Логика

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Декабрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Философия
Платон Кант Ницше Будда Конфуций Аверроэс
ветви
Эстетика Эпистемология Этика Философия права Логика Метафизика Философия языка Философия разума Философия науки Политическая философия Социальная философия
Периоды
Древний Досократический Эллинистический Средневековый Современное Ранний модерн Поздний современный Современный
Традиции
Аналитический Неопозитивизм Обычный язык Абхидхарма Тхеравада Вайбханика Аристотелевский Августинец Аверройст Авиценнист Cārvāka Конфуцианский Неоконфуцианство Новое конфуцианство Континентальный Экзистенциализм Феноменология Гегельянский Кантианский Законничество Мадхьямака Mīmāṃsā Ньяя - Вайшешика Оккамист Платоник Неоплатоник Прагматизм Санкхья Scotist Скептицизм Томист Веданта Йогачара Традиции по регионам Африканский Восточная Китайский Индийский Ближневосточный Египтянин Иранский Западный Традиции по религии Буддийский Праманавада Христианин Гуманист Индуистский Джайн Еврейский Иудео-исламский Даосская философия Исламский Аш'аризм Ранний исламский Иллюминатор Исмаилизм Суфий
Литература
Эстетика Эпистемология Этика Логика Метафизика Политическая философия
Философы
Эстетики Эпистемологи Специалисты по этике Логики Метафизики Социальные и политические философы Женщины в философии
Списки
Индекс Контур Годы Проблемы Публикации Теории Глоссарий Философы
Философский портал
v т е

Логика (от греческого : λογική , logikḗ «обладал разумом , интеллектуального , диалектического , спорного ») ^{[1] [2] [я]} является систематическим изучением действующих правил вывода , то есть отношения , которые приводят к принятию одного предложение ( заключение ) на основе совокупности других предложений ( предпосылок ). В более широком смысле логика - это анализ и оценка аргументов . ^[3]

Не существует универсального согласия относительно точного определения и границ логики, поэтому этот вопрос по-прежнему остается одним из основных предметов исследований и дискуссий в области философии логики (см. § Конкурирующие концепции ). ^{[4] [5] [6]} Однако он традиционно включает классификацию аргументов; систематическое изложение логических форм ; обоснованность и разумность в дедукции ; силы из индуктивного рассуждения ; изучение формальных доказательств и умозаключений (включая парадоксы изаблуждения ); и изучение синтаксиса и семантики .

Хороший аргумент не только обладает обоснованностью и обоснованностью (или силой в индукции), но также позволяет избежать круговых зависимостей , четко сформулирован, уместен и непротиворечив ; в противном случае он бесполезен для рассуждений и убеждения и классифицируется как заблуждение . ^[7]

В обычном дискурсе умозаключения могут обозначаться такими словами, как поэтому , таким образом , следовательно , ergo и т. Д.

Исторически логика изучалась в философии (с древнейших времен) и математике (с середины 19 века). В последнее время логика изучалась в когнитивной науке , которая , помимо других дисциплин , опирается на информатику , лингвистику , философию и психологию . Логик является любое лицо, часто философ или математик, чья тема научного исследования является логика.

Типы логики [ править ]

Философская логика [ править ]

Философская логика - это область философии. Это набор методов, используемых для решения философских проблем, и фундаментальный инструмент для продвижения метафилософии .

Неформальная логика [ править ]

Неформальная логика - это изучение аргументов естественного языка . Изучение заблуждений - важная ветвь неформальной логики. Поскольку многие неформальные аргументы, строго говоря, не являются дедуктивными, по некоторым концепциям логики неформальная логика вообще не является логикой. (См. § Конкурирующие концепции .)

Формальная логика [ править ]

Формальная логика - это изучение вывода с чисто формальным содержанием. Вывод обладает чисто формальным и явным содержанием (т. Е. Может быть выражен как конкретное применение полностью абстрактного правила), например, правило, которое не касается какой-либо конкретной вещи или свойства. Во многих определениях логики логическое следствие и вывод с чисто формальным содержанием одинаковы.

Примеры формальной логики включают (1) традиционную силлогистическую логику (также известную как логика) и (2) современную символическую логику :

• Силлогистическую логику можно найти в трудах Аристотеля , что делает ее самым ранним из известных формальных исследований и изучает типы силлогизма . Современная формальная логика следует за Аристотелем и развивает его. ^{[8] [9]}
• Символическая логика является изучением символических абстракций , которые захватывают формальные признаки логического вывода, ^{[10] [11]} часто делится на две основные ветви: пропозициональную логику и логик предикатов .

Математическая логика [ править ]

Математическая логика является продолжением символической логики в других областях, в частностик изучению теории моделей , теории доказательств , теории множеств и теории вычислимости . ^{[12] [13]}

Концепции [ править ]

Понятия логической формы и аргументации занимают центральное место в логике.

Аргумент строится путем применения одной из форм различных типов логических рассуждений : дедуктивного , индуктивного и абдуктивного . В дедукции обоснованность аргумента определяется исключительно его логической формой, а не его содержанием, тогда как разумность требует как достоверности, так и того, что все данные посылки действительно истинны. ^[14]

Полнота, последовательность, разрешимость и выразительность - следующие фундаментальные понятия логики. Категоризация логических систем и их свойств привела к появлению метатеории логики, известной как металогика . ^[15] Однако согласие о том, что такое логика на самом деле, так и осталось неуловимым, хотя область универсальной логики изучала общую структуру логики.

