Тест сходимости Коши является методом , используемым для проверки бесконечных рядов для сходимости . Он полагается на ограничивающие суммы терминов в серии. Этот критерий сходимости назван в честь Огюстена-Луи Коши, который опубликовал его в своем учебнике Cours d'Analyse 1821. [1]
Заявление
Серия
- сходится тогда и только тогда, когда для каждого существует такое натуральное число N , что
выполняется для всех n > N и всех p ≥ 1 . [2]
Объяснение
Тест работает, потому что пространство R действительных чисел и пространство C комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютным значением) являются полными . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда частичная сумма
является последовательностью Коши .
Последовательность действительных или комплексных чисел является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда сходится (к некоторой точке a в R или C ). [3] Формальное определение гласит, что для каждогосуществует такое число N , такое , что для всех п , т > N выполнено
Предположим, что m > n, и таким образом положим p = m - n .
Показывать, что последовательность является последовательностью Коши, полезно, поскольку нам не нужно знать предел рассматриваемой последовательности. Тест сходимости Коши может использоваться только в полных метрических пространствах (таких как R и C ), которые являются пространствами, в которых сходятся все последовательности Коши. Нам нужно только показать, что его элементы становятся произвольно близкими друг к другу после конечной прогрессии в последовательности. Существуют компьютерные приложения последовательности Коши, в которых можно настроить итерационный процесс для создания таких последовательностей.
Доказательство
Мы можем использовать результаты о сходимости последовательности частичных сумм бесконечного ряда и применить их к сходимости самого бесконечного ряда. Тест критерия Коши - одно из таких приложений. Для любой реальной последовательности, из приведенных выше результатов о сходимости следует, что бесконечный ряд
сходится тогда и только тогда, когда для каждогосуществует такое число N , что
m ≥ n ≥ N следует, что
Вероятно, самая интересная часть [этой теоремы] состоит в том, что условие Коши подразумевает существование предела: это действительно связано с полнотой вещественной прямой. Критерий Коши можно обобщить на множество ситуаций, которые можно в общих чертах охарактеризовать как «условие исчезновения колебаний эквивалентно сходимости». [5]
Эта статья включает материал из критерия Коши для конвергенции по PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Рекомендации
- ^ ср. ответ на вопрос «Происхождение теста сходимости Коши» сайта вопросов и ответов «History of Science and Mathematics»
- Перейти ↑ Abbott, Stephen (2001). Понимание анализа , стр.63. Спрингер, Нью-Йорк. ISBN 9781441928665
- ^ Уэйд, Уильям (2010). Введение в анализ . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 59. ISBN 9780132296380.
- ^ Уэйд, Уильям (2010). Введение в анализ . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 188. ISBN 9780132296380.
- ^ Энциклопедия математики. «Критерии Коши» . Европейское математическое общество . Проверено 4 марта 2014 года .