. Представлением группы G или (ассоциативной или Ли) алгебры A в векторном пространстве V является отображение

${\ Displaystyle \ Phi \ двоеточие G \ times V \ to V \ quad {\ text {или}} \ quad \ Phi \ двоеточие A \ times V \ to V}$

с двумя свойствами. Во-первых, для любого g в G (или a в A ) отображение

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ Phi (g) \ двоеточие V & \ to V \\ v & \ mapsto \ Phi (g, v) \ end {align}}}$

линейно (над F ). Во-вторых, если мы введем обозначение g · v для ( g , v ), то для любых g ₁ , g ₂ в G и v в V :${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle (1) \ quad е \ cdot v = v}$

${\ Displaystyle (2) \ четырехъядерный g_ {1} \ cdot (g_ {2} \ cdot v) = (g_ {1} g_ {2}) \ cdot v}$

где е есть единичный элемент из G и г ₁ г ₂ является произведением в G . Требование для ассоциативных алгебр аналогично, за исключением того, что ассоциативные алгебры не всегда имеют единичный элемент, и в этом случае уравнение (1) игнорируется. Уравнение (2) является абстрактным выражением ассоциативности умножения матриц. Это не выполняется для коммутатора матриц, а также для коммутатора отсутствует единичный элемент. Следовательно, для алгебр Ли единственное требование состоит в том, чтобы для любых x ₁ , x ₂ в A и v в V :

${\ displaystyle (2 ') \ quad x_ {1} \ cdot (x_ {2} \ cdot v) -x_ {2} \ cdot (x_ {1} \ cdot v) = [x_ {1}, x_ {2 }] \ cdot v}$

где [ x ₁ , x ₂ ] - скобка Ли , обобщающая коммутатор матриц MN - NM .

Второй способ определения представления основан на отображении φ, переводящем g в G в линейное отображение φ ( g ): V → V , которое удовлетворяет

${\ displaystyle \ varphi (g_ {1} g_ {2}) = \ varphi (g_ {1}) \ circ \ varphi (g_ {2}) \ quad {\ text {для всех}} g_ {1}, g_ {2} \ in G}$

и аналогично в других случаях. Этот подход более лаконичен и абстрактен. С этой точки зрения:

• представление группы G в векторном пространстве V - это групповой гомоморфизм φ : G → GL ( V , F ); ^[8]
• представление ассоциативной алгебры A в векторном пространстве V - это гомоморфизм алгебр φ : A → End _F ( V ); ^[8]
• представление алгебры Ли 𝖆 в векторном пространстве V является гомоморфизмом алгебры Ли φ : 𝖆 → gl ( V , F ).

Терминология [ править ]

Векторное пространство V называется пространством представления φ, а его размерность (если она конечна) называется размерностью представления (иногда степенью , как в ^[18] ). Также общепринято называть V самим представлением, когда гомоморфизм φ ясен из контекста; в противном случае обозначение ( V , φ ) можно использовать для обозначения представления.

Если V имеет конечную размерность п , можно выбрать базис для V , чтобы идентифицировать V с F ^п , и , следовательно , восстановить матричное представление с элементами в поле F .

Эффективное или точное представление является представлением ( V , φ ), для которых гомоморфизм φ является инъективен .

Эквивариантные отображения и изоморфизмы [ править ]

Если V и W - векторные пространства над F , снабженные представлениями φ и ψ группы G , то эквивариантное отображение из V в W - это линейное отображение α : V → W такое, что

${\ Displaystyle \ альфа (г \ CDOT v) = г \ CDOT \ альфа (v)}$

для всех г в G и V в V . В терминах φ : G → GL ( V ) и ψ : G → GL ( W ) это означает

${\ Displaystyle \ альфа \ circ \ varphi (g) = \ psi (g) \ circ \ alpha}$

для всех g из G , то есть следующая диаграмма коммутирует :

Аналогично определяются эквивариантные отображения для представлений ассоциативной алгебры или алгебры Ли. Если α обратим, то он называется изоморфизмом , и в этом случае V и W (или, точнее, φ и ψ ) являются изоморфными представлениями , также называемыми эквивалентными представлениями . Эквивариантную карту часто называют переплетающейся картой представлений. Кроме того, в случае группы G это иногда называют G- отображением.

