В математике , тест Дирихле является метод тестирования для сходимости в виде ряда . Он назван в честь его автора Питера Густава Лежена Дирихле и был посмертно опубликован в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году [1].
Заявление
Тест утверждает, что если представляет собой последовательность из действительных чисел ипоследовательность комплексных чисел, удовлетворяющая
- является монотонной
- для любого натурального числа N
где M - некоторая постоянная, то ряд
сходится.
Доказательство
Позволять а также .
От суммирования по частям , имеем. Сограничена M и, первое из этих слагаемых стремится к нулю, в виде .
У нас есть, для каждого к ,. Но если уменьшается,
- ,
которая представляет собой телескопическую сумму , равную и поэтому приближается в виде . Таким образом,сходится. И если повышается,
- ,
которая снова является телескопической суммой, равной и поэтому приближается в виде . Таким образом, снова сходится.
Так, сходится также при прямом сравнительном тесте . Сериалсходится также по критерию абсолютной сходимости . Следовательно сходится.
Приложения
Частным случаем теста Дирихле является более часто используемый тест чередующихся серий для случая
Еще одно следствие: сходится всякий раз, когда - убывающая последовательность, стремящаяся к нулю.
Несобственные интегралы
Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается интегрированием по частям. Если интеграл от функции f равномерно ограничен на всех интервалах, а g - монотонно убывающая неотрицательная функция, то интеграл от fg является сходящимся несобственным интегралом.
Заметки
- ^ Демонстрация теории Абеля. Journal de mathématiques pures et appliquées 2-я серия, том 7 (1862), стр. 253–255. Архивировано 21 июля 2011 г.в Wayback Machine .
Рекомендации
- Харди, Г. Х., Курс чистой математики , девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
- Воксман, Уильям Л., Продвинутое исчисление: Введение в современный анализ , Марсель Деккер, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X .