Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
"Iff" перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см IFF (значения) .
«↔» перенаправляется сюда. Не следует путать с двунаправленным трафиком .
«⟺» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Стрелка (символ) .

↔⇔≡⟺
Логические символы, представляющие iff

В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « если и только если » (сокращенно « если и только » [1] ) - это двусмысленная логическая связка между утверждениями, где либо оба утверждения истинны, либо оба ложны.

Связка является бикондиционной (утверждение о материальной эквивалентности ) [2] и может быть уподоблена стандартной материальной условной («только если», равно «если ... то») в сочетании с ее обратной стороной («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения верны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определенная таким образом связка передана англичанами "if и только если "- с уже существующим значением. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что единственный случай, когда P истинно, - это если Q также истинно,тогда как в случае P, если Q, могут быть другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.

В письменной форме фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P «тогда и только тогда, когда» Q включают: Q необходимо и достаточно для P , P эквивалентно (или материально эквивалентно) Q (сравните с материальным подтекстом ), P точно, если Q , P точно (или точно) , когда Q , P точно в случае , если Q и Р только в случае , если Q . [3] Некоторые авторы считают «iff» неподходящим для формального письма; [4] другие считают его «пограничным случаем» и терпят его использование. [5]

В логических формулах вместо этих фраз используются логические символы, такие как [6] и , [7] ; см. § Обозначения ниже.

Определение [ править ]

Таблица истинности из P Q выглядит следующим образом : [8] [9]

Таблица истинности
пQP Q P Q P  Q
ТТТТТ
ТFFТF
FТТFF
FFТТТ

Он эквивалентен логическому элементу XNOR и противоположен логическому элементу XOR . [10]

Использование [ править ]

Обозначение [ править ]

Соответствующие логические символы - «↔», [6] « », [7] и « ≡ », [11], а иногда и «iff». Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако некоторые тексты по математической логике (особенно те , которые касаются логики первого порядка , а не логики высказываний ) проводят различие между ними, в которых первый,, используется как символ в логических формулах, а используется в рассуждениях о те логические формулы (например, в металогике ). В Лукашевич «s польской нотации , это символ префикс„E“. [12]

Другой термин для этой логической связки - исключающий, ни .

В TeX «если и только если» отображается как длинная двойная стрелка: через команду \ iff. [13]

Доказательства [ править ]

В большинстве логических систем , один доказывает утверждение вида «P тогда и только тогда Q», доказав , либо «если P, то Q» и «если Q, то Р», или «если Р, то Q» и «если не-P , то не-Q ". [1] Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, так как нет очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести биконусловие. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (not-P и not-Q)», которая сама может быть выведена непосредственно из любого из ее дизъюнктов, то есть потому, что «iff» является истинно-функциональным », P iff Q "следует, если P и Q оба истинны, или оба ложны.

Происхождение iff и произношение [ править ]

Аббревиатура «iff» впервые появилась в печати в книге Джона Л. Келли « Общая топология» 1955 года . [14] Его изобретение часто приписывают Полу Халмосу , который писал: «Я изобрел« если и только если », то есть« если и только если »- но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем». [15]

Непонятно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике единственное «слово» «если и только если» почти всегда читается как четыре слова «если и только если». Однако в предисловии к « Общей топологии» Келли предлагает читать по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует« если и только если », а благозвучие требует чего-то меньшего, я использую Halmos« iff »». Авторы одного учебника по дискретной математике предлагают: [16] «Если вам нужно произносить iff, действительно держитесь за« ff », чтобы люди слышали разницу от« if »», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ ɪfː] .

Использование в определениях [ править ]

Технически определения всегда являются утверждениями типа «если и только если»; некоторые тексты - такие , как Келли общей топологии - следовать строгим требованиям логики, и использование « если и только если» или тогда и только тогда в определениях новых терминов. [17] Однако это логически правильное использование слова «если и только если» относительно необычно, так как большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи в английской Википедии) следуют специальному соглашению интерпретировать «если» как if », всякий раз, когда задействовано математическое определение (например,« топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие »). [18]

Отличие от «если» и «только если» [ править ]

  • «Мэдисон съест фрукт, если это яблоко». (эквивалент « Только если Мэдисон съест фрукт, это может быть яблоко» или «Мэдисон съест фрукт ← фрукт - яблоко» )
    В нем говорится, что Мэдисон будет есть яблоки. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон также может есть бананы или другие фрукты. Все, что известно наверняка, - это то, что она будет есть все яблоки, которые ей попадутся. То, что фрукт является яблоком, является достаточным условием для Мэдисон, чтобы съесть этот фрукт.
  • «Мэдисон съест фрукт, только если это яблоко». (эквивалент « Если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко» или «Мэдисон съест фрукт → фрукт - яблоко» )
    В нем говорится, что Мэдисон ест только яблоко. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от яблока, если оно станет доступным, в отличие от пункта (1), который требует от Мэдисона съесть любое доступное яблоко. В этом случае то, что данный фрукт является яблоком, является необходимым условием для Мэдисон, чтобы его съесть. Это недостаточное условие, поскольку Мэдисон может съесть не все яблоки, которые ей дают.
  • «Мэдисон съест фрукт тогда и только тогда, когда это будет яблоко». (эквивалент «Мэдисон съест фрукт ↔ фрукт - яблоко» )
    Это заявление дает понять, что Мэдисон будет есть все и только те фрукты, которые являются яблоками. Она не оставит ни одного яблока несъеденным, и она не будет есть никаких других фруктов. То, что данный фрукт является яблоком, является одновременно необходимым и достаточным условием для Мэдисон, чтобы съесть этот фрукт.