Логическая форма [ править ]

Логика обычно считается формальной, когда она анализирует и представляет форму любого допустимого типа аргумента . Форма аргумента отображается путем представления его предложений в формальной грамматике и символике логического языка, чтобы сделать его содержание пригодным для формального вывода. Проще говоря, формализовать означает просто перевести английские предложения на язык логики.

Это называется показом логической формы аргумента. Это необходимо, потому что указательные предложения обычного языка демонстрируют значительное разнообразие форм и сложности, что делает их использование для вывода непрактичным. Для этого необходимо, во-первых, игнорировать те грамматические особенности, не относящиеся к логике (такие как пол и склонение, если аргумент на латыни), заменить союзы, не относящиеся к логике (например, «но»), логическими союзами, такими как «и», и заменить двусмысленные, или альтернативные логические выражения («любой», «каждый» и т. д.) с выражениями стандартного типа (например, «все» или универсальный квантор ∀).

Во-вторых, некоторые части предложения необходимо заменить схематическими буквами. Так, например, выражение «все Ps суть Qs» показывает логическую форму, общую для предложений «все люди - смертные», «все кошки - хищники», «все греки - философы» и т. Д. Схема может быть далее сжата в формулу A (P, Q) , где буква A обозначает суждение «все - есть -».

Важность формы признавалась с древних времен. Аристотель использует переменные буквы для представления достоверных выводов в предшествующей аналитике , в результате чего Ян Лукасевич сказал, что введение переменных было «одним из величайших изобретений Аристотеля». ^[16] Согласно последователям Аристотеля (таким как Аммоний ), к логике принадлежат только логические принципы, изложенные в схематических терминах, а не те, которые даны в конкретных терминах. Конкретные термины «человек», «смертный» и т. Д. Аналогичны значениям подстановки схематических заполнителей P , Q , R , которые назывались «материей» ( греч . : ὕλη , hyle) вывода.

Существует большая разница между видами формул, которые можно увидеть в традиционной терминологической логике, и в исчислении предикатов, которое является фундаментальным достижением современной логики. Формула A (P, Q) (все P суть Q) традиционной логики соответствует более сложной формуле в логике предикатов, включающей логические связки для универсальной количественной оценки и импликации, а не только предикатную букву A, и использование переменных аргументов там, где традиционная логика использует только термин письмо P . Со сложностью приходит сила, и появление исчисления предикатов положило начало революционному росту предмета. ^{[ необходима цитата ]}${\ Displaystyle \ forall x (P (x) \ rightarrow Q (x))}$${\ Displaystyle P (x)}$^[17]

Семантика [ править ]

Достоверность аргумента зависит от значения или семантики предложений, из которых он состоит.

Шесть " Органонов" Аристотеля , особенно De Interpretatione , дают краткий очерк семантики, которую схоластические логики , особенно в тринадцатом и четырнадцатом веках, развили в сложную и изощренную теорию, называемую теорией предположений . Это показало, как истинность простых предложений, выраженных схематично, зависит от того, как термины «предполагают» или обозначают определенные экстралингвистические элементы. Например, в части II его Summa Logicae , Уильям Окков представляет собой всеобъемлющий отчет о необходимых и достаточных условиях для истиныпростых предложений, чтобы показать, какие аргументы верны, а какие нет. Таким образом, «каждое А есть В» истинно тогда и только тогда, когда есть что-то, что означает «А», и нет ничего, что означает «А», что не означает и «В» ». ^[18]

Ранняя современная логика определяла семантику исключительно как отношение между идеями. Антуан Арно в Порт - Роял-Logic , ^{[19] [20]} говорит , что после того, как зачатие вещи нашими идеями, мы сравним эти идеи, и, обнаружив , что некоторые принадлежат вместе , а некоторые нет, мы объединяем или разделить их. Это называется утверждением или отрицанием и вообще суждением . ^[21] Таким образом, истина и ложь не более чем согласие или несогласие идей. Это говорит об очевидных трудностях, и Локкразличать «настоящую» истину, когда наши идеи «реальное существование», и «воображаемую» или «вербальную» истину, когда такие идеи, как гарпии или кентавры, существуют только в уме. ^[22] Эта точка зрения, известная как психологизм , была доведена до крайности в девятнадцатом веке и, как правило, рассматривается современными логиками как обозначение нижней точки упадка логики до двадцатого века.

Современная семантика в некотором роде ближе к средневековому взгляду, отвергая такие психологические условия истинности. Однако введение количественной оценки , необходимой для решения проблемы множественной общности , сделало невозможным анализ субъект-предикат, лежащий в основе средневековой семантики. Основной современный подход модели теоретико-семантика , основанная на Альфреда Тарского «s семантической теории истины . Подход предполагает, что значение различных частей предложений задается возможными способами, которыми мы можем передать рекурсивно заданную группу функций интерпретации из них некоторой заранее определенной области дискурса.: интерпретация логики предикатов первого порядка дается отображением терминов во вселенную индивидов и отображением предложений в значения истинности «истина» и «ложь». Теоретико-модельная семантика - одно из фундаментальных понятий теории моделей . Современная семантика также допускает конкурирующие подходы, такие как семантика теории доказательств, которая связывает значение предложений с ролями, которые они могут играть в выводах, подход, который в конечном итоге происходит из работы Герхарда Гентцена по теории структурных доказательств и находится под сильным влиянием Более поздняя философия Людвига Витгенштейна , особенно его афоризм "смысл есть использование ".

