Серии (математика)

В математике , A серии , грубо говоря, описание операции добавления бесконечное множество величин, один за другим, до заданной исходной величины. ^[1] Изучение рядов является основной частью исчисления и его обобщения, математического анализа . Серии используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике ) с помощью производящих функций . Помимо того, что бесконечные ряды широко используются в математике, они также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика , информатика , статистика и др.финансы .

Долгое время идея о том, что такое потенциально бесконечное суммирование может дать конечный результат, считалась парадоксальной . Этот парадокс был разрешен с помощью концепции предела в 17 веке. Парадокс Зенона из Ахиллеса и черепахи иллюстрирует это противоречащее свойство бесконечных сумм: Ахиллес бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале гонки, черепаха достигла второй позиция; когда он достигает этой второй позиции, черепаха оказывается в третьей позиции и так далее. Зенон пришел к выводу, что Ахиллес никогда не могдостигают черепахи, и поэтому движения не существует. Зенон разделил расу на бесконечно много подрас, каждая из которых требует конечного количества времени, так что общее время, за которое Ахиллес должен поймать черепаху, дается сериями. Разрешение парадокса состоит в том, что, хотя ряд состоит из бесконечного числа членов, он имеет конечную сумму, которая дает Ахиллу время, необходимое для того, чтобы догнать черепаху.

В современной терминологии, любой (упорядоченная) бесконечная последовательность из терминов (то есть числа, функция , или что - нибудь , что может быть добавлено) определяет серию, которая является операцией добавления в _я один за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное количество членов, серию можно назвать бесконечной серией . Такой ряд представлен (или обозначается) выражением типа${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$

или, используя знак суммирования ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$

Бесконечная последовательность добавлений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно продолжена (по крайней мере, за конечный промежуток времени). Однако, если набор, к которому принадлежат члены и их конечные суммы, имеет понятие предела , иногда можно присвоить ряду значение, называемое суммой ряда. Это значение является пределом, поскольку n стремится к бесконечности (если предел существует) конечных сумм n первых членов ряда, которые называются n- ыми частичными суммами ряда. Это,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$^[2]

Когда этот предел существует, то говорит , что ряд является сходящимся или суммируют , или что последовательность является суммирует . В этом случае предел называется суммой ряда. В противном случае серия называется расходящейся . ^[3]${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

Обозначение обозначает как ряд - то есть неявный процесс добавления членов одного за другим на неопределенное время - так и, если ряд сходится, сумму ряда - результат процесса. Это является обобщением аналогичной конвенции обозначая как дополнение -The процесс добавления-и его результат-в сумме от и б .${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle a+b}$

Как правило, члены ряда поступают из кольца , часто в поле из действительных чисел или полей из комплексных чисел . В этом случае набор всех серий сам по себе является кольцом (и даже ассоциативной алгеброй ), в котором сложение состоит из почтового сложения ряда, а умножение - это произведение Коши .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Основные свойства [ править ]

Бесконечный ряд или просто ряд - это бесконечная сумма, представленная бесконечным выражением вида ^[4]

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,}$

где это любая упорядоченная последовательность из терминов , такие как числа , функции , или что - либо другое , что может быть добавлено (ой абелева группа ). Это выражение получается из списка терминов, если их положить рядом и соединить знаком «+». Ряд также может быть представлен с использованием обозначений суммирования , таких как${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Если абелева группа терминов A имеет понятие предела (например, если это метрическое пространство ), то некоторый ряд, сходящийся ряд , можно интерпретировать как имеющий значение в A , называемое суммой ряда . Сюда входят общие случаи из исчисления , в которых группа представляет собой поле действительных чисел или поле комплексных чисел . Для ряда его k- я частичная сумма равна ^[3]${\textstyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}$

По определению, ряд сходится к пределу L (или просто подводит к L ), если последовательность его частичных сумм имеет предел L . ^[4] В этом случае обычно пишут${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Ряд называется сходящимся, если он сходится к некоторому пределу, или расходящимся, если это не так. Значение этого лимита, если оно существует, тогда является значением ряда.

Конвергентная серия [ править ]

Говорят, что ряд ∑ a _n сходится или сходится, если последовательность ( s _k ) частичных сумм имеет конечный предел . Если предел s _k бесконечен или не существует, говорят, что ряд расходится . ^{[5] [3]} Когда существует предел частичных сумм, он называется значением (или суммой) ряда.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}.}$

Простой способ сходимости бесконечного ряда - это если все a _n равны нулю при достаточно большом n . Такой ряд можно отождествить с конечной суммой, поэтому он бесконечен только в тривиальном смысле.