Изоморфные представления для практических целей «одинаковы»; они предоставляют одинаковую информацию о представленной группе или алгебре. Поэтому теория представлений стремится классифицировать представления с точностью до изоморфизма .

Подпредставления, частные и неприводимые представления [ править ]

Если это представление (например) группы , и является линейным подпространством , что сохраняется при действии в том смысле , что для всех и , ( Серра называет их стабильной при ^[18] ), то называется подпредставление : по определение${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\cdot w\in W}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$

где - ограничение на , - представление, а включение - эквивариантное отображение. Фактор - пространство также может быть сделано в представлении . Если имеет ровно два подпредставления, а именно тривиальное подпространство {0} и само себя, то представление называется неприводимым ; если имеет собственное нетривиальное подпредставление, то представление называется приводимым . ^[19] Из определения неприводимого представления следует лемма Шура : эквивариантное отображение${\displaystyle \phi (g)}$${\displaystyle \psi (g)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (W,\phi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\hookrightarrow V}$ ${\displaystyle V/W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \alpha :(V,\psi )\to (V',\psi ')}$

между неприводимыми представлениями является либо нулевое отображение, либо изоморфизм, поскольку его ядро и образ являются подпредставлениями. В частности, когда , это показывает , что Эквивариантные эндоморфизмами о форме ассоциативная алгебра с делением над нижележащей области F . Если F является алгебраически замкнуто , то только эквивариантными эндоморфизмами неприводимого представления являются скалярные кратные единицы. Неприводимые представления являются строительными блоками теории представлений для многих групп: если представление${\displaystyle V=V'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$не является неприводимым, то он построен из подпредставления и частного, которые в некотором смысле «проще»; например, если оно конечномерно, то и подпредставление, и частное имеют меньшую размерность. Есть контрпримеры, когда представление имеет подпредставление, но имеет только одну нетривиальную неприводимую компоненту. Например, аддитивная группа имеет двумерное представление${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Эта группа имеет вектор, фиксированный этим гомоморфизмом, но подпространство дополнения отображается в${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$

давая только одну неприводимую субрепрентацию. Это верно для всех унипотентных групп ^{[20] с. 112} .

Прямые суммы и неразложимые представления [ править ]

If (V,φ) and (W,ψ) are representations of (say) a group G, then the direct sum of V and W is a representation, in a canonical way, via the equation

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

The direct sum of two representations carries no more information about the group G than the two representations do individually. If a representation is the direct sum of two proper nontrivial subrepresentations, it is said to be decomposable. Otherwise, it is said to be indecomposable.

Полная сводимость [ править ]

При благоприятных обстоятельствах всякое конечномерное представление представляет собой прямую сумму неприводимых представлений: такие представления называются полупростыми. В этом случае достаточно понять только неприводимые представления. Примеры, где происходит это явление « полной сводимости », включают конечные группы (см. Теорему Машке ), компактные группы и полупростые алгебры Ли.

В случаях, когда полная сводимость не выполняется, нужно понимать, как неразложимые представления могут быть построены из неприводимых представлений как расширений частного с помощью подпредставления.

Тензорные произведения представлений [ править ]

Предположим, и являются представлениями группы . Тогда мы можем сформировать представление группы G, действующей в векторном пространстве тензорного произведения, следующим образом: ^[21]${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$.

Если и являются представлениями алгебры Ли, то правильной формулой для использования будет ^[22]${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$.

Этот продукт можно распознать как сопродукт на коалгебре . В общем, тензорное произведение неприводимых представлений не неприводимое; процесс разложения тензорного произведения в виде прямой суммы неприводимых представлений известен как теория Клебша – Гордана .

В случае теории представлений группы SU (2) (или, что эквивалентно, ее комплексифицированной алгебры Ли ) разложение легко вычисляется. ^[23] Неприводимые представления помечаются параметром, который является неотрицательным целым или полуцелым числом; тогда представление имеет размер . Предположим, мы берем тензорное произведение представления двух представлений, с метками и где мы предполагаем . Затем тензорное произведение разлагается как прямая сумма одной копии каждого представления с меткой , где изменяется от до с шагом 1. Если, например ,, то значения${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 2l+1}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2},}$${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$${\displaystyle l}$которые встречаются: 0, 1 и 2. Таким образом, тензорное произведение размерности разлагается как прямая сумма одномерного представления , трехмерного представления и пятимерного представления .${\displaystyle 3\times 3=9}$${\displaystyle (l=0),}$${\displaystyle (l=1),}$${\displaystyle (l=2)}$