Вывод [ править ]

Вывод не следует путать с импликацией . Подразумевается это предложение формы «Если р , то д», и может быть истинным или ложным. Стоически логик Филон Мегары был первым , чтобы определить условие истинности такой импликации : ложь только тогда , когда антецедент р истинно и , как следствие , д ложна, во всех остальных случаях , правда. Умозаключение , с другой стороны, состоит из двух отдельно заявленных предложений вида «р Поэтому д». Вывод не верен или ложен, но действителен или недействителен. Однако между импликацией и умозаключением существует следующая связь: если импликация «если p, то q» истинна , то вывод «p, следовательно, q» будетдействительный . Это было дано явно парадоксальной формулировкой Филона, который сказал, что импликация «если это день, то это ночь» верна только ночью, поэтому вывод «это день, следовательно, ночь» действителен в ночи, но не днем.

Теория вывода (или « следствий ») систематически развивалась в средневековье такими логиками, как Уильям Оккам и Уолтер Берли . Он уникален в средневековом стиле , хотя берет свое начало в « Топике» Аристотеля и « De Syllogismis hypotheticis» Боэция . По этой причине многие логические термины на латыни. Например, правило, которое разрешает переход от импликации «если p, то q» плюс утверждение его антецедента p к утверждению консеквента q, известно как modus ponens («способ постулирования») - от латинского : posito antecedente ponitur conquens. Латинские формулировки многих других правил, таких как ex falso quodlibet («от лжи [следует]») и reductio ad absurdum («приведение к абсурду», т.е. опровергнуть, показав последствия как абсурдные), также восходят к этому период.

Однако теория следствий , или так называемый гипотетический силлогизм , так и не была полностью интегрирована в теорию категорического силлогизма. Отчасти это произошло из-за сопротивления свести категорическое суждение «каждое s есть p» к так называемому гипотетическому суждению «если что-то есть s, то это p». Считалось, что первое подразумевает «some s is p», второе - нет, и еще в 1911 году в статье Encyclop thedia Britannica о «логике» мы обнаруживаем, что оксфордский логик TH Case возражает против современного анализа вселенского Сигварта и Брентано. предложение.

Логические системы [ править ]

Формальная система - это организация терминов, используемых для анализа дедукции. Он состоит из алфавита, языка над алфавитом для построения предложений и правила построения предложений. Среди важных свойств, которыми могут обладать логические системы :

• Непротиворечивость : ни одна теорема системы не противоречит другой. ^[23]
• Действительность : системные правила доказательства никогда не допускают ложных выводов из истинных посылок.
• Полнота : если формула верна, она может быть доказана, т.е. является теоремой системы.
• Обоснованность : если какая-либо формула является теоремой системы, это правда. Это полная противоположность. (Обратите внимание, что при особом философском использовании этого термина аргумент является правильным, когда он действителен и его предпосылки верны.) ^[14]
• Выразительность : какие концепции можно выразить в системе.

Некоторые логические системы не обладают всеми этими свойствами. В качестве примера теоремы Курта Гёделя о неполноте показывают, что достаточно сложные формальные арифметические системы не могут быть непротиворечивыми и полными; ^[11] однако, логики предикатов первого порядка, не расширенные специальными аксиомами до арифметических формальных систем с равенством, могут быть полными и непротиворечивыми. ^[24]

Логика и рациональность [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Поскольку исследование аргументов имеет очевидное значение для причин, по которым мы считаем истину, логика имеет существенное значение для рациональности . Здесь мы определили логику как «систематическое изучение формы аргументов»; аргументы в пользу аргументации бывают нескольких видов, но лишь некоторые из этих аргументов подпадают под эгиду собственно логики.

Дедуктивное рассуждение касается логического следствия данных предпосылок и является формой рассуждения, наиболее тесно связанной с логикой. На узкой концепции логики (см ниже) логические проблемы просто дедуктивного рассуждения, хотя такое узкое понимание спорно исключает большинство того , что называют неформальной логики от дисциплины.

Существуют и другие формы рассуждений, которые являются рациональными, но обычно не считаются частью логики. Они включают в себя индуктивное рассуждение , которое охватывает форму вывода , что переход из коллекций конкретных решений в универсальные суждения и абдуктивных рассуждений , ^[II] , которая является одной из форм логического вывода , который идет от наблюдения к гипотезе , что счета для надежных данных ( наблюдения ) и пытается объяснить соответствующие доказательства. Американский философ Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914) впервые ввел термин « предположение» . ^[25] Пирс сказал, что для того, чтобы привести гипотетическое объяснение${\ displaystyle a}$из наблюдаемого удивительного обстоятельства - предполагать, что это может быть правдой, потому что тогда это было бы само собой разумеющимся. ^[26] Таким образом, чтобы оттягивать от включает в себя определение того, что является достаточным (или почти достаточно), но не обязательно , для . ^{[27] [28] [29]}${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Хотя индуктивный и абдуктивный вывод не являются частью собственно логики, методология логики применялась к ним с некоторой степенью успеха. Например, понятие дедуктивной достоверности (где вывод является дедуктивно действительным тогда и только тогда, когда нет возможной ситуации, в которой все предпосылки истинны, а вывод ложен), существует по аналогии с понятием индуктивной достоверности или "силы ", где вывод является индуктивно сильным тогда и только тогда, когда его предпосылки дают некоторую степень вероятности его заключению. В то время как понятие дедуктивной валидности может быть строго сформулировано для систем формальной логики в терминах хорошо понятых понятий семантики., индуктивная достоверность требует от нас определения надежного обобщения некоторого набора наблюдений. К задаче предоставления этого определения можно подойти по-разному, некоторые из них менее формальны, чем другие; некоторые из этих определений могут использовать индукцию правила логической ассоциации , в то время как другие могут использовать математические модели вероятности, такие как деревья решений .

