Функция Эйри

В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода ) Ai ( x ) - это специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция Ai ( x ) и связанная с ней функция Bi ( x ) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - xy = 0, \, \!}$

известное как уравнение Эйри или уравнение Стокса . Это простейшее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный).

Функция Эйри является решением не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольную потенциальную яму, и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ , когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах .

Функция Эйри также лежит в основе формы интенсивности вблизи направленной оптической каустики , такой как радуга . Исторически именно эта математическая проблема побудила Эйри разработать эту специальную функцию.

Другая функция , также названная в честь Эйри, важна в микроскопии и астрономии ; он описывает узор из-за дифракции и интерференции , создаваемый точечным источником света (который намного меньше предела разрешения микроскопа или телескопа ).

Определения [ править ]

График Ai ( x ) красным и Bi ( x ) синим

Для действительных значений x функция Эйри первого рода может быть определена несобственным интегралом Римана :

${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) = {\ dfrac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} { 3}} + xt \ right) \, dt \ Equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({ \ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt,}$

которое сходится по критерию Дирихле . Для любого действительного числа существует положительное действительное число такое, что функция возрастает, неограничена и выпукла с непрерывной и неограниченной производной на интервале . Сходимость интеграла на этом интервале проверяется критерием Дирихле после подстановки .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$${\ Displaystyle [М, \ infty)}$${\ displaystyle u = {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$

y = Ai ( x ) удовлетворяет уравнению Эйри

${\ displaystyle y '' - xy = 0.}$

Это уравнение имеет два линейно независимых решения. С точностью до скалярного умножения Ai ( x ) является решением, удовлетворяющим условию y → 0 при x → ∞. Стандартным выбором для другого решения является функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi ( x ). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai ( x ) при x → −∞, которое отличается по фазе на π / 2:

${\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}$

Свойства [ править ]

Значения Ai ( x ) и Bi ( x ) и их производные при x = 0 задаются формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Здесь Γ обозначает гамма-функцию . Отсюда следует, что вронскиан Ai ( x ) и Bi ( x ) равен 1 / π.

Когда x положительный, Ai ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально убывающий до нуля, а Bi ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда x отрицателен, Ai ( x ) и Bi ( x ) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны ^[1] в том смысле, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)}$

снова используя несобственный интеграл Римана.

Асимптотические формулы [ править ]

Как объясняется ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции . Асимптотика функций Эйри при | z | стремится к бесконечности при постоянном значении arg ( z ), зависит от arg ( z ): это называется феноменом Стокса . Для | arg ( z ) | <π имеем следующую асимптотическую формулу для Ai ( z ): ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

и аналогичная для Bi ( z ), но применима только тогда, когда | arg ( z ) | <π / 3:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Более точная формула для Ai ( z ) и формула для Bi ( z ), когда π / 3 <| arg ( z ) | <π или, что то же самое, для Ai (- z ) и Bi (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не ноль, равны: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right].\end{aligned}}}$

Когда | arg ( z ) | = 0 это хорошие приближения, но не асимптотические, потому что соотношение между Ai (- z ) или Bi (- z ) и указанным выше приближением стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю. Также доступны асимптотические разложения для этих пределов. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1954) и (Olver, 1974).

Можно также получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π: ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Когда | arg (z) | <π / 3, мы имеем: ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

Аналогично, выражение для Ai '(- z ) и Bi' (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не ноль, равны ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\end{aligned}}}$

Сложные аргументы [ править ]

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

где интеграл ведется по пути C, начинающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом −π / 3 и заканчивающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение y ′ ′ - xy = 0, чтобы расширить Ai ( x ) и Bi ( x ) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai ( x ) все еще действительна в комплексной плоскости, если взято главное значение x ^2/3 и x отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi ( x ) верна, если x находится в секторе { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(π / 3) −δ} для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai (- x ) и Bi (- x ) верны, если x находится в секторе { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(2π / 3) −δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что и Ai ( x ), и Bi ( x ) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai ( x ) не имеет других нулей в комплексной плоскости, а функция Bi ( x ) также имеет бесконечно много нулей в секторе { z ∈ C  : π / 3 <| arg ( z ) | <π / 2}.

Сюжеты [ править ]

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,}$

Связь с другими специальными функциями [ править ]

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Здесь I _{± 1/3} и K _1/3 - решения

${\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

Первая производная функции Эйри равна

${\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).}$

Функции K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов ^[4] (см. Также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)-J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Здесь J _{± 1/3} - решения

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

В функции Секретарский Hi (х) и -gi (х) решить уравнение у '' - ху = 1 / я. Их также можно выразить в терминах функций Эйри:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$

Преобразование Фурье [ править ]

Используя определение функции Эйри Ai ( x ), нетрудно показать, что ее преобразование Фурье задается формулой

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}$

Другие варианты использования термина "функция Эйри" [ править ]

Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо [ править ]

Функция пропускания интерферометра Фабри – Перо также называется функцией Эйри : ^[5]

${\displaystyle T_{e}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}({\frac {\delta }{2}})}},}$

где обе поверхности имеют коэффициент отражения R и

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

является коэффициент утонченность .

Дифракция на круглом отверстии [ править ]

Независимо, как третье значение термина, форма диска Эйри, возникающая в результате дифракции волны на круглой апертуре, иногда также обозначается как функция Эйри (см., Например, здесь ). Этот вид функции тесно связан с функцией Бесселя .

История [ править ]

Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892), который столкнулся с ней в своем раннем исследовании оптики в физике (Эйри, 1838). Обозначение Ai ( x ) было введено Гарольдом Джеффрисом . Эйри стал британским королевским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.

См. Также [ править ]

• Доказательство гипотезы Виттена использовало матричнозначное обобщение функции Эйри.
• Дзета-функция Эйри

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 10» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 446. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустика» , Труды Кембриджского философского общества , University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS ... 6..379A
• Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR  2114198 , архивируются с оригинала на 2010-01-13 , извлекаться 2010-05-14

Внешние ссылки [ править ]

• "Функции Эйри" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри» . MathWorld .
• Страницы функций Wolfram для функций Ai и Bi . Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
• Olver, FWJ (2010), «Эйри и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248