Филиалы и темы [ править ]

Теория представлений отличается обилием ветвей и разнообразием подходов к изучению представлений групп и алгебр. Хотя все теории имеют общие уже рассмотренные основные концепции, они значительно различаются в деталях. Отличия минимум в 3 раза:

1. Теория представлений зависит от типа представляемого алгебраического объекта. Существует несколько различных классов групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли, и все их теории представлений имеют индивидуальный оттенок.
2. Теория представлений зависит от природы векторного пространства, в котором представлен алгебраический объект. Наиболее важное различие между конечномерными и бесконечномерными представлениями. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство гильбертовым , банаховым и т. Д.). Дополнительные алгебраические структуры также могут быть введены в конечномерном случае.
3. Теория представлений зависит от типа поля, над которым задано векторное пространство. Наиболее важными случаями являются поле комплексных чисел, поле действительных чисел, конечные поля и поля p-адических чисел . Дополнительные трудности возникают для полей положительной характеристики и для полей, не алгебраически замкнутых .

Конечные группы [ править ]

Представления групп - очень важный инструмент при изучении конечных групп. ^[24] Они также возникают в приложениях теории конечных групп к геометрии и кристаллографии . ^[25] Представления конечных групп демонстрируют многие особенности общей теории и указывают путь к другим разделам и темам в теории представлений.

Over a field of characteristic zero, the representation of a finite group G has a number of convenient properties. First, the representations of G are semisimple (completely reducible). This is a consequence of Maschke's theorem, which states that any subrepresentation V of a G-representation W has a G-invariant complement. One proof is to choose any projection π from W to V and replace it by its average π_G defined by

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π_G is equivariant, and its kernel is the required complement.

Конечномерные G- представления можно понять с помощью теории характеров : характер представления φ : G → GL ( V ) - это классовая функция χ _φ : G → F, определяемая формулой

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

где есть след . Неприводимое представление группы G полностью определяется его характером.${\displaystyle \mathrm {Tr} }$

Maschke's theorem holds more generally for fields of positive characteristic p, such as the finite fields, as long as the prime p is coprime to the order of G. When p and |G| have a common factor, there are G-representations that are not semisimple, which are studied in a subbranch called modular representation theory.

Averaging techniques also show that if F is the real or complex numbers, then any G-representation preserves an inner product ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ on V in the sense that

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

для всех г в G и V , ш в Вт . Следовательно, любое G- представление унитарно .

Унитарные представления автоматически полупросты, так как результат Машке может быть доказан, взяв ортогональное дополнение к подпредставлению. При изучении представлений групп, которые не являются конечными, унитарные представления обеспечивают хорошее обобщение вещественных и комплексных представлений конечной группы.

Такие результаты, как теорема Машке и унитарность, основанная на усреднении, могут быть обобщены на более общие группы путем замены среднего интегралом при условии, что можно определить подходящее понятие интеграла. Это можно сделать для компактных топологических групп (включая компактные группы Ли), используя меру Хаара , и полученная теория известна как абстрактный гармонический анализ .

Над произвольными полями другим классом конечных групп, имеющих хорошую теорию представлений, являются конечные группы лиева типа . Важными примерами являются линейные алгебраические группы над конечными полями. Теория представлений линейных алгебраических групп и групп Ли распространяет эти примеры на бесконечномерные группы, последние тесно связаны с представлениями алгебры Ли . Важность теории характеров для конечных групп имеет аналог в теории весов для представлений групп Ли и алгебр Ли.

Представления конечной группы G также напрямую связаны с представлениями алгебры через групповую алгебру F [ G ], которая представляет собой векторное пространство над F с элементами G в качестве базиса, снабженное операцией умножения, определяемой групповой операцией, линейность , и требование коммутации групповой операции и скалярного умножения.

Модульные представления [ править ]

Модулярные представления конечной группы G - это представления над полем, характеристика которого не взаимно проста с | G |, так что теорема Машке больше не выполняется (поскольку | G | не обратима в F и поэтому на нее нельзя делить). ^[26] Тем не менее Ричард Брауэр распространил большую часть теории характеров на модулярные представления, и эта теория сыграла важную роль в раннем прогрессе в направлении классификации конечных простых групп , особенно для простых групп, характеризация которых не поддалась чисто теоретико-групповым методам, поскольку их силовские 2-подгруппы были «слишком малы». ^[27]

Помимо приложений к теории групп, модульные представления естественным образом возникают в других областях математики , таких как алгебраическая геометрия , теория кодирования , комбинаторика и теория чисел .