Конкурирующие концепции [ править ]

Логика возникла (см. Ниже) из заботы о правильности аргументации . Современные логики обычно стремятся к тому, чтобы логика изучала только те аргументы, которые возникают из соответствующих общих форм вывода. Например, Томас Хофвебер пишет в Стэнфордской энциклопедии философии, что логика «не охватывает, однако, веских рассуждений в целом. Это задача теории рациональности . Скорее, она имеет дело с выводами, обоснованность которых может быть прослежена до формальные особенности представлений, которые участвуют в этом умозаключении, будь то лингвистические, ментальные или другие представления ». ^[30]

Идея о том, что логика рассматривает особые формы аргументации, дедуктивный аргумент, а не аргумент в целом, имеет логическую историю, которая восходит, по крайней мере, к логицизму в математике (19 и 20 века) и появлению влияния математической логики на философию. . Следствием использования логики для обработки особых видов аргументов является то, что она приводит к идентификации особых видов истины, логических истин (при этом логика эквивалентно изучению логической истины) и исключает многие из исходных объектов изучения логики, которые рассматриваются как неформальная логика. Роберт Брэндом возражал против идеи, что логика - это исследование особого вида логической истины, утверждая, что вместо этого можно говорить о логике материального вывода.(в терминологии Уилфреда Селларса ) с логикой, делающей явными обязательства, которые изначально подразумевались в неформальном выводе. ^{[31] [ необходима страница ]}

История [ править ]

Логика происходит от греческого слова logos , которое первоначально означало «слово» или «то, что говорится», но стало означать «мысль» или «разум». В западном мире логика была впервые разработана Аристотелем , который назвал предмет «аналитика». ^[32] Аристотелевская логика получила широкое признание в науке и математике и широко использовалась на Западе до начала 19 века. ^[33] Система логики Аристотеля была ответственна за введение гипотетического силлогизма , ^[34] темпоральной модальной логики , ^{[35] [36]} и индуктивной логики , ^[37]а также влиятельная лексика, такая как термины , предсказания , силлогизмы и предложения . Существовала также противоположная стоическая логика .

В Европе в период позднего средневековья были предприняты большие усилия, чтобы показать, что идеи Аристотеля совместимы с христианской верой. В период высокого средневековья логика стала основным направлением деятельности философов, которые занимались критическим логическим анализом философских аргументов, часто используя вариации методологии схоластики . В 1323 году был освобожден влиятельный Summa Logicae Вильгельма Оккама . К 18 веку структурированный подход к аргументации выродился и вышел из употребления, как это показано в сатирической пьесе Хольберга « Эразм Монтан» . Китайский логический философГунсунь Лун ( ок. 325–250 до н. Э. ) Предложил парадокс: «Один и один не могут стать двумя, поскольку ни один не становится двумя». ^{[13] [iii]} В Китае традиция научного исследования логики, однако, была подавлена ​​династией Цинь, следовавшей законнической философии Хань Фэйцзы .

В Индии школа логики Анвиксики была основана Медхатитхи (ок. 6 в. До н. Э.). ^[38] Нововведения в схоластической школе, называемой Ньяя , продолжались с древних времен до начала 18 века со школой Навья-Ньяя . К XVI веку он разработал теории, напоминающие современную логику, такие как «различие между смыслом и референцией имен собственных» Готтлобом Фреге и его «определение числа», а также теорию «ограничивающих условий для универсалий», предвосхищая некоторые развития современной теории множеств . ^[iv]С 1824 года индийская логика привлекала внимание многих западных ученых и оказала влияние на таких важных логиков XIX века, как Чарльз Бэббидж , Огастес Де Морган и Джордж Буль . ^[39] В 20-м веке западные философы, такие как Станислав Шайер и Клаус Глашофф, более широко исследовали индийскую логику.

Силлогистическая логика , разработанный Аристотель преобладала на Западе до середины 19-го века, когда интерес к основаниям математики стимулировал развитие символической логики (теперь называется математическая логика ). В 1854 году Джордж Буль опубликовал законы мышления , ^[40] введение символической логики и принципы того , что теперь известно как Булева логика . В 1879 году Готтлоб Фреге опубликовал книгу Begriffsschrift , которая положила начало современной логике изобретением кванторной нотации, примирив аристотелевскую и стоическую логики в более широкой системе и решив такие проблемы, для которых аристотелевская логика была бессильна, напримерпроблема множественной общности . С 1910 по 1913 год Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел опубликовали « Principia Mathematica» ^[10], посвященную основам математики, пытаясь вывести математические истины из аксиом и правил вывода в символической логике. В 1931 году Гёдель поднял серьезные проблемы с программой фундаментализма, и логика перестала сосредотачиваться на таких вопросах.

Развитие логики со времен Фреге, Рассела и Витгенштейна оказало глубокое влияние на практику философии и осознанный характер философских проблем (см. Аналитическую философию ) и философию математики . Логика, особенно сентенциальная логика, реализована в компьютерных логических схемах и является фундаментальной для информатики . Логика обычно преподается в университетах на факультетах философии, социологии, рекламы и литературы, часто в качестве обязательной дисциплины.

Типы [ править ]

Силлогистическая логика [ править ]

" Органон" был произведением Аристотеля по логике, причем " Предыдущий анализ" стал первым явным трудом по формальной логике, вводящим силлогистику. ^[16] Части силлогистической логики, также известные под названием « логика» , - это анализ суждений в предложения, состоящие из двух терминов, связанных одним из фиксированного числа отношений, и выражение выводов посредством силлогизмов. которые состоят из двух предложений, использующих общий термин в качестве посылки, и заключения, которое представляет собой предложение, включающее два несвязанных термина из посылок.

