В математике , суммирование по частям превращает суммирование произведений последовательностей в другие сложений, часто упрощает вычисление или (особенно) оценку определенных типов сумм. Ее также называют леммой Абеля или преобразованием Абеля в честь Нильса Хенрика Абеля, который ввел ее в 1826 году [1].
Заявление [ править ]
Предположим, что и - две последовательности . Затем,
Используя оператор прямой разности , его можно более кратко сформулировать как
Суммирование по частям - это аналог интегрирования по частям :
или к формуле суммирования Абеля :
Альтернативное утверждение
которая аналогична формуле интегрирования по частям для семимартингалов .
Хотя приложения почти всегда имеют дело с сходимостью последовательностей, утверждение является чисто алгебраическим и будет работать в любой области . Это также будет работать, когда одна последовательность находится в векторном пространстве , а другая - в соответствующем поле скаляров.
Серия Ньютона [ править ]
Формула иногда приводится в одной из этих - немного отличающихся - форм.
которые представляют собой частный случай ( ) более общего правила
оба являются результатом повторного применения исходной формулы. Вспомогательные величины представляют собой ряды Ньютона :
и
Конкретный результат ( ) - это тождество
Здесь - биномиальный коэффициент .
Метод [ править ]
Для двух данных последовательностей и , при , требуется изучить сумму следующих рядов:
Если мы определим, то для каждого и
Ну наконец то
Этот процесс, называемый преобразованием Абеля, можно использовать для доказательства нескольких критериев сходимости для .
Сходство с интеграцией по частям [ править ]
Формула для интегрирования по частям:
Помимо граничных условий , мы замечаем, что первый интеграл содержит две умноженные функции, одна из которых интегрируется в окончательный интеграл ( становится ), а другая дифференцируется ( становится ).
Процесс преобразования Абеля аналогичен, поскольку одна из двух исходных последовательностей суммируется ( становится ), а другая различается ( становится ).
Приложения [ править ]
- Он используется для доказательства леммы Кронекера , которая, в свою очередь, используется для доказательства версии усиленного закона больших чисел при дисперсионных ограничениях.
- Его можно использовать для доказательства теоремы Никомаха о том, что сумма первых кубиков равна квадрату суммы первых натуральных чисел. [2]
- Суммирование по частям часто используется для доказательства теоремы Абеля и критерия Дирихле .
- Можно также использовать эту технику для доказательства теста Абеля : если - сходящийся ряд и ограниченная монотонная последовательность , то сходится.
Доказательство теста Абеля. Суммирование по частям дает
где а - предел . Как сходится, ограничена независимо от , скажем, . Как до нуля, так и за первые два члена. Третий член обращается в нуль по критерию Коши для . Оставшаяся сумма ограничена
монотонностью , а также стремится к нулю при .
- Используя то же доказательство, что и выше, можно показать, что если
- частичные суммы образуют ограниченную последовательность независимо от ;
- (так что сумма стремится к нулю, как и к бесконечности)
- затем сходится.
В обоих случаях сумма ряда удовлетворяет:
Операторы суммирования по частям для методов конечных разностей высокого порядка [ править ]
Оператор конечных разностей суммирования по частям (SBP) обычно состоит из внутренней схемы с централизованной разностью и определенных граничных шаблонов, которые имитируют поведение соответствующей формулировки по частям. [3] [4] Граничные условия обычно устанавливаются методом одновременной аппроксимации (SAT). [5] Комбинация SBP-SAT представляет собой мощную основу для обработки границ. Этот метод является предпочтительным из-за хорошо доказанной стабильности для длительного моделирования и высокого порядка точности.
См. Также [ править ]
- Сходящийся ряд
- Расходящаяся серия
- Интеграция по частям
- Чезаро суммирование
- Теорема Абеля
- Формула суммы Абеля
Ссылки [ править ]
- ^ Чу, Вэньчан (2007). «Лемма Абеля о суммировании по частям и основных гипергеометрических рядах». Успехи в прикладной математике . 39 (4): 490–514. DOI : 10.1016 / j.aam.2007.02.001 .
- ^ Эдмондс, Шейла М. (1957). «Суммы степеней натуральных чисел». Математический вестник . 41 (337): 187–188. DOI : 10.2307 / 3609189 . JSTOR 3609189 . Руководство по ремонту 0096615 .
- Перейти ↑ Strand, Bo (январь 1994). «Суммирование по частям для конечно-разностных приближений для d / dx». Журнал вычислительной физики . 110 (1): 47–67. DOI : 10,1006 / jcph.1994.1005 .
- ^ Мэттссон, Кен; Нордстрем, янв (сентябрь 2004 г.). «Операторы суммирования по частям для конечно-разностных аппроксимаций вторых производных». Журнал вычислительной физики . 199 (2): 503–540. DOI : 10.1016 / j.jcp.2004.03.001 .
- ^ Карпентер, Марк Х .; Готтлиб, Дэвид; Абарбанель, Саул (апрель 1994 г.). «Устойчивые во времени граничные условия для конечно-разностных схем, решающих гиперболические системы: методология и применение к компактным схемам высокого порядка». Журнал вычислительной физики . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . DOI : 10,1006 / jcph.1994.1057 .
Библиография [ править ]
- Абель, Нилс Хенрик (1826). "Untersuchungen über die Reihe usw". J. Reine Angew. Математика. 1 : 311–339.