Унитарные представления [ править ]

Унитарное представление группы G является линейным представлением φ из G на вещественной или (обычно) комплексное гильбертово пространство V такой , что ф ( г ) представляет собой унитарный оператор для каждого г ∈ G . Такие представления были широко применяются в квантовой механике с 1920 года , благодаря , в частности , под влиянием Вейль , ^[28] , и это вдохновило развитие теории, прежде всего на основе анализа представлений группы Пуанкаре по Юджина Вигнера .^[29] Одним из пионеров в построении общей теории унитарных представлений (для любой группы G, а не только для конкретных групп, полезных в приложениях) был Джордж Макки , а обширная теория была разработана Хариш-Чандрой и другими в 1950-х и 1960-е гг. ^[30]

Основная цель состоит в том, чтобы описать « унитарное двойное », пространство неприводимых унитарных представлений группы G . ^[31] Теория наиболее развита в случае, когда G - локально компактная (хаусдорфова) топологическая группа и представления сильно непрерывны . ^[11] Для G абелева, унитарные двойной просто пространство символов , в то время как для G компактно, то теорема Питера-Вейль показывает , что неприводимые унитарные представления конечномерны и унитарные двойные дискретно. ^[32] Например, еслиG is the circle group S¹, then the characters are given by integers, and the unitary dual is Z.

Для некомпактной группы G вопрос о том, какие представления унитарны, является тонким. Хотя неприводимые унитарные представления должны быть «допустимыми» (как модули Хариш-Чандры ), и легко определить, какие допустимые представления имеют невырожденную инвариантную полуторалинейную форму , трудно определить, когда эта форма является положительно определенной. Эффективное описание унитарной двойственной группы, даже для групп с относительно хорошим поведением, таких как реальные редуктивные группы Ли (обсуждаемые ниже), остается важной открытой проблемой в теории представлений. Она была решена для многих конкретных групп, таких как SL (2, R ) и группа Лоренца . ^[33]

Гармонический анализ [ править ]

Двойственность между круговой группой S ¹ и целыми числами Z или, в более общем смысле, между тором T ⁿ и Z ⁿ хорошо известна в анализе как теория рядов Фурье , и преобразование Фурье аналогичным образом выражает тот факт, что пространство характеров в реальном векторном пространстве - это двойное векторное пространство . Таким образом, теория унитарных представлений и гармонический анализ тесно связаны, и абстрактный гармонический анализ использует эту взаимосвязь, развивая анализ функций на локально компактных топологических группах и связанных пространствах.^[11]

Основная цель - предоставить общую форму преобразования Фурье и теоремы Планшереля . Это делается путем построения меры по унитарным двойной и изоморфизм между регулярным представлением G на пространстве L ² ( G ) от квадратично интегрируемых функций на G и ее представление на пространстве L 2 функций на унитарной двойной. Двойственность Понтрягина и теорема Питера – Вейля достигают этого для абелевой и компактной G соответственно. ^{[32] [34]}

Другой подход включает рассмотрение всех унитарных представлений, а не только неприводимых. Они образуют категорию , и двойственность Таннаки – Крейна позволяет восстановить компактную группу из ее категории унитарных представлений.

Если группа не является ни абелевой, ни компактной, не известна общая теория с аналогом теоремы Планшереля или обращением Фурье, хотя Александр Гротендик расширил двойственность Таннака – Крейна на взаимосвязь между линейными алгебраическими группами и таннакиевыми категориями .

Гармонический анализ также был расширен из анализа функций на группе G функций на однородных пространствах для G . Теория особенно хорошо разработана для симметрических пространств и обеспечивает теорию автоморфных форм (обсуждается ниже).

Группы лжи [ править ]

Группа Ли - это группа, которая также является гладким многообразием . Многие классические группы матриц над действительными или комплексными числами являются группами Ли. ^[35] Многие из групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. ^[9]

Теория представлений групп Ли может быть разработана сначала путем рассмотрения компактных групп, к которым применимы результаты теории компактных представлений. ^[31] Эта теория может быть расширена до конечномерных представлений полупростых групп Ли, используя унитарный прием Вейля : каждая полупростая вещественная группа Ли G имеет комплексификацию, которая является комплексной группой Ли G ^c , и эта комплексная группа Ли имеет максимальный компакт подгруппа K . Конечномерные представления G близко соответствуют таковым K .