Достаточность противоположна необходимости. То есть, при P → Q (то есть , если Р , то Q ), P будет достаточным условием для Q , и Q будет необходимым условием для P . Также, если P → Q , верно, что ¬Q → ¬P (где ¬ - оператор отрицания, т.е. «не»). Это означает, что взаимосвязь между P и Q , установленная посредством P → Q , может быть выражена следующими эквивалентными способами:

P достаточно для Q
Q необходим для P
¬Q достаточно для ¬P
¬P необходим для ¬Q

В качестве примера возьмем первый пример выше, в котором указано P → Q , где P - «рассматриваемый фрукт - это яблоко», а Q - «Мэдисон съест этот фрукт». Ниже приведены четыре эквивалентных способа выражения этих отношений:

Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его.
Только если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, будет ли это яблоко.
Если Мэдисон не съест рассматриваемый фрукт, то это не яблоко.
Мэдисон не будет есть его, только если это не яблоко.

Здесь второй пример можно переформулировать в форме if ... then as «Если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, то это яблоко»; рассматривая это в сочетании с первым примером, мы обнаруживаем, что третий пример можно сформулировать так: «Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его; а если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко».

В терминах диаграмм Эйлера [ править ]

  • Является собственным подмножеством B . Число находится в A, только если оно находится в B ; число в B , если он находится в A .

  • С представляет собой подмножество , но не собственное подмножество B . Ряд находится в B тогда и только тогда , когда он находится в C , и число в C тогда и только тогда , когда он находится в B .

Диаграммы Эйлера показывают логические отношения между событиями, свойствами и т. Д. «P, только если Q», «если P, то Q» и «P → Q» все означают, что P является подмножеством , правильным или несобственным, Q. «P, если Q», «если Q, то P» и Q → P все означают, что Q является собственным или несобственным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование [ править ]

Iff также используется вне области логики. Где бы ни применялась логика, особенно в математических дискуссиях, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от « если и только если» , указывающее на то, что одно утверждение необходимо и достаточно для другого. [1] Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, если в формулировках определения используется чаще, чем iff ).

Элементы X являются те и только те элементы Y означает: «Для любого г в области дискурса , г в X тогда и только тогда , когда г находится в Y » .

См. Также [ править ]

  • Логическая двусмысленность
  • Логическое равенство
  • Логическая эквивалентность
  • Полисиллогизм

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c «Окончательный словарь высшего математического жаргона - если и только если» . Математическое хранилище . 1 августа 2019 . Проверено 22 октября 2019 года .
  2. ^ Копи, IM; Cohen, C .; Flage, DE (2006). Основы логики (второе изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Education. п. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ифф". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
  4. ^ Например, Дэпп, Ульрих; Горкин, Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику , Тексты для бакалавриата по математике , Springer, стр. 52, ISBN 9781441994790, Хотя это может реально сэкономить время, мы не рекомендуем его в письменной форме.
  5. ^ Ротвелл, Эдвард Дж .; Клауд, Майкл Дж. (2014), Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов, имеющих непреходящую ценность , CRC Press, стр. 98, ISBN 9781482234312, Это обычное дело в математическом письме
  6. ^ a b «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 6 апреля 2020 . Дата обращения 4 сентября 2020 .
  7. ^ a b Пейл, Тимоти. «Условные и двусмысленные» . web.mnstate.edu . Дата обращения 4 сентября 2020 .
  8. ^ p <=> q . Вольфрам | Альфа
  9. ^ Если и только если , Департамент математики UHM, теоремы, которые имеют форму «P, если и только Q», очень ценятся в математике. Они дают так называемые «необходимые и достаточные» условия и дают совершенно эквивалентные и, надеюсь, интересные новые способы сказать одно и то же.
  10. ^ "XOR / XNOR / Odd Parity / Четный шлюз" . www.cburch.com . Проверено 22 октября 2019 года .
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Эквивалент» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 4 сентября 2020 .
  12. ^ "Ян Лукасевич> Без скобок или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)" . plato.stanford.edu . Проверено 22 октября 2019 года .
  13. ^ "LaTeX: Символ" . Искусство решения проблем . Проверено 22 октября 2019 года .
  14. ^ Общая топология, переиздание ISBN 978-0-387-90125-1 
  15. ^ Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник по письму для математических наук (2-е изд.). СИАМ. п. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
  16. ^ Маурер, Стивен Б .; Ральстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 60. ISBN 1568811667.
  17. ^ Например, из « Общая топология» , стр. 25: «Множество счетно тогда и только тогда, когда оно конечно или счетно бесконечно». [жирный шрифт в оригинале]
  18. Перейти ↑ Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing , American Mathematical Society, p. 71 , ISBN 978-0-8218-0635-7

Внешние ссылки [ править ]

  • «Таблицы истины тогда и только тогда, когда» . Архивировано из оригинала 5 мая 2000 года.
  • Языковой журнал: «На всякий случай»
  • Философия Южной Калифорнии для аспирантов философии: «На всякий случай»