Выявление свойств сходящихся рядов, даже если бесконечно много членов отличны от нуля, составляет суть изучения рядов. Рассмотрим пример

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots .}$

Можно «визуализировать» его конвергенцию на прямой числовой линии : мы можем представить линию длиной 2, с последовательными отрезками, отмеченными длиной 1, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 4 и т. Д. Всегда есть место для отметки следующий сегмент, потому что количество оставшейся линии всегда такое же, как и в последнем отмеченном сегменте: когда мы отметили 1 ⁄ 2 , у нас все еще есть немаркированный кусок длиной 1 ⁄ 2 , поэтому мы, безусловно, можем отметить следующий  1 ⁄ 4 . Этот аргумент не доказывает, что сумма равна 2 (хотя это так), но доказывает, что она равнане больше  2. Другими словами, ряд имеет верхнюю границу. Учитывая, что ряд сходится, для доказательства того, что он равен 2, требуется только элементарная алгебра. Если обозначить серию S , можно увидеть, что

${\displaystyle S/2={\frac {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .}$

Следовательно,

${\displaystyle S-S/2=1\Rightarrow S=2.}$

Идиому можно распространить на другие эквивалентные понятия серии. Например, повторяющееся десятичное число , как в

${\displaystyle x=0.111\dots ,}$

кодирует серию

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}.}$

Поскольку эти ряды всегда сходятся к действительным числам (из-за того, что называется свойством полноты действительных чисел), говорить о рядах таким образом - то же самое, что говорить о числах, которые они обозначают. В частности, расширение десятичной 0,111 ... можно отождествить с 1 / 9 . Это приводит к аргументу, что 9 × 0,111 ... = 0,999 ... = 1 , который основан только на том факте, что предельные законы для рядов сохраняют арифметические операции; более подробно об этом аргументе, см 0,999 ... .

Примеры числовых рядов [ править ]

• Геометрической прогрессии один , где каждый последующий член получается путем умножения предыдущего срока на постоянное число ( так называемый общий коэффициент в данном контексте). Например: ^[3]

  ${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$

  В общем, геометрический ряд

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$

  сходится тогда и только тогда , когда оно сходится к .${\textstyle |z|<1}$${\textstyle {1 \over 1-z}}$
• Гипергеометрический ряд :

  ${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$

  и их обобщения (такие как базовые гипергеометрические ряды и эллиптические гипергеометрические ряды ) часто появляются в интегрируемых системах и математической физике . ^[6]
• Arithmetico-геометрическая прогрессия является обобщением геометрической прогрессии, который имеет коэффициенты общего соотношения , равные условия в арифметической последовательности . Пример:

  ${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$

• Гармонический ряд является серия ^[7]

  ${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

  Гармонический ряд расходится .
• Знакопеременный ряд представляет собой ряд , где термины альтернативные признаки. Примеры:

  ${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad }$( чередующийся гармонический ряд )

  а также

  ${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}}$

• В р -ряды

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

  сходится, если p > 1, и расходится при p ≤ 1, что можно показать с помощью интегрального критерия, описанного ниже, в тестах сходимости . Сумма этого ряда как функция от p является дзета-функцией Римана .
• Телескопический ряд

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

  сходится, если последовательность b _n сходится к пределу L - при n стремится к бесконечности. Значение серии , то б ₁ - л .
• Есть некоторые элементарные ряды, сходимость которых еще не известна / не доказана. Например, неизвестно, был ли сериал Flint Hills

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$

  сходится или нет. Сходимость зависит от того, насколько хорошо можно аппроксимировать рациональными числами (что пока неизвестно). В частности, значения n с большим числовым вкладом в сумму являются числителями подходящих дробей непрерывной дроби последовательности, начинающейся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993,… (последовательность A046947 в OEIS ). Это целые числа, которые близки к некоторому целому числу n , поэтому оно близко к 0, а его обратная величина велика. Алексеевым (2011) доказал , что если ряд сходится, то мера иррациональности из${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle \sin n\pi }$${\displaystyle \pi }$меньше 2,5, что намного меньше известной в настоящее время границы 7.10320533…. ^{[8] [9]}