В классические времена и со времен средневековья в Европе и на Ближнем Востоке труд Аристотеля рассматривался как образец полностью разработанной системы. Однако это было не только одно: стоики предложили систему логики высказываний, которую изучали средневековые логики. Кроме того, проблема множественной общности признавалась еще в средневековье. Тем не менее, проблемы с силлогистической логикой не рассматривались как нуждающиеся в революционных решениях.

Сегодня некоторые академики утверждают, что система Аристотеля, как правило, считается имеющей не более чем историческую ценность (хотя в настоящее время наблюдается некоторый интерес к расширению терминологической логики), которая считается устаревшей с появлением логики высказываний и исчисления предикатов . Другие используют Аристотеля в теории аргументации, чтобы помочь разработать и критически поставить под сомнение схемы аргументации , которые используются в искусственном интеллекте и юридических аргументах.

Логика высказываний [ править ]

Исчисление высказываний или логика (также исчисление высказываний) - это формальная система, в которой формулы, представляющие предложения, могут быть сформированы путем объединения атомарных предложений с использованием логических связок , и в которой система формальных правил доказательства устанавливает определенные формулы как «теоремы». Пример теоремы логики высказываний гласит, что если A выполняется, то B влечет A. ^{[ необходимая цитата ]}${\ Displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow A}$

Логика предикатов [ править ]

Фреге «s Begriffschrift ввел понятие квантора в графической нотации, который здесь представляет собой суждение , что это правда.${\ Displaystyle \ forall xF (x)}$

Логика предикатов является общим термином для символических формальных систем , таких как логика первого порядка , логики второго порядка , многоосновная логика и инфинитарной логика . Он обеспечивает достаточно общий счет квантификаторов , чтобы выразить широкий набор аргументов, возникающих на естественном языке. Например, знаменитый парадокс парикмахера Бертрана Рассела «есть мужчина, который бреет всех и только мужчин, которые не бреют себя» может быть формализован предложением с использованием нелогичного предиката, чтобы указать, что x - мужчина, и нелогичное отношение, указывающее, что x бреет y${\displaystyle (\exists x)({\text{man}}(x)\wedge (\forall y)({\text{man}}(y)\rightarrow ({\text{shaves}}(x,y)\leftrightarrow \neg {\text{shaves}}(y,y))))}$${\displaystyle {\text{man}}(x)}$${\displaystyle {\text{shaves}}(x,y)}$; все остальные символы формул являются логическими, выражая универсальные и экзистенциальные кванторы , конъюнкцию , импликацию , отрицание и двусмысленность .

В то время как силлогистическая логика Аристотеля определяет небольшое количество форм, которые может принимать соответствующая часть задействованных суждений, логика предикатов позволяет анализировать предложения на предмет и аргумент несколькими дополнительными способами, позволяя логике предикатов решать проблему множественной общности, которая ставила в тупик. средневековые логики.

Развитие логики предикатов обычно приписываются Фрег , который также зачисляется как один из основателей аналитической философии , но формулировка логики предикатов наиболее часто используемой сегодня является логикой первого порядка представлен в принципах математической логики от Давида Гильберта и Вильгельм Аккерман в 1928 году. Аналитическая общность логики предикатов позволила формализовать математику, подтолкнула исследование теории множеств и позволила развить подход Альфреда Тарски к теории моделей . Он обеспечивает основу современной математической логики .

Первоначальная система логики предикатов Фреге была второго порядка, а не первого. Логику второго порядка наиболее заметно защищают (от критики Уилларда Ван Ормана Куайна и других) Джордж Булос и Стюарт Шапиро .

Модальная логика [ править ]

В языках модальность имеет дело с явлением, когда части предложения могут иметь свою семантику, модифицированную специальными глаголами или модальными частицами. Например, « Мы переходим к играм » можно изменить, чтобы дать « Мы должны перейти к играм », « Мы можем перейти к играм » и, возможно, « Мы перейдем к играм ». Говоря более абстрактно, мы могли бы сказать, что модальность влияет на обстоятельства, при которых мы считаем утверждение удовлетворенным. Запутывающая модальность известна как модальная ошибка .

Логика Аристотеля в значительной степени связана с теорией немодализованной логики. Хотя в его работе есть отрывки, такие как знаменитый аргумент о морском сражении в De Interpretatione § 9, которые теперь рассматриваются как предвосхищение модальной логики и ее связи с возможностью и временем, самая ранняя формальная система модальной логики была разработана Авиценна , который в конечном итоге разработал теорию силлогистики « временной модализации ». ^[41]

В то время как изучение необходимости и возможности оставалось важным для философов, небольшое логическое новшество происходило до эпохальных исследований К. И. Льюиса в 1918 году, который сформулировал серию конкурирующих аксиоматизаций алетических модальностей . Его работа вызвала поток новых работ по этой теме, расширив виды рассматриваемой модальности, включив в нее деонтическую логику и эпистемическую логику . Основополагающая работа Артура Прайора применила тот же формальный язык для трактовки темпоральной логики и проложила путь к браку двух субъектов. Сол Крипке открыл (одновременно с соперниками) свою теорию семантики фреймов., которая произвела революцию в формальной технологии, доступной модальным логикам, и дала новый теоретико-графовый подход к модальности, который послужил основой для многих приложений в вычислительной лингвистике и информатике , таких как динамическая логика .

Неформальные рассуждения и диалектика [ править ]

Мотивация к изучению логики в древние времена была ясна: это нужно для того, чтобы научиться отличать хорошие аргументы от плохих и, таким образом, стать более эффективным в споре и ораторском искусстве, а также, возможно, стать лучше. Половина работ Аристотеля « Органон» рассматривают умозаключение, как оно происходит в неформальной обстановке, наряду с развитием силлогистики, и в аристотелевской школе эти неформальные работы по логике рассматривались как дополнительные к трактовке риторики Аристотелем .

