Функция высоты - это функция, которая количественно определяет сложность математических объектов. В диофантовой геометрии функции высоты определяют размер решений диофантовых уравнений и обычно являются функциями от набора точек на алгебраических многообразиях (или набора алгебраических многообразий) до действительных чисел . [1]
Например, классическая или наивная высота над рациональными числами обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 3 для координат (3/9, 1/2) ), но в логарифмическом масштабе .
Значимость
Функции высоты позволяют математикам подсчитывать объекты, такие как рациональные точки , количество которых в противном случае бесконечно. Например, множество рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя, когда они выражены наименьшими значениями ) ниже любой данной константы конечно, несмотря на бесконечность множества рациональных чисел. [2] В этом смысле функции высоты могут использоваться для доказательства асимптотических результатов, таких как теорема Бейкера в теории трансцендентных чисел, которая была доказана Аланом Бейкером ( 1966 , 1967a , 1967b ).
В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты в зависимости от их сложности. Например, теорема о подпространстве, доказанная Вольфгангом М. Шмидтом ( 1972 ), демонстрирует, что точки малой высоты (т.е. малой сложности) в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей, и обобщает теорему Зигеля о целых точках и решении S-единицы уравнение . [3]
Функции по высоте имеют решающее значение для доказательств теоремы Морделла-Вейля и теоремы Фалтингсом в по Weil ( 1929 ) и Фалтингсом ( 1983 ) соответственно. Несколько выдающихся нерешенных проблем о высотах рациональных точек на алгебраических многообразиях, такие как гипотезы Манина и гипотезы Войта в , имеют далеко идущие последствия для проблем диофантовых приближений , диофантовых уравнений , арифметической геометрии и математической логики . [4] [5]
Функции высоты в диофантовой геометрии
История
Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вейлем и Дугласом Норткоттом, начиная с 1920-х годов. [6] Нововведениями 1960-х годов стали высота Нерона – Тейта и осознание того, что высоты связаны с проективными представлениями почти так же, как обильные линейные расслоения в других частях алгебраической геометрии . В 1970-е годы Сурен Аракелов развил аракеловские высоты в теории Аракелова . [7] В 1983 году Фалтингс разработал свою теорию высот Фалтингса в доказательстве теоремы Фалтингса. [8]
Наивная высота
Классическая или наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения в однородных координатах . Обычно это логарифмическая шкала, и поэтому ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или количеству битов, необходимых для хранения точки. [9] Обычно он определяется как логарифм максимального абсолютного значения вектора взаимно простых целых чисел, полученного путем умножения на наименьший общий знаменатель . Это может быть использовано для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена. [10]
Наивная высота рационального числа x = p / q (в низшем смысле) равна
- мультипликативная высота [11]
- логарифмическая высота: [12]
Следовательно, наивные мультипликативные и логарифмические высоты 4/10 равны, например, 5 и log (5) .
Наивным высота Н из эллиптической кривой Е определяется у 2 = х 3 + Ах + В определяется как Н (Е) = Log Max (4 | | 3 , 27 | B | 2 ) . [13]
Высота Нерона – Тейта
Нерон-Тэйт высоту или каноническая высоту , является квадратичной формой на группу Морделл-Weil из рациональных точек абелево многообразия , определенного над глобальным полем . Он назван в честь Андре Нерона , который первым определил его как сумму локальных высот [14], и Джона Тейта , который определил его глобально в неопубликованной работе. [15]
Высота Вейля
Высота Вейля определена на проективное многообразие X над числовым полем K , снабженным линейным расслоением L на X . Учитывая очень обширный линейный набор L 0 на X , можно определить функцию высоты, используя наивную функцию высоты h . Поскольку L 0 ' очень обильно, его полная линейная система дает отображение ϕ из X в проективное пространство. Тогда для всех точек p на X определим[16] [17]
Можно записать произвольное линейное расслоение L на X как разность двух очень обильных линейных расслоений L 1 и L 2 на X с точностью до скручивающего пучка Серра O (1) , поэтому можно определить высоту Вейля h L на X относительно в L через(с точностью до O (1) ). [16] [17]
Высота Аракелова
Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, исходящими от метрики Фубини – Штуди на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях . [18] [19] Это обычная высота Вейля с другой метрикой. [20]
Высота опалубки
Высота Фалтингса из абелева многообразия , определенного над числовым полем является мерой его арифметической сложности. Он определяется высотой метризованного линейного пучка . Он был введен Фалтингсом ( 1983 ) в его доказательстве гипотезы Морделла .
Функции высоты в алгебре
Высота многочлена
Для многочлена P степени n, заданного формулой
высота Н ( Р ) определяется как максимальная из величин его коэффициентов: [21]
Аналогичным образом можно определить длину L ( P ) как сумму величин коэффициентов:
Связь с мерой Малера
Малер мера М ( Р ) из Р также является мерой сложности P . [22] Три функции H ( P ), L ( P ) и M ( P ) связаны неравенствами
где - биномиальный коэффициент .
