В гармоническом анализе и теории чисел , автоморфная форма является хорошо себя функцией от топологической группы G на комплексные числа (или комплексное векторного пространство ), инвариантные под действием в виде дискретной подгруппы топологической группы. Автоморфные формы являются обобщением идеи периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы.
Модулярные формы - это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL (2, R ) или PSL (2, R ), причем дискретная подгруппа является модулярной группой или одной из ее конгруэнтных подгрупп ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем плане можно использовать адельный подход как способ работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременно. С этой точки зрения автоморфная форма над группой G ( A F ) для алгебраической группы G и поля алгебраических чисел F, является комплексной функцией на G ( A F ), которая инвариантна слева относительно G ( F ) и удовлетворяет некоторым условиям гладкости и роста.
Пуанкаре первым открыл автоморфные формы как обобщения тригонометрических и эллиптических функций . Благодаря гипотезам Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел. [1]
Формулировка [ править ]
Автоморфная форма - это функция F на G (со значениями в некотором фиксированном конечномерном векторном пространстве V в векторнозначном случае), подчиненная трем видам условий:
- преобразовывать при переводе элементами согласно заданному коэффициенту автоморфности j ;
- быть собственной функцией некоторых операторов Казимира на G ; и
- чтобы удовлетворить асимптотическому условию "умеренного роста" функция высоты . [2]
Это первое из них, которое делает F автоморфным , то есть удовлетворяет интересному функциональному уравнению, связывающему F ( g ) с F ( γg ) для . В векторнозначном случае спецификация может включать конечномерное групповое представление ρ, действующее на компоненты, чтобы «скрутить» их. Условие оператора Казимира гласит, что у некоторых лапласианов [ ссылка ] есть собственная функция F ; это гарантирует, что Fобладает превосходными аналитическими свойствами, но действительно ли это комплексно-аналитическая функция, зависит от конкретного случая. Третье условие касается случая, когда G / Γ не компактна, но имеет точки возврата .
Формулировка требует общего понятия фактора автоморфности j для Γ, который является типом 1- коцикла на языке групповых когомологий . Значения j могут быть комплексными числами или фактически комплексными квадратными матрицами, соответствующими возможности векторных автоморфных форм. Условие коцикла, наложенное на фактор автоморфности, можно регулярно проверять, когда j выводится из матрицы Якоби , с помощью цепного правила .
История [ править ]
До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже были значительные разработки автоморфных форм, отличных от модульных. Случай Γ фуксовой группы привлекал внимание еще до 1900 г. (см. Ниже). В модулярных форм Гильберта были предложены (называемые также Гильберта-Блюменталь формы), вскоре после этого, хотя полная теория долго ждать. В модулярных форм Зигеля , для которых G является симплектическая группа , возникла естественным образом из рассмотрения пространств модулей и тета - функций. Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным продолжение идеи автоморфной формы в тех случаях, когда формы действительно комплексно-аналитические. Приблизительно в 1960 г. была проделана большая работа, в частности Илья Пятецкий-Шапиро , для создания такой теории. Теория формулы следа Сельберга , применяемая другими, показала значительную глубину теории. Роберт Ленглендс показал, как (в общем, известно много частных случаев) теорема Римана – Роха может быть применена к вычислению размерностей автоморфных форм; это своего рода апостериорная проверка обоснованности этой идеи. Он также разработал общую теорию рядов Эйзенштейна., что соответствует тому, что в терминах спектральной теории было бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставляя для исследования форму возврата или дискретную часть. С точки зрения теории чисел, куспидные формы были признаны со времен Шриниваса Рамануджана сутью дела.
Автоморфные представления [ править ]
Последующее понятие «автоморфное представление» оказалось очень ценным с технической точки зрения при работе с G как алгебраической группой , рассматриваемой как адельная алгебраическая группа . Он не полностью включает идею автоморфной формы, введенную выше, в том смысле , что адельный подход - это способ иметь дело со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременно. Внутри L 2 пространства для частного от адельной формы G , автоморфная представление является представлением , что бесконечное тензорное произведение представлений ьадических групп , с удельным обертывающимпредставления для бесконечных простых чисел. Один из способов выразить смещение акцента состоит в том, что здесь операторы Гекке фактически находятся на том же уровне, что и операторы Казимира; который является естественным с точки зрения функционального анализа [ править ] , хотя и не так очевидно для теории чисел. Именно эта концепция лежит в основе формулировки философии Ленглендса .
Пуанкаре об открытии и его работе над автоморфными функциями [ править ]
Одним из первых открытий Пуанкаре в математике, относящимся к 1880-м годам, были автоморфные формы. Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазаря Фукса , потому что Фукс был известен как хороший учитель и проводил исследования по дифференциальным уравнениям и теории функций. Фактически Пуанкаре разработал концепцию этих функций в рамках своей докторской диссертации. По определению Пуанкаре автоморфная функция - это функция, аналитическая в своей области определения и инвариантная относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Тогда автоморфные функции обобщают как тригонометрические, так и эллиптические функции .
Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:
- Пятнадцать дней я пытался доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми. Я тогда был очень невежественен; Каждый день я садился за рабочий стол, оставался на час или два, пробовал множество комбинаций и не достигал результата. Однажды вечером, вопреки своему обычаю, я пил черный кофе и не мог уснуть. Идеи росли толпами; Я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары не сцепятся, так сказать, образуя стабильную комбинацию. На следующее утро я установил существование класса фуксовых функций, происходящих из гипергеометрических рядов ; Мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.
См. Также [ править ]
- Автоморфный фактор
- Фактор автоморфности
- Бугорок Маасса
- Автоморфные формы на GL (2)
- Форма Якоби
Заметки [ править ]
- ^ Фридберг, Соломон. «Автоморфные формы: краткое введение» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 6 июня 2013 года . Проверено 10 февраля 2014 .
- ↑ Удар ( 2002 )
Ссылки [ править ]
- А. Н. Паршин (2001) [1994], "Автоморфная форма" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Хенрик Иванец , Спектральные методы автоморфных форм, второе издание , (2002) (том 53 в аспирантуре по математике ), Американское математическое общество, Провиденс, RI ISBN 0-8218-3160-7
- Стивен Гелбарт (1797), «Автоморфные формы на группах Адели», ISBN 9780608066042
- Эта статья включает материал Жюля Анри Пуанкаре о PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Внешние ссылки [ править ]
- Цитаты, связанные с автоморфной формой на Викицитатнике