Эта древняя мотивация все еще жива, хотя она больше не занимает центральное место в картине логики; Как правило, диалектическая логика составляет основу курса критического мышления , обязательного во многих университетах. Диалектика была связана с логикой с древних времен, но только в последние десятилетия европейские и американские логики пытались обеспечить математические основы логики и диалектики путем формализации диалектической логики. Диалектической логикой также называется особое отношение к диалектике в гегелевской и марксистской мысли. Существовали доформальные трактаты по аргументации и диалектике от таких авторов, как Стивен Тулмин (Использование аргумента ), Николаса Решера ( Диалектика ), ^{[42] [43] [44]} и ван Эмерена и Гроотендорста ( Прагма-диалектика ). Теории противоречивого рассуждения могут обеспечить основу для формализации диалектической логики, а сама диалектика может быть формализована как ходы в игре, где сторонник истинности предложения и оппонент спорят. Такие игры могут обеспечить формальную игровую семантику для многих логик.

Теория аргументации - это изучение и исследование неформальной логики, заблуждений и критических вопросов, связанных с повседневными и практическими ситуациями. Конкретные типы диалога можно анализировать и ставить под сомнение, чтобы выявить предпосылки, выводы и заблуждения. Теория аргументации теперь применяется в искусственном интеллекте и праве .

Математическая логика [ править ]

Математическая логика включает две отдельные области исследований: первая - это применение методов формальной логики к математике и математическим рассуждениям, а вторая, в другом направлении, - применение математических методов к представлению и анализу формальной логики. ^[45]

Самое раннее использование математики и геометрии в связи с логикой и философией восходит к древним грекам, таким как Евклид , Платон и Аристотель . ^[46] Многие другие древние и средневековые философы применяли математические идеи и методы к своим философским утверждениям. ^[47]

Одной из самых смелых попыток применить логику к математике был логицизм, впервые предложенный философами-логиками, такими как Готлоб Фреге и Бертран Рассел . Математические теории должны были быть логическими тавтологиями , и программа должна была показать это посредством сведения математики к логике. ^[10] Различные попыток выполнить это встретились с отказом, от Калечащего проекта Фрега в его Grundgesetze от парадокса Рассела , к поражению программы Гильберта по теореме Гёделя о неполноте .

Как утверждение программы Гильберта, так и ее опровержение Гёделем зависели от их работы, устанавливающей вторую область математической логики - приложение математики к логике в форме теории доказательств . ^[48] Несмотря на отрицательный характер теорем о неполноте, теорема Гёделя о полноте , являющаяся результатом теории моделей и другого приложения математики к логике, может быть понята как показывающая, насколько близок логицизм к истине: каждая строго определенная математическая теория может быть точно охвачены логической теорией первого порядка; Исчисления доказательств Фреге достаточно для описания всей математики, хотя и не эквивалентного ей.

Если теория доказательств и теория моделей были основой математической логики, то они были лишь двумя из четырех столпов предмета. ^[49] Теория множеств возникла в результате изучения бесконечного Георгом Кантором , и она стала источником многих из самых сложных и важных вопросов математической логики, начиная с теоремы Кантора и заканчивая статусом Аксиомы выбора и вопроса независимости гипотезы континуума до современных дебатов о больших кардинальных аксиомах.

Теория рекурсии отражает идею вычислений в логических и арифметических терминах; его самые классические достижения неразрешимость проблема разрешения со стороны Алана Тьюринга , и его презентации тезиса Черча-Тьюринга . ^[50] Сегодня теория рекурсии в основном занимается более тонкой проблемой классов сложности - когда проблема является эффективно разрешимой? - и классификацией степеней неразрешимости . ^[51]

Философская логика [ править ]

Философская логика имеет дело с формальными описаниями обычного неспециализированного («естественного») языка , то есть строго только относительно аргументов в рамках других ветвей философии. Большинство философов полагают, что основная часть повседневных рассуждений может быть отражена в логике, если можно найти метод или методы для перевода обычного языка в эту логику. Философская логика, по сути, является продолжением традиционной дисциплины, называемой «логикой», до изобретения математической логики. Философская логика гораздо больше озабочена связью между естественным языком и логикой. В результате философские логики внесли большой вклад в развитие нестандартных логик (например, свободная логика , временная логика), А также различные расширения классической логики (например , модальные логики ) и нестандартная семантика для таких логик (например , Крипка «ы supervaluationism в семантике логики).

Логика и философия языка тесно связаны. Философия языка связана с изучением того, как наш язык взаимодействует с нашим мышлением. Логика оказывает непосредственное влияние на другие области обучения. Изучение логики и взаимосвязи между логикой и обычной речью может помочь человеку лучше структурировать свои собственные аргументы и критиковать аргументы других. Многие популярные аргументы полны ошибок, потому что многие люди не обучены логике и не знают, как правильно сформулировать аргумент. ^{[52] [53]}

Вычислительная логика [ править ]

Логика врезалась в самое сердце информатики, когда она возникла как дисциплина: работа Алана Тьюринга над проблемой Entscheidungsproblem вытекала из работы Курта Гёделя над теоремами о неполноте . Идея компьютера общего назначения, возникшая в результате этой работы, имела фундаментальное значение для разработчиков компьютерной техники в 1940-х годах.