π [ править ]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$

Натуральный логарифм 2 [ править ]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2}$ ^[3]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2}$

Основание натурального логарифма e [ править ]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$

Исчисление и частичное суммирование как операция над последовательностями [ править ]

Частичное суммирование принимает в качестве входных данных последовательность ( a _n ) и дает в качестве выходных данных другую последовательность ( S _N ). Таким образом, это унарная операция над последовательностями. Кроме того, эта функция линейна и, следовательно, является линейным оператором в векторном пространстве последовательностей, обозначаемом Σ. Обратный оператор - это оператор конечных разностей , обозначаемый Δ. Они ведут себя как дискретные аналоги интегрирования и дифференцирования., только для рядов (функций натурального числа) вместо функций действительной переменной. Например, последовательность (1, 1, 1, ...) имеет ряд (1, 2, 3, 4, ...) в качестве частичного суммирования, что аналогично тому, что${\textstyle \int _{0}^{x}1\,dt=x.}$

В информатике это известно как сумма префикса .

Свойства серии [ править ]

Серии классифицируются не только по тому, сходятся они или расходятся, но и по свойствам членов a _n (абсолютная или условная сходимость); тип сходимости ряда (поточечная, равномерная); класс члена a _n (будь то действительное число, арифметическая прогрессия, тригонометрическая функция); и т.п.

Неотрицательные условия [ править ]

При _п является неотрицательным действительным числом для каждого п , последовательность S _N частичных сумм не убывает. Отсюда следует, что ряд ∑ a _n с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм S _N ограничена.

Например, сериал

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

сходится, поскольку неравенство

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,}$

а аргумент телескопической суммы означает, что частичные суммы ограничены числом 2. Точное значение исходного ряда - это проблема Базеля .

Абсолютная конвергенция [ править ]

Серия

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

сходится абсолютно, если ряд абсолютных значений

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$

сходится. Этого достаточно, чтобы гарантировать не только то, что исходный ряд сходится к пределу, но также и то, что любое его переупорядочение сходится к тому же пределу.

Условная конвергенция [ править ]

Серия действительных или комплексных чисел называется условно сходящейся (или полусходящейся ), если она сходится, но не сходится абсолютно. Известный пример - чередующийся ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$

который сходится (и его сумма равна  ), но ряд, образованный путем взятия абсолютного значения каждого члена, является расходящимся гармоническим рядом . Теорема о рядах Римана гласит, что любой условно сходящийся ряд можно переупорядочить, чтобы получился расходящийся ряд, и, более того, если они действительны и является любым действительным числом, можно найти переупорядочение так, чтобы переупорядоченный ряд сходился с суммой, равной  .${\displaystyle \ln 2}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Тест Абеля - важный инструмент для работы с полусходящимися рядами. Если серия имеет вид

${\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$

где частичные суммы ограничены, имеет ограниченную вариацию и существует:${\displaystyle B_{n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$

${\displaystyle \sup _{N}\left|\sum _{n=0}^{N}b_{n}\right|<\infty ,\ \ \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}}$

тогда ряд сходится. Это относится к точечной сходимости многих тригонометрических рядов, как в${\textstyle \sum a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}$

с . Метод Абеля состоит в написании и выполнении преобразования, аналогичного интегрированию по частям (называемого суммированием по частям ), которое связывает данный ряд с абсолютно сходящимся рядом.${\displaystyle 0<x<2\pi }$${\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$

${\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.}$

Оценка ошибок усечения [ править ]

Оценка ошибок усечения - важная процедура численного анализа (особенно проверенных числовых значений и компьютерных доказательств ).

Чередование серий [ править ]

Когда условия испытания чередующейся серии удовлетворяются , выполняется точная оценка погрешности. ^[10] Установить как частичную сумму заданного переменного ряда . Тогда имеет место следующее неравенство:${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle s_{n}}$${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$

Серия Тейлор [ править ]

Теорема Тейлора - это утверждение, которое включает оценку члена ошибки при усечении ряда Тейлора .

Гипергеометрические ряды [ править ]

Используя соотношение , мы можем получить оценку члена ошибки при усечении гипергеометрического ряда . ^[11]

Матрица экспоненциальная [ править ]

Для матричной экспоненты :

${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$

выполняется следующая оценка ошибки (метод масштабирования и возведения в квадрат): ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$

Тесты сходимости [ править ]

Существует множество тестов, с помощью которых можно определить, сходятся или расходятся определенные ряды.