Общая группа Ли является полупрямым произведением из разрешимой группы Ли и полупростой группы Ли (The разложение Леви ). ^[36] Классификация представлений разрешимых групп Ли в общем сложна, но часто проста в практических случаях. Представления полупрямых произведений затем могут быть проанализированы с помощью общих результатов, называемых теорией Макки , которая является обобщением методов, используемых в классификации Вигнера представлений группы Пуанкаре.

Алгебры Ли [ править ]

Алгебра Ли над полем F является векторным пространством над F оснащен кососимметрическими операциями билинейной называется скобкой Ли , которая удовлетворяет тождества Якоби . Алгебры Ли возникают, в частности, как касательные пространства к группам Ли в единичном элементе , что приводит к их интерпретации как «бесконечно малые симметрии». ^[36] Важным подходом к теории представлений групп Ли является изучение соответствующей теории представлений алгебр Ли, но представления алгебр Ли также представляют внутренний интерес. ^[37]

Алгебры Ли, как и группы Ли, имеют разложение Леви на полупростые и разрешимые части, причем теория представлений разрешимых алгебр Ли вообще неразрешима. Напротив, конечномерные представления полупростых алгебр Ли полностью поняты после работы Эли Картана . Представление полупростой алгебры Ли анализируется путем выбора подалгебры Картана , которая по существу является общей максимальной подалгеброй алгебры, на которой скобка Ли равна нулю («абелева»). Представление можно разложить на весовые пространства, которые являются собственными подпространствамидля действия и бесконечно малого аналога символов. Затем структура полупростых алгебр Ли сводит анализ представлений к легко понимаемой комбинаторике возможных весов. ^[36]

Бесконечномерные алгебры Ли [ править ]

Существует много классов бесконечномерных алгебр Ли, представления которых изучены. Среди них важным классом являются алгебры Каца – Муди. ^[38] Они названы в честь Виктора Каца и Роберта Муди , которые независимо открыли их. Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли и обладают многими их комбинаторными свойствами. Это означает, что у них есть класс представлений, которые можно понимать так же, как представления полупростых алгебр Ли.

Аффинные алгебры Ли являются частным случаем алгебр Каца – Муди, которые имеют особое значение в математике и теоретической физике , особенно в конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди.

Супералгебры Ли [ править ]

Супералгебры Ли - это обобщения алгебр Ли, в которых основное векторное пространство имеет Z ₂ -градуировку, а свойства кососимметрии и тождества Якоби скобки Ли изменяются знаками. Их теория представлений аналогична теории представлений алгебр Ли. ^[39]

Линейные алгебраические группы [ править ]

Линейные алгебраические группы (или в более общем случае , аффинные групповые схемы ) являются аналогами в алгебраической геометрии групп Ли , но на протяжении более общих полей , чем просто R или C . В частности, над конечными полями они порождают конечные группы лиева типа . Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, которая очень похожа на классификацию групп Ли, их теория представлений довольно отличается (и гораздо менее хорошо изучена) и требует других методов, поскольку топология Зарисского относительно слаба, а методы анализа больше не используются. имеется в наличии. ^[40]

Теория инвариантов [ править ]

Теория инвариантов изучает действия на алгебраических многообразиях с точки зрения их влияния на функции, образующие представления группы. Классически теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций, которые не меняются или инвариантны относительно преобразований из данной линейной группы . Современный подход анализирует разложение этих представлений на неприводимые. ^[41]

Теория инвариантов бесконечных групп неразрывно связана с развитием линейной алгебры , особенно теорий квадратичных форм и определителей . Другой предмет с сильным взаимным влиянием - проективная геометрия , где теория инвариантов может использоваться для организации предмета, и в течение 1960-х Дэвид Мамфорд вдохнул новую жизнь в предмет в форме своей геометрической теории инвариантов . ^[42]

Теория представлений полупростых групп Ли имеет свои корни в инвариантной теории ^[35] и прочных связях между теорией представлений и алгебраической геометрией имеет много параллелей в дифференциальной геометрии, начиная с Феликсом Клейн «s программой Эрлангена и Эли Картанна » s соединениями , которые место группы и симметрия в основе геометрии. ^[43] Современные разработки связывают теорию представлений и теорию инвариантов с такими разными областями, как голономия , дифференциальные операторы и теория нескольких комплексных переменных .