В 1950-х и 1960-х годах исследователи предсказали, что, когда человеческие знания можно будет выразить с помощью логики с математическими обозначениями , можно будет создать машину, которая имитирует навыки решения проблем человека. Это оказалось труднее, чем ожидалось, из-за сложности человеческого мышления. Летом 1956 года Джон Маккарти , Марвин Мински , Клод Шеннон и Натан Рочестер организовали конференцию на тему того, что они назвали « искусственным интеллектом » (термин, придуманный Маккарти для этого случая). Ньюэлл и Саймон с гордостью представили группе теоретика логики. и были несколько удивлены, когда программа получила теплый прием.

В логическом программировании программа состоит из набора аксиом и правил. Системы логического программирования, такие как Prolog, вычисляют следствия аксиом и правил, чтобы ответить на запрос.

Сегодня логика широко применяется в области искусственного интеллекта, и эта область представляет собой богатый источник проблем в формальной и неформальной логике. Теория аргументации - хороший пример того, как логика применяется к искусственному интеллекту. Система классификации ACM Computing, в частности, касается:

• Раздел F.3 «Логика и значения программ» и F.4 «Математическая логика и формальные языки» как часть теории информатики: эта работа охватывает формальную семантику языков программирования , а также работу формальных методов, таких как как логика Хора ;
• Логическая логика как основа компьютерного оборудования: в частности, системный раздел B.2 « Арифметические и логические структуры », относящийся к операторам AND , NOT и OR ;
• Многие фундаментальные логические формализмы необходимы для раздела I.2 об искусственном интеллекте, например, модальная логика и логика по умолчанию в формализмах и методах представления знаний , предложения Хорна в логическом программировании и логика описания .

Кроме того, компьютеры могут использоваться в качестве инструментов для логиков. Например, в символической логике и математической логике доказательства, сделанные людьми, могут выполняться с помощью компьютера. Используя автоматическое доказательство теорем , машины могут находить и проверять доказательства, а также работать с доказательствами, слишком длинными для написания вручную.

Неклассическая логика [ править ]

Обсуждаемые выше логики являются « двухвалентными » или «двузначными»; то есть они наиболее естественно понимаются как разделение предложений на истинные и ложные. Неклассические логики - это те системы, которые отвергают различные правила классической логики .

Гегель разработал свою собственную диалектическую логику, которая расширила трансцендентальную логику Канта, но также вернула ее к основанию, заверив нас, что «ни на небе, ни на земле, ни в мире разума, ни в природе нет где-либо такого абстрактного». –Или », как утверждает рассудок. Все, что существует, конкретно, с различиями и противоположностями в себе». ^[54]

В 1910 году Николай Васильев расширил закон исключенного третьего и закон противоречия и предложил закон исключенного четвертого и логику, терпимую к противоречию. ^[55] В начале 20 века Ян Лукасевич исследовал расширение традиционных истинных / ложных значений, включив в них третье значение, «возможное» (или неопределенное, гипотезу), поэтому изобрел троичную логику , первую многозначную логику в Западная традиция. ^[56] Незначительная модификация тернарной логики была позже введена в родственную троичную логическую модель, предложенную Стивеном Коулом Клини.. Система Клини отличается от логики Лукасевича в том, что касается исхода импликации. Первое предполагает, что оператор импликации между двумя гипотезами порождает гипотезу.

С тех пор была разработана такая логика, как нечеткая логика с бесконечным числом «степеней истины», представленных действительным числом от 0 до 1. ^[57]

Л. Дж. Брауэр предложил интуиционистскую логику в качестве правильной логики для рассуждений о математике, основанной на его отказе от закона исключенного третьего как части его интуиционизма . Брауэр отвергал формализацию в математике, но его ученица Аренд Гейтинг изучала интуиционистскую логику формально, как и Герхард Генцен . Интуиционистская логика представляет большой интерес для компьютерных ученых, поскольку это конструктивная логика и видит множество приложений, таких как извлечение проверенных программ из доказательств и влияние на дизайн языков программирования через соответствие формул как типов .

Модальная логика не является условной истиной, и поэтому ее часто предлагают как неклассическую логику. Однако модальная логика обычно формализуется по принципу исключенного третьего, а ее реляционная семантика бивалентна, поэтому это включение является спорным.

Споры [ править ]

"Логика эмпирическая?" [ редактировать ]

Каков эпистемологический статус законов логики ? Какие аргументы подходят для критики предполагаемых принципов логики? В влиятельной статье, озаглавленной « Является ли логика эмпирической? » ^[58], Хилари Патнэм , опираясь на предложение У. В. Куайна , утверждала, что в целом факты логики высказываний имеют такой же эпистемологический статус, что и факты о физической вселенной, например, законы механики или общей теории относительности , и, в частности, то, что физики узнали о квантовой механике, дает убедительный аргумент в пользу отказа от некоторых знакомых принципов классической логики: если мы хотимреалистами о физических явлениях, описываемых квантовой теорией, то мы должны отказаться от принципа дистрибутивности , заменив классическую логику квантовой логикой, предложенной Гарретом Биркгофом и Джоном фон Нейманом . ^[59]

В другой одноименной статье Майкла Даммета утверждается, что стремление Патнэма к реализму требует закона распределенности. ^[60] Дистрибутивность логики необходима для понимания реалистом того, насколько истинны утверждения о мире, точно так же, как он утверждал, что принцип двухвалентности. Таким образом, вопрос: «Является ли логика эмпирической?» можно увидеть, что оно естественным образом ведет к фундаментальному противоречию в метафизике о реализме и антиреализме .

Последствия: строгие или материальные [ править ]

Понятие импликации, формализованное в классической логике, неудобно переводить на естественный язык с помощью «если ... то ...» из-за ряда проблем, называемых парадоксами материальной импликации .