• Тест n-го члена : Если, то ряд расходится; если, то проверка безрезультатна.${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$
• Сравнительный тест 1 (см. Прямой сравнительный тест ): Если это абсолютно сходящийся ряд, такой, что для некоторого числа и достаточно большого , то   сходится также абсолютно. Если расходится, и для всех достаточно большое , то также не может сходиться абсолютно (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если знак чередуется).${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$
• Сравнительный тест 2 (см. Предельный сравнительный тест ): если это абсолютно сходящийся ряд, такой, что для достаточно больших , то   сходится также абсолютно. Если расходится, и для всех достаточно большое , то   также не может сходиться абсолютно (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если   знак чередуется).${\textstyle \sum b_{n}}$${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$
• Проверка соотношения : если существует такая константа , что для всех достаточно велика  , то сходится абсолютно. Когда отношение меньше , но не меньше, чем константа меньше чем , сходимость возможна, но этот тест не устанавливает ее.${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$
• Корневой тест : если существует такая константа , что для всех достаточно велика  , то сходится абсолютно.${\displaystyle C<1}$${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac {1}{n}}\leq C}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$
• Интегральный тест : если - положительная монотонно убывающая функция, определенная на интервале с для всех  , то сходится тогда и только тогда, когда интеграл конечен.${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$${\displaystyle f(n)=a_{n}}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$
• Тест конденсации Коши : если неотрицательный и невозрастающий, то два ряда   и имеют одинаковую природу: оба сходятся или оба расходятся.${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$
• Испытание чередующейся серии : серия формы (с ) называется чередующейся . Такой ряд сходится , если последовательность является монотонно убывает и сходится к  . Обратное, в общем, неверно.${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle 0}$
• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье существует тест Дини .

Серия функций [ править ]

Серия действительных или комплексных функций

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

converges pointwise on a set E, if the series converges for each x in E as an ordinary series of real or complex numbers. Equivalently, the partial sums

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$

converge to ƒ(x) as N → ∞ for each x ∈ E.

A stronger notion of convergence of a series of functions is the uniform convergence. A series converges uniformly if it converges pointwise to the function ƒ(x), and the error in approximating the limit by the Nth partial sum,

${\displaystyle |s_{N}(x)-f(x)|}$

can be made minimal independently of x by choosing a sufficiently large N.

Uniform convergence is desirable for a series because many properties of the terms of the series are then retained by the limit. For example, if a series of continuous functions converges uniformly, then the limit function is also continuous. Similarly, if the ƒ_n are integrable on a closed and bounded interval I and converge uniformly, then the series is also integrable on I and can be integrated term-by-term. Tests for uniform convergence include the Weierstrass' M-test, Abel's uniform convergence test, Dini's test, and the Cauchy criterion.

Также могут быть определены более сложные типы сходимости ряда функций. В теории меры , например, ряд функций сходится почти всюду, если он сходится поточечно, за исключением некоторого множества с нулевой мерой . Другие способы сходимости зависят от другой структуры метрического пространства на рассматриваемом пространстве функций. Например, ряд функций сходится в среднем на множестве E к предельной функции ƒ при условии, что

${\displaystyle \int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0}$

при N  → ∞.

Силовой ряд [ править ]

Основная статья: Power series

Степенной ряд представляет собой ряд вида

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$

Ряд Тейлора в точке с функцией степенного ряд , что во многих случаях, сходится к функции в окрестностях с . Например, сериал

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

является рядом Тейлора в нуле и сходится к нему при каждом x .${\displaystyle e^{x}}$

Если он не сходится только в точке x = c , такой ряд сходится на некотором открытом диске сходимости с центром в точке c на комплексной плоскости, а также может сходиться в некоторых точках границы диска. Радиус этого диска известен как радиус сходимости и в принципе может быть определен из асимптотики коэффициентов a _n . Сходимость равномерна на замкнутых и ограниченных (т. Е. Компактных ) подмножествах внутренней части круга сходимости, а именно равномерно сходится на компактах .

Исторически сложилось так, что математики, такие как Леонард Эйлер, свободно работали с бесконечными рядами, даже если они не сходились. Когда в девятнадцатом веке исчисление было положено на прочное и правильное основание, всегда требовались строгие доказательства сходимости рядов.

