В математике , лемма Кронекера (см, например, Ширяев (1996 , лемма IV.3.2)) является результатом об отношениях между сходимостью бесконечных сумм и сходимости последовательностей. Лемма часто используется при доказательстве теорем о суммах независимых случайных величин, таких как строгий закон больших чисел . Лемма названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера .
Лемма
Если бесконечная последовательность действительных чисел такая, что
существует и конечна, то для всех а также что
Доказательство
Позволять обозначают частичные суммы x . Используя суммирование по частям ,
Выберем любое ε > 0. Теперь выберем N так, чтобыявляется ε -близкого к s для к > Н . Это можно сделать как последовательностьсходится к s . Тогда правая часть:
Теперь позвольте n уйти в бесконечность. Первый член переходит в s , который отменяется третьим членом. Второй член стремится к нулю (поскольку сумма является фиксированным значением). Поскольку последовательность b возрастает, последний член ограничен величиной.
Рекомендации
- Ширяев, Альберт Н. (1996). Вероятность (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.CS1 maint: ref дублирует значение по умолчанию ( ссылка )