Асимптотический анализ

В математическом анализе , асимптотический анализе , также известный как асимптотики , является методом описания предельного поведения.

В качестве иллюстрации предположим, что нас интересуют свойства функции f ( n ), когда n становится очень большим. Если f ( n ) = n ² + 3 n , то, когда n становится очень большим, член 3 n становится незначимым по сравнению с n ² . Функция F ( п ) называется « асимптотически эквивалентны для п ² , а п  → ∞ ». Часто это обозначается символически как f (n ) ~ n ² , что читается как « f ( n ) асимптотична n ² ».

Примером важного асимптотического результата является теорема о простых числах . Пусть π ( x ) обозначает функцию подсчета простых чисел (которая не связана напрямую с константой pi ), то есть π ( x ) - это количество простых чисел , которые меньше или равны x . Тогда теорема утверждает, что

${\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}.}$

Определение [ править ]

Формально по функциям f ( x ) и g ( x ) мы определяем бинарное отношение

${\ Displaystyle е (х) \ сим г (х) \ quad ({\ text {as}} х \ к \ infty)}$

тогда и только тогда, когда ( de Bruijn 1981 , §1.4)

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Символ ~ - это тильда . Отношение является отношением эквивалентности на множестве функций от x ; функции f и g называются асимптотически эквивалентными . Домен из е и г может быть любое множество , для которого определен предел: например , действительные числа, комплексные числа, целые положительные числа.

То же обозначение используется и для других способов перехода к пределу: например, x  → 0 , x  ↓ 0 , | х | → 0 . Способ перехода к пределу часто не указывается явно, если это ясно из контекста.

Хотя приведенное выше определение широко используется в литературе, проблема, если g ( x ) равна нулю бесконечно часто, когда x стремится к предельному значению. По этой причине некоторые авторы используют альтернативное определение. Альтернативное определение в кратких обозначениях таково : f ~ g тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$

Это определение эквивалентно предыдущему определению, если g ( x ) не равно нулю в некоторой окрестности предельного значения. ^{[1] [2]}

Свойства [ править ]

Если и , то при некоторых мягких условиях имеет место следующее.${\displaystyle f\sim g}$${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, для каждого реального r
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Такие свойства позволяют свободно обмениваться асимптотически эквивалентными функциями во многих алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул [ править ]

• Факториал

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

- это приближение Стирлинга

• Функция разделения

Для положительного целого числа n функция распределения p ( n ) дает количество способов записать целое число n как сумму положительных целых чисел, где порядок слагаемых не учитывается.

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Функция Эйри

Функция Эйри Ai ( x ) является решением дифференциального уравнения   y '' - xy = 0 ; он имеет множество приложений в физике.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Функции Ганкеля

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

Строительство [ править ]

Общие [ править ]

Учитывать:

${\displaystyle h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)}$

где и - аналитические функции с действительными значениями , а - кумулятивная функция распределения .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle F(x)}$

Тогда асимптотика as и асимптотика as .${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

Асимптотика двух разных многочленов [ править ]

Предположим, нам нужна вещественная функция, которая асимптотична as и асимптотична as . потом${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x)}$${\displaystyle x\to (-\infty )}$${\displaystyle (b_{0}+b_{1}x)}$${\displaystyle x\to (+\infty )}$

${\displaystyle h(x)=(a_{0}+a_{1}x)(1-F(x))+(b_{0}+b_{1}x)F(x)}$

сделаю это.

Асимптотическое разложение [ править ]

Асимптотическое разложение некоторой функции F ( х ) на практике выражение этой функции в терминах ряда , то частичные суммы которых не обязательно сходятся, но таким образом, чтобы принимать какие - либо начальную частичную сумму дает асимптотическую формулу для F . Идея состоит в том, что последовательные члены обеспечивают все более точное описание порядка роста f .

В символах, это означает , что мы имеем , но также и для каждых фиксированных к . Ввиду определения символа последнее уравнение означает в небольших обозначениях o , т. Е. Намного меньше, чем${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

Отношение принимает свой полный смысл, если для всех k , что означает форму асимптотической шкалы . В этом случае некоторые авторы могут оскорбительно писать для обозначения утверждения. Однако следует быть осторожным, чтобы это не было стандартным использованием символа и не соответствовало определению, данному в § Определение .${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$${\displaystyle g_{k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\displaystyle \sim }$

В данной ситуации это соотношение фактически следует из объединения шагов k и k −1; вычитая из одного, получаем ie${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

В случае, если асимптотическое разложение не сходится, для любого конкретного значения аргумента будет определенная частичная сумма, которая обеспечивает наилучшее приближение, а добавление дополнительных членов снизит точность. Эта оптимальная частичная сумма обычно будет содержать больше членов по мере приближения аргумента к предельному значению.