Формальный степенной ряд [ править ]

While many uses of power series refer to their sums, it is also possible to treat power series as formal sums, meaning that no addition operations are actually performed, and the symbol "+" is an abstract symbol of conjunction which is not necessarily interpreted as corresponding to addition. In this setting, the sequence of coefficients itself is of interest, rather than the convergence of the series. Formal power series are used in combinatorics to describe and study sequences that are otherwise difficult to handle, for example, using the method of generating functions. The Hilbert–Poincaré series is a formal power series used to study graded algebras.

Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, тогда можно определять такие операции, как сложение , умножение , производная , первообразная для степенного ряда «формально», рассматривая символ «+», как если бы он соответствует сложению. В большинстве случаев члены происходят из коммутативного кольца , так что формальные степенные ряды можно добавлять почленно и умножать с помощью произведения Коши . В этом случае алгебра формальных степенных рядов является общей алгеброй из моноида из натуральных чисел над нижележащим термином кольцом. ^[15] Если основное кольцо терминов является дифференциальной алгеброй , то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, с дифференцированием, выполняемым почленно.

Серия Лорана [ править ]

Ряды Лорана обобщают степенные ряды, допуская в ряд члены как с отрицательными, так и с положительными показателями. Таким образом, ряд Лорана - это любой ряд вида

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$

Если такой ряд сходится, то, как правило, это происходит в кольце, а не в круге и, возможно, в некоторых граничных точках. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутренней части кольца сходимости.

Серия Дирихле [ править ]

Основная статья: серия Дирихле

Ряд Дирихле - это один из видов

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$

где s - комплексное число . Например, если все a _n равны 1, то ряд Дирихле является дзета-функцией Римана.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Как и дзета-функция, ряды Дирихле в целом играют важную роль в аналитической теории чисел . Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле может быть расширен до аналитической функции вне области сходимости путем аналитического продолжения . Например, ряд Дирихле для дзета-функции абсолютно сходится, когда Re ( s )> 1, но дзета-функция может быть расширена до голоморфной функции, определенной на   с простым полюсом в 1.${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Этот ряд можно напрямую обобщить на общий ряд Дирихле .

Тригонометрический ряд [ править ]

Ряд функций, в которых члены являются тригонометрическими функциями , называется тригонометрическим рядом :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$

Наиболее важным примером тригонометрического ряда является ряд Фурье функции.

История теории бесконечных рядов [ править ]

Разработка бесконечных серий [ править ]

Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда с помощью метода, который до сих пор используется в области исчисления. Он использовал метод истощения, чтобы вычислить площадь под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда, и дал удивительно точное приближение π . ^{[16] [17]}

Математики из Кералы, Индия, изучали бесконечные ряды около 1350 года нашей эры. ^[18]

В 17 веке Джеймс Грегори работал в новой десятичной системе с бесконечными рядами и опубликовал несколько серий Маклорена . В 1715 году Брук Тейлор предложил общий метод построения рядов Тейлора для всех функций, для которых они существуют . Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрических рядов и q-рядов .

Критерии конвергенции [ править ]

Считается, что исследование справедливости бесконечных рядов началось с Гаусса в 19 ​​веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд

${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$

о котором Гаусс опубликовал мемуары в 1812 году. В нем были установлены более простые критерии сходимости, а также вопросы остатков и диапазона сходимости.

Коши (1821) настаивал на строгих проверках сходимости; он показал, что если две серии сходятся, их произведение не обязательно так, и с него начинается открытие эффективных критериев. Термины сходимость и расхождение были введены задолго до этого Грегори (1668 г.). Леонард Эйлер и Гаусс привели различные критерии, а Колин Маклорен предвосхитил некоторые открытия Коши. Коши развил теорию степенных рядов , разложив комплексную функцию в такой форме.

Абель (1826 г.) в своих мемуарах о биномиальных рядах

${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$

исправил некоторые выводы Коши и дал полностью научное суммирование ряда для комплексных значений и . Он показал необходимость рассмотрения вопроса преемственности в вопросах конвергенции.${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$

Cauchy's methods led to special rather than general criteria, and the same may be said of Raabe (1832), who made the first elaborate investigation of the subject, of De Morgan (from 1842), whose logarithmic test DuBois-Reymond (1873) and Pringsheim (1889) have shown to fail within a certain region; of Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, the latter without integration); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852), and Arndt (1853).