Автоморфные формы и теория чисел [ править ]

Автоморфные формы - это обобщение модульных форм на более общие аналитические функции , возможно, от нескольких сложных переменных , с аналогичными свойствами преобразования. ^[44] Обобщение включает замену модулярной группы PSL 2 ( R ) и выбранной конгруэнтной подгруппы полупростой группой Ли G и дискретной подгруппой Γ . Так же, как модульные формы можно рассматривать как дифференциальные формы на частном верхнего полупространства H = PSL ₂ ( R) / SO (2), автоморфные формы можно рассматривать как дифференциальные формы (или аналогичных объектов) на Г \ G / K , где K является (обычно) в максимальной компактной подгруппы из G . Однако требуется некоторая осторожность, поскольку частное обычно имеет особенности. Фактор полупростой группы Ли по компактной подгруппе является симметрическим пространством, и поэтому теория автоморфных форм тесно связана с гармоническим анализом на симметрических пространствах.

До разработки общей теории, многие важные частные случаи были детально проработаны, в том числе модулярных форм Гильберта и модулярных форм Зигеля . Важные результаты в теории включают формулу следа Сельберга и реализацию Робертом Ленглендсом, что теорема Римана-Роха может быть применена для вычисления размерности пространства автоморфных форм. Последующее понятие «автоморфное представление» оказалось очень полезным с технической точки зрения для случая, когда G - алгебраическая группа , рассматриваемая как адельная алгебраическая группа . В результате возникла целая философия, программа Ленглендса.развился вокруг связи между представлением и теоретико-числовыми свойствами автоморфных форм. ^[45]

Ассоциативные алгебры [ править ]

В каком-то смысле представления ассоциативной алгебры обобщают как представления групп, так и алгебры Ли. Представление группы индуцирует представление соответствующего группового кольца или групповой алгебры , в то время как представления алгебры Ли биективно соответствуют представлениям ее универсальной обертывающей алгебры . Однако теория представлений общих ассоциативных алгебр не обладает всеми хорошими свойствами теории представлений групп и алгебр Ли.

Теория модулей [ править ]

При рассмотрении представлений ассоциативной алгебры можно забыть об основном поле и просто рассматривать ассоциативную алгебру как кольцо, а ее представления как модули. Этот подход на удивление плодотворен: многие результаты теории представлений можно интерпретировать как частные случаи результатов о модулях над кольцом.

Алгебры Хопфа и квантовые группы [ править ]

Алгебры Хопфа предоставляют способ улучшить теорию представлений ассоциативных алгебр, сохраняя при этом теорию представлений групп и алгебр Ли в качестве частных случаев. В частности, тензорное произведение двух представлений является представлением, как и двойственное векторное пространство.

Алгебры Хопфа, связанные с группами, имеют структуру коммутативной алгебры, и поэтому общие алгебры Хопфа известны как квантовые группы , хотя этот термин часто ограничивается некоторыми алгебрами Хопфа, возникающими как деформации групп или их универсальных обертывающих алгебр. Теория представлений квантовых групп добавила удивительные открытия в теорию представлений групп Ли и алгебр Ли, например, с помощью кристаллического базиса Кашивары.

Обобщения [ править ]

Теоретико-множественные представления [ править ]

Представление теоретико-множественный (также известное как действия группы или представление перестановок ) от группы G на множестве X задается функция р из G в X ^X , на множество из функций из X в X , такие , что для всех г ₁ , g ₂ в G и все x в X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

Это условие и аксиомы группы означают , что ρ ( г ) представляет собой взаимно однозначное соответствие (или перестановка ) для всех г в G . Таким образом , мы можем определить , что то же самое представление перестановку быть гомоморфизмом из G в симметрической группы S _X в X .

Представления в других категориях [ править ]

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом; морфизмы в этой категории являются только элементами G . Для произвольной категории С , А представление о G в C является функтор из G в C . Такой функтор выбирает объект X в C и групповой гомоморфизм из G в Aut ( X ), в группу автоморфизмов из X .