Примеры асимптотических разложений [ править ]

• Гамма-функция

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Экспоненциальный интеграл

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$

• Функция ошибки

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$

где (2 n  - 1) !! - двойной факториал .

Пример работы [ править ]

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет принимать значения за пределами области сходимости. Например, мы можем начать с обычной серии

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$

Выражение слева справедливо для всей комплексной плоскости , в то время как правая часть сходится только для . Умножение и интегрирование обеих сторон дает${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$

Интеграл в левой части можно выразить через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части после подстановки можно распознать как гамма-функцию . Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t . Однако, сохраняя t малым и обрезая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению . Подставляя и отмечая, что приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\displaystyle x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Асимптотическое распределение [ править ]

В математической статистике , асимптотическое распределение является гипотетическим распределением , что в некотором смысле «ограничение» распределение последовательности распределений. Распределение - это упорядоченный набор случайных величин Z _i для i = 1, ..., n для некоторого положительного целого числа n . Асимптотическое распределение позволяет i иметь неограниченный диапазон, то есть n бесконечно.

Особый случай асимптотического распределения, когда поздние записи в нуль-то есть Z _я перейти на 0 , как я к бесконечности. Некоторые примеры «асимптотического распределения» относятся только к этому частному случаю.

Это основано на понятии асимптотической функции, которая чисто приближается к постоянному значению ( асимптоте ), когда независимая переменная стремится к бесконечности; "чистый" в этом смысле означает, что для любой желаемой близости эпсилон существует некоторое значение независимой переменной, после которого функция никогда не отличается от константы более чем на эпсилон.

Асимптотой является прямая, кривая приближается , но никогда не встречается или крестов. Неформально можно говорить о кривой, пересекающей асимптоту «на бесконечности», хотя это не точное определение. В уравнении y становится сколь угодно малым по величине с увеличением x .${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

Приложения [ править ]

Асимптотический анализ используется в нескольких математических науках . В статистике , асимптотическая теория дает ограничение приближений распределения вероятностей из выборочных статистических данных , такие как отношения правдоподобия статистики и ожидаемого значение от девиации . Однако асимптотическая теория не предоставляет метода оценки распределений выборочной статистики по конечной выборке. Неасимптотические оценки даются методами теории приближений .

Примеры приложений следующие.

• В прикладной математике асимптотический анализ используется для построения численных методов аппроксимации решений уравнений .
• В математической статистике и теории вероятностей асимптотика используется при анализе долгосрочного или большой выборки поведения случайных величин и оценок.
• в информатике при анализе алгоритмов с учетом производительности алгоритмов.
• поведение физических систем , например статистическая механика .
• в анализе ДТП при выявлении причины ДТП посредством моделирования количества ДТП с большим количеством ДТП за заданное время и пространство.

Асимптотический анализ - это ключевой инструмент для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, возникающих при математическом моделировании явлений реального мира. ^[3] Наглядным примером является вывод уравнений пограничного слоя из полных уравнений Навье-Стокса, управляющих потоком жидкости. Во многих случаях асимптотическое разложение проводится по малому параметру ε : в случае пограничного слоя это безразмерное отношение толщины пограничного слоя к типичному масштабу длины задачи. Действительно, приложения асимптотического анализа в математическом моделировании часто ^[3] сосредоточиться вокруг безразмерного параметра, который был показан или предположительно мал благодаря рассмотрению масштабов рассматриваемой проблемы.

Асимптотические разложения обычно возникают в приближении определенных интегралов ( метод Лапласа , метод перевала , метод градиентного спуска ) или в приближении вероятностных распределений ( серия Эджуорта ). В Фейнмановские диаграммы в квантовой теории поля являются еще одним примером асимптотических разложений , которые часто не сходятся.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бальзер, В. (1994), От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• де Брюйн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы в анализе , Dover Publications , ISBN 9780486642215
• Estrada, R .; Канвал Р.П. (2002), Распределительный подход к асимптотике , Биркхойзер , ISBN 9780817681302
• Миллер, PD (2006), Прикладной асимптотический анализ , Американское математическое общество , ISBN 9780821840788
• Мюррей, JD (1984), Асимптотический анализ , Springer, ISBN 9781461211228
• Париж, РБ; Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса , Cambridge University Press

Внешние ссылки [ править ]

• Асимптотический анализ -  главная страница журнала, который издается IOS Press.
• Статья об анализе временных рядов с использованием асимптотического распределения