Общие критерии начались с Куммера (1835 г.) и были изучены Эйзенштейном (1847 г.), Вейерштрассом в его различных вкладах в теорию функций, Дини (1867 г.), Дюбуа-Реймондом (1873 г.) и многими другими. Воспоминания Прингсхайма (1889 г.) представляют наиболее полную общую теорию.

Равномерная конвергенция [ править ]

Теория равномерной сходимости была рассмотрена Коши (1821), на его ограничения указал Абель, но первыми, кто успешно атаковал ее, были Зейдель и Стокс (1847–48). Коши снова занялся этой проблемой (1853 г.), признав критику Абеля и придя к тем же выводам, которые уже сделал Стокс. Тома использовал эту доктрину (1866 г.), но с большим опозданием признал важность различия между однородной и неоднородной конвергенцией, несмотря на требования теории функций.

Полусходимость [ править ]

Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не сходится абсолютно .

Полусходящиеся ряды были изучены Пуассоном (1823 г.), который также дал общий вид остальной части формулы Маклорена. Однако наиболее важное решение проблемы принадлежит Якоби (1834 г.), который подошел к вопросу об остатке с другой точки зрения и пришел к другой формуле. Это выражение было также разработано и дано Мальмстеном (1847). Шлемильх ( Zeitschrift , Vol.I, p. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и функцией Бернулли

${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$

Дженокки (1852) внес свой вклад в эту теорию.

Среди ранних писателей был Вронский , чье «loi suprême» (1815 г.) едва ли было признано, пока Кейли (1873 г.) не выдвинул его на первый план.

Ряд Фурье [ править ]

Ряды Фурье исследовались как результат физических соображений в то время, когда Гаусс, Абель и Коши разрабатывали теорию бесконечных рядов. Ряды для разложения синусов и косинусов, кратных дуг по степеням синуса и косинуса дуги рассматривались Якобом Бернулли (1702 г.) и его братом Иоганном Бернулли (1701 г.), а еще раньше - Виетой . Эйлер и Лагранж упростили предмет, равно как и Пуансо , Шретер , Глейшер и Куммер .

Fourier (1807) set for himself a different problem, to expand a given function of x in terms of the sines or cosines of multiples of x, a problem which he embodied in his Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler had already given the formulas for determining the coefficients in the series; Fourier was the first to assert and attempt to prove the general theorem. Poisson (1820–23) also attacked the problem from a different standpoint. Fourier did not, however, settle the question of convergence of his series, a matter left for Cauchy (1826) to attempt and for Dirichlet (1829) to handle in a thoroughly scientific manner (see convergence of Fourier series). Трактовка Дирихле ( Crelle , 1829) тригонометрических рядов была предметом критики и улучшений со стороны Римана (1854), Гейне, Липшица , Шлефли и дю Буа-Реймонда . Среди других выдающихся авторов теории тригонометрических рядов и рядов Фурье были Дини , Эрмит , Хальфен , Краузе, Байерли и Аппель .

Обобщения [ править ]

Асимптотический ряд [ править ]

Асимптотические ряды , иначе асимптотические разложения , представляют собой бесконечные ряды, частичные суммы которых становятся хорошими приближениями в пределе некоторой точки области. Как правило, они не сходятся, но они полезны как последовательности приближений, каждое из которых обеспечивает значение, близкое к желаемому ответу для конечного числа членов. Разница в том, что асимптотический ряд не может дать столь точный ответ, как это делают сходящиеся ряды. Фактически, после определенного числа членов типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего приближения; если будет включено больше терминов, большинство таких серий дадут худшие ответы.

Расходящиеся серии [ править ]

Under many circumstances, it is desirable to assign a limit to a series which fails to converge in the usual sense. A summability method is such an assignment of a limit to a subset of the set of divergent series which properly extends the classical notion of convergence. Summability methods include Cesàro summation, (C,k) summation, Abel summation, and Borel summation, in increasing order of generality (and hence applicable to increasingly divergent series).

Известно множество общих результатов о возможных методах суммирования. Теорема Сильвермана – Теплица характеризует методы суммирования матриц , которые представляют собой методы суммирования расходящихся рядов путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Самый общий метод суммирования расходящихся рядов неконструктивен и касается банаховых пределов .

Суммирование по произвольным индексным наборам [ править ]

Definitions may be given for sums over an arbitrary index set I.^[19] There are two main differences with the usual notion of series: first, there is no specific order given on the set I; second, this set I may be uncountable. The notion of convergence needs to be strengthened, because the concept of conditional convergence depends on the ordering of the index set.

If ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ is a function from an index set I to a set G, then the "series" associated to ${\displaystyle a}$ is the formal sum of the elements ${\displaystyle a(x)\in G}$ over the index elements ${\displaystyle x\in I}$ denoted by the

${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$

Когда набор индексов представляет собой натуральные числа , функция представляет собой последовательность, обозначаемую . Ряд, пронумерованный натуральными числами, является упорядоченной формальной суммой, поэтому мы перепишем as , чтобы подчеркнуть порядок, индуцированный натуральными числами. Таким образом, мы получаем общее обозначение ряда, пронумерованного натуральными числами${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$${\displaystyle a(n)=a_{n}}$${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$

Семейства неотрицательных чисел [ править ]

При суммировании семейства неотрицательных чисел { a _i }, i  ∈ I , можно определить

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A{\text{ finite, }}A\subset I\right\}\in [0,+\infty ].}$

Когда супремум конечен, множество таких i  ∈ I , что a _i  > 0, счетно. Действительно, для любого n  ≥ 1 множество конечно, потому что${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I\mid a_{i}>1/n\right\}}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$

Если I   счетно бесконечен и пронумерован как I  = { i ₀ , i ₁ ,…}, то определенная выше сумма удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},}$

при условии, что для суммы ряда допускается значение ∞.

Любую сумму по неотрицательным действительным числам можно понимать как интеграл неотрицательной функции относительно счетной меры , что объясняет многие сходства между двумя конструкциями.

Абелевы топологические группы [ править ]

Пусть a  : I → X , где I   - произвольное множество, а X   - абелева хаусдорфова топологическая группа . Пусть F  совокупность всех конечных подмножеств в I , с F рассматривается как направленное множество , упорядоченное при включении с союзом как присоединиться . Определим сумму S   семейства a как предел

${\displaystyle S=\sum _{i\in I}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A\in F\right\}}$

если он существует, и говорят, что семейство a безусловно суммируемо. Утверждение, что сумма S   является пределом конечных частичных сумм, означает, что для каждой окрестности V точки   0 в X существует конечное подмножество A ₀ в I  такое, что

${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V,\quad A\supset A_{0}.}$

Поскольку F   не полностью упорядочен , это не предел последовательности частичных сумм, а скорее нетто . ^{[20] [21]}

For every W, neighborhood of 0 in X, there is a smaller neighborhood V  such that V − V ⊂ W. It follows that the finite partial sums of an unconditionally summable family a_i, i ∈ I, form a Cauchy net, that is, for every W, neighborhood of 0 in X, there is a finite subset A₀ of I  such that

${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W,\quad A_{1},A_{2}\supset A_{0}.}$

When X  is complete, a family a is unconditionally summable in X  if and only if the finite sums satisfy the latter Cauchy net condition. When X  is complete and a_i, i ∈ I, is unconditionally summable in X, then for every subset J ⊂ I, the corresponding subfamily a_j, j ∈ J, is also unconditionally summable in X.

When the sum of a family of non-negative numbers, in the extended sense defined before, is finite, then it coincides with the sum in the topological group X = R.

If a family a in X  is unconditionally summable, then for every W, neighborhood of 0 in X, there is a finite subset A₀ of I  such that a_i ∈ W  for every i not in A₀. If X  is first-countable, it follows that the set of i ∈ I  such that a_i ≠ 0 is countable. This need not be true in a general abelian topological group (see examples below).

Unconditionally convergent series[edit]

Предположим , что я  = N . Если семейство a _n , n  ∈ N , безусловно суммируемо в абелевой хаусдорфовой топологической группе X , то ряд в обычном смысле сходится и имеет ту же сумму

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbf {N} }a_{n}.}$

По своей природе определение безусловной суммируемости нечувствительно к порядку суммирования. Когда ∑ a _n безусловно суммируем, то ряд остается сходящимся после любой перестановки σ множества индексов N с той же суммой,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Наоборот, если каждая перестановка ряда ∑ a _n сходится, то ряд безусловно сходится. Когда X   полно, то безусловная сходимость также эквивалентна тому, что все подсерии сходятся; если X   - банахово пространство, это равносильно тому, что для любой последовательности знаков ε _n  = ± 1 ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$

сходится в X .