Первый класс парадоксов связан с контрфактами, например, если луна сделана из зеленого сыра, то 2 + 2 = 5 , что вызывает недоумение, потому что естественный язык не поддерживает принцип взрыва . Устранение этого класса парадоксов было причиной формулировки строгой импликации К. И. Льюиса , которая в конечном итоге привела к более радикальной ревизионистской логике, такой как логика релевантности .

Второй класс парадоксов включает в себя избыточные посылки, ложно предполагающие, что мы знаем преемника из-за предшествующего положения: таким образом, «если этот человек будет избран, бабушка умрет» материально верно, поскольку бабушка смертна, независимо от избирательных перспектив этого человека. Такие предложения нарушают максиму релевантности Грайса и могут быть смоделированы с помощью логики, которая отвергает принцип монотонности следования , такой как логика релевантности.

Терпеть невозможное [ править ]

Георг Вильгельм Фридрих Гегель глубоко критиковал любое упрощенное понятие закона непротиворечия . Он был основан на идее Готфрида Вильгельма Лейбница о том, что этот закон логики также требует достаточного основания, чтобы указать, с какой точки зрения (или времени) говорят, что что-то не может противоречить самому себе. Например, здание движется и не движется; основанием для первого является наша Солнечная система, а для второго - Земля. В гегелевской диалектике закон непротиворечивости, тождества сам по себе опирается на различие и поэтому не может быть утвержден независимо.

С вопросами, возникающими из парадоксов импликации, тесно связано предположение о том, что логика должна терпеть непоследовательность . Логика релевантности и паранепротиворечивая логика являются здесь наиболее важными подходами, хотя проблемы здесь разные: ключевым следствием классической логики и некоторых ее конкурентов, таких как интуиционистская логика , является то, что они уважают принцип взрыва , что означает, что логика рушится. если это может привести к противоречию. Грэм Прист , главный сторонник диалетеизма , отстаивал паросогласованность на том основании, что на самом деле существуют истинные противоречия. ^{[61][ требуется разъяснение ]}

Отказ от логической истины [ править ]

Философская жилка различных видов скептицизма содержит множество видов сомнений и отрицания различных оснований, на которых зиждется логика, таких как идея логической формы, правильного вывода или значения, обычно приводящих к выводу об отсутствии логических истин . Это контрастирует с обычными взглядами в философском скептицизме , где логика направляет скептическое исследование на сомнение в принятой мудрости, как в работе Секста Эмпирика .

Фридрих Ницше является ярким примером отказа от обычной основы логики: его радикальный отказ от идеализации привел его к отрицанию истины как «... подвижной армии метафор, метонимов и антропоморфизмов - короче ... метафор, которые являются изношенные и лишенные чувственной силы; монеты, потерявшие свой рисунок и теперь имеющие значение только как металл, а не как монеты ». ^[62] Его отрицание истины не привело к тому, что он полностью отверг идею вывода или логики, а скорее предположил, что «логика [возникла] в голове человека [из] нелогичности, царство которой изначально должно было быть огромным. Бесчисленное множество. существа, которые делали выводы не так, как мы, погибли ". ^[63]Таким образом, существует идея, что логический вывод используется как инструмент для выживания человека, но что его существование не поддерживает существование истины и не имеет реальности, выходящей за рамки инструментального: «Логика тоже основывается на предположениях, что не соответствуют чему-либо в реальном мире ". ^[64]

Однако эта позиция Ницше стала предметом пристального внимания по нескольким причинам. Некоторые философы, такие как Юрген Хабермас , заявляют, что его позиция опровергает сам себя, и обвиняют Ницше в том, что он даже не имеет последовательной точки зрения, не говоря уже о теории познания. ^[65] Георг Лукач в своей книге «Разрушение разума» утверждает, что «если бы мы изучили утверждения Ницше в этой области с логико-философской точки зрения, мы бы столкнулись с головокружительным хаосом самых мрачных утверждений, произвольных и произвольных. крайне несовместимы ". ^[66] Бертран Рассел описал иррациональные утверждения Ницше так: «Он любит выражать себя парадоксально и с целью шокировать обычных читателей».в его книгеИстория западной философии . ^[67]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Логика в PhilPapers
• Логика в проекте онтологии философии Индианы
• «Логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• "Логическое исчисление" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Схема вербальной логики
• Введение и учебные пособия
  • «Введение в философскую логику, Пол Ньюолл» . Архивировано из оригинала 3 апреля 2008 года. ориентированы на новичков.
  • forall x: Введение в формальную логику , написанное П. Д. Магнусом , охватывает сентенциальную и количественную логику.
  • Самоучитель по логике: рабочая тетрадь (изначально подготовленная для интерактивного обучения логике).
    • Николас Решер . (1964). Введение в логику , St. Martin's Press.
• Эссе
  • «Символическая логика» и «Игра логики» , Льюис Кэрролл , 1896 г.
  • Математика и логика: история формальных математических, логических, лингвистических и методологических идей. В Словаре истории идей.
• Онлайн-инструменты
  • Интерактивная силлогистическая машина Веб-силлогистическая машина для исследования заблуждений, цифр, терминов и форм силлогизмов.
  • Логический калькулятор . Интернет-приложение для оценки простых операторов символьной логики.
• Справочные материалы
  • Советы по переводу от Питера Субера для перевода с английского языка в логическую нотацию.
  • Онтология и история логики. Введение с аннотированной библиографией.
• Списки чтения
  • Философия Учебное пособие Лондон предлагает много предложений о том , что читать, в зависимости от знакомства студента с темой:
    • Логика и метафизика
    • Теория множеств и дальнейшая логика
    • Математическая логика
• Категории аудиокниги в свободном доступе на LibriVox