Функции высоты в автоморфных формах
Одним из условий в определении в автоморфной форме на общей линейной группу А. Н. адельной алгебраической группы является умеренным ростом , который является асимптотическим условием на росте функции высоты на общей линейной группе рассматривается в качестве аффинного многообразия . [23]
Смотрите также
- гипотеза abc
- Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
- Эллиптическая гипотеза Лемера
- Постоянная Хита-Брауна – Мороза
- Высота формального группового закона
- Дзета-функция высоты
- Теорема изогении Рейно
- Высота дерева
Рекомендации
- ^ Lang ( 1997 , стр. 43-67)
- ^ Бомбьери и Габлер ( 2006 , стр. 15-21)
- ^ Бомбьери и Габлер ( 2006 , стр. 176-230)
- ^ Войт ( 1987 )
- ^ Фалтингс ( 1991 )
- ^ Вейль ( 1929 )
- ^ Лэнг ( 1988 )
- ^ Фальтингс ( 1983 )
- ^ Бомбьери и Габлер ( 2006 , стр. 15-21)
- ^ Бейкер и Wüstholz ( 2007 , стр. 3)
- ^ planetmath: функция высоты
- ^ вопрос с математическим потоком: средняя высота рациональных точек на кривой
- ^ Каноническая высота на эллиптической кривой в PlanetMath .
- ^ Нерон ( 1965 )
- ↑ Лэнг ( 1997 )
- ^ a b Сильверман ( 1994 , III.10)
- ^ a b Бомбиери и Габлер ( 2006 , разделы 2.2–2.4)
- ^ Бомбьери и Габлер ( 2006 , стр. 66-67)
- ↑ Лэнг ( 1988 , стр. 156–157)
- ^ Фили, Petsche и Прицкер ( 2017 , стр. 441)
- ^ Borwein ( 2002 )
- ↑ Малер ( 1963 )
- ↑ Удар ( 1998 )
Источники
- Бейкер, Алан (1966). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I». Математика. Журнал чистой и прикладной математики . 13 (2): 204–216. DOI : 10.1112 / S0025579300003971 . ISSN 0025-5793 . Руководство по ремонту 0220680 .
- Бейкер, Алан (1967a). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II». Математика. Журнал чистой и прикладной математики . 14 : 102–107. DOI : 10.1112 / S0025579300008068 . ISSN 0025-5793 . Руководство по ремонту 0220680 .
- Бейкер, Алан (1967b). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III». Математика. Журнал чистой и прикладной математики . 14 (2): 220–228. DOI : 10.1112 / S0025579300003843 . ISSN 0025-5793 . Руководство по ремонту 0220680 .
- Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . п. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел . CMS Книги по математике. Springer-Verlag . С. 2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 .
- Удар, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления . Кембриджские исследования в области высшей математики. 55 . Издательство Кембриджского университета. п. 300. ISBN 9780521658188.
- Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0387963111.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
- Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. DOI : 10.1007 / BF01388432 . Руководство по ремонту 0718935 . S2CID 121049418 .
- Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анналы математики . 123 (3): 549–576. DOI : 10.2307 / 2944319 . JSTOR 2944319 . Руководство по ремонту 1109353 .
- Фили, Пол; Петше, Клейтон; Прицкер, Игорь (2017). «Интегралы энергии и малые точки для высоты Аракелова». Archiv der Mathematik . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . DOI : 10.1007 / s00013-017-1080-х . S2CID 119161942 .
- Малер К. (1963). «О двух экстремальных свойствах многочленов» . Иллинойс J. Math . 7 (4): 681–701. DOI : 10.1215 / IJM / 1255645104 . Zbl 0117.04003 .
- Нерон, Андре (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les varétés abéliennes". Аня. математики. (На французском). 82 (2): 249–331. DOI : 10.2307 / 1970644 . JSTOR 1970644 . Руководство по ремонту 0179173 .
- Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым вниманием к сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. 77 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 212 . ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001 .
- Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Уравнения нормальной формы». Анналы математики . Вторая серия. 96 (3): 526–551. DOI : 10.2307 / 1970824 . JSTOR 1970824 . Руководство по ремонту 0314761 .
- Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. Руководство по ремонту 0969124 . Zbl 0667.14001 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- Вайль, Андре (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques" . Acta Mathematica . 52 (1): 281–315. DOI : 10.1007 / BF02592688 . Руководство по ремонту 1555278 .
- Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4612-0851-8.
- Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения стоимости . Конспект лекций по математике. 1239 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. Руководство по ремонту 0883451 . Zbl 0609.14011 .
Внешние ссылки
- Полиномиальная высота в Mathworld