В случае, когда C - это Vect _F , категория векторных пространств над полем F , это определение эквивалентно линейному представлению. Точно так же теоретико-множественное представление - это просто представление группы G в категории множеств .

В качестве другого примера рассмотрим категорию топологических пространств , Top . Представления в Top гомоморфизмы от G до гомеоморфизма группы топологического пространства X .

С линейными представлениями тесно связаны два типа представлений:

• проективные представления : в категории проективных пространств . Их можно описать как «линейные представления с точностью до скалярных преобразований».
• аффинные представления : в категории аффинных пространств . Например, евклидова группа аффинно действует в евклидовом пространстве .

Представления категорий [ править ]

Поскольку группы являются категориями, можно также рассмотреть представление других категорий. Самое простое обобщение - это моноиды , которые представляют собой категории с одним объектом. Группы - это моноиды, для которых любой морфизм обратим. Общие моноиды имеют представления в любой категории. В категории множеств это моноидные действия , но моноидные представления в векторных пространствах и других объектах можно изучать.

В более общем плане можно ослабить предположение, что представляемая категория имеет только один объект. В общем, это просто теория функторов между категориями, и о ней мало что можно сказать.

Один частный случай оказал значительное влияние на теорию представлений, а именно на теорию представлений колчанов. ^[15] Колчан - это просто ориентированный граф (с разрешенными петлями и множественными стрелками), но его можно превратить в категорию (а также в алгебру), рассматривая пути в графе. Представления таких категорий / алгебр пролили свет на некоторые аспекты теории представлений, например, позволив в некоторых случаях свести непростые вопросы теории представлений о группе к вопросам полупростой теории представлений о колчане.

См. Также [ править ]

Notes[edit]

Ссылки [ править ]

• Альперин, JL (1986), Теория локальных представлений: модульные представления как введение в теорию локальных представлений конечных групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
• Баргманна, В. (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца", Annals математики , 48 (3): 568-640, DOI : 10,2307 / 1969129 , JSTOR  1969129.
• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0288-5.
• Борель, Арман; Кассельман, В. (1979), Автоморфные формы, представления и L-функции , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1435-2.
• Кертис, Чарльз В .; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
• Gelbart, Стивен (1984), "Элементарный Введение в программу Ленглендса", Бюллетень Американского математического общества , 10 (2): 177-219, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1984-15237-6.
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (1993), Представления и характеры конечных групп , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-44590-0.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
• Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2.
• Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", Advances in Mathematics, 26 (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
• Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор на основе примеров , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4.
• Ким, Шун Кён (1999), Теоретические методы групп и их приложения к молекулам и кристаллам: и приложения к молекулам и кристаллам , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6.
• Кострикин А.И .; Манин, Юрий И. (1997), линейная алгебра и геометрия , Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7.
• Лам, Т. Я. (1998), "Представления конечных групп: сто лет", Уведомления AMS , 45 (3, 4): 361–372 (Часть I) , 465–474 (Часть II).
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.
• Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты в математике и смежных областях (2)], 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, Руководство по ремонту  0214602; MR 0719371 (2-е изд.); MR 1304906 (3-е изд.)
• Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55821-1.
• Питер, Ф .; Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe" , Mathematische Annalen , 97 (1): 737–755, doi : 10.1007 / BF01447892 , S2CID  120013521 , заархивировано с оригинала 2014-08-19.
• Понтрягин, Л. С. (1934), "Теория топологических коммутативных групп", Анналы математики , 35 (2): 361-388, DOI : 10,2307 / 1968438 , JSTOR  1968438.
• Салли, Пол ; Воган, Дэвид А. (1989), Теория представлений и гармонический анализ на полупростых группах Ли , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1526-7.
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909.
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer, ISBN 978-0-387-94732-7.
• Симсон, Дэниел; Сковронски, Анджей; Ассем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7.
• Штернберг, Шломо (1994), Теория групп и физика , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3.
• Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси · Лондон · Сингапур · Гонконг: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
• Вейль, Герман (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (Теория групп и квантовая механика, переведенный Г. П. Робертсон, изд. 1931 г.), С. Хирцель, Лейпциг (переиздано в 1950 г., Дувр), ISBN 978-0-486-60269-1.
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.
• Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551.

External links[edit]

• "Representation theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Alexander Kirillov Jr., An introduction to Lie groups and Lie algebras (2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.
• Kevin Hartnett, (2020), article on representation theory in Quanta magazine