Серии в топологических векторных пространствах [ править ]

If X is a topological vector space (TVS) and ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ is a (possibly uncountable) family in X then this family is summable^[22] if the limit ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ of the net ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ converges in X, where ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ is the directed set of all finite subsets of A directed by inclusion ${\displaystyle \subseteq }$ and ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$.

It is called absolutely summable if in addition, for every continuous seminorm p on X, the family ${\displaystyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ is summable. If X is a normable space and if ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ is an absolutely summable family in X, then necessarily all but a countable collection of ${\displaystyle x_{\alpha }}$'s are 0. Hence, in normed spaces, it is usually only ever necessary to consider series with countably many terms.

Summable families play an important role in the theory of nuclear spaces.

Series in Banach and semi-normed spaces[edit]

Понятие серии легко распространяется на случай полунормированного пространства . Если x _n - последовательность элементов нормированного пространства X и если x находится в X , то ряд ∑ x _n сходится к x   в   X, если последовательность частичных сумм ряда сходится к x в X ; остроумие,${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0}$

при N  → ∞.

В более общем смысле сходимость рядов может быть определена в любой абелевой топологической группе Хаусдорфа . В частности, в этом случае ∑ x _n сходится к x, если последовательность частичных сумм сходится к x .

Если ( X , | · |) - полунормированное пространство , то понятие абсолютной сходимости становится следующим: серия векторов в X сходится абсолютно, если${\textstyle \sum _{i\in \mathbf {I} }x_{i}}$ 

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {I} }\left|x_{i}\right|<+\infty }$

в этом случае все значения, кроме максимально счетного , обязательно равны нулю.${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Если счетная серия векторов в банаховом пространстве сходится абсолютно, то она сходится безусловно, но обратное верно только в конечномерных банаховых пространствах (теорема Дворецкого и Роджерса (1950) ).

Хорошо упорядоченные суммы [ править ]

Условно сходящийся ряд можно рассматривать, если I - упорядоченное множество, например порядковое число α ₀ . С помощью трансфинитной рекурсии можно определить :

${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$

и для ограничения порядкового & alpha ; ,

${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$

если этот предел существует. Если все пределы существуют до α ₀ , то ряд сходится.

Примеры [ править ]

1. Для функции f  : X → Y с абелевой топологической группой Y определим для каждого a  ∈  X

   ${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$

   функция, поддержка является одноточечно { }. потом

   ${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$

   в топологии поточечной сходимости (т. е. сумма берется в бесконечной группе произведений Y ^X  ).
2. При определении разбиений единицы строятся суммы функций по произвольному индексному множеству I ,

   ${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$

   Хотя формально для этого требуется понятие сумм несчетных рядов, по построению для каждого заданного x имеется только конечное число ненулевых членов в сумме, поэтому вопросы, касающиеся сходимости таких сумм, не возникают. На самом деле, обычно предполагается большее: семейство функций локально конечно , то есть для каждого x существует окрестность x, в которой все функции, кроме конечного, обращаются в нуль. Любое свойство регулярности φ _i , такое как непрерывность, дифференцируемость, которое сохраняется при конечных суммах, будет сохранено для суммы любого поднабора этого семейства функций.
3. On the first uncountable ordinal ω₁ viewed as a topological space in the order topology, the constant function f: [0,ω₁) → [0,ω₁] given by f(α) = 1 satisfies

   ${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}}$

   (in other words, ω₁ copies of 1 is ω₁) only if one takes a limit over all countable partial sums, rather than finite partial sums. This space is not separable.

See also[edit]

• Continued fraction
• Convergence tests
• Convergent series
• Divergent series
• Infinite compositions of analytic functions
• Infinite expression
• Infinite product
• Итерированная бинарная операция
• Список математических рядов
• Сумма префикса
• Преобразование последовательности
• Расширение серии

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бромвич, Т.Дж. Введение в теорию бесконечных рядов MacMillan & Co. 1908 г., переработка 1926 г., переиздание 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Дворецкий, Арье; Роджерс, К. Эмброуз (1950). «Абсолютная и безусловная сходимость в линейных нормированных пространствах» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 36 (3): 192–197. Bibcode : 1950PNAS ... 36..192D . DOI : 10.1073 / pnas.36.3.192 . PMC  1063182 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор), Бостон: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (Макгроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).
• Пич, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250 .
• Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .

Руководство по ремонту 0033975

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с сериями (математика) .

• "Серии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебник по бесконечным сериям
• «Серии-Основы» . Онлайн-математические заметки Пола.