В математике , теорема Абеля для степенных рядов относится к пределу степенного ряда к сумме ее коэффициентов . Он назван в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля .
Теорема
Позволять
- степенной ряд с действительными коэффициентами a k и радиусом сходимости 1. Предположим, что ряд
сходится. Тогда G ( x ) непрерывна слева в точке, т.е.
Та же теорема верна для комплексных степенных рядов
при условии, что в пределах сектора Штольца , то есть области открытого единичного диска, где
для некоторого М . Без этого ограничения предел может не существовать: например, степенной ряд
сходится к 0 при z = 1, но не ограничено вблизи любой точки вида e π i / 3 n , поэтому значение при z = 1 не является пределом, поскольку z стремится к 1 во всем открытом диске.
Заметим, что G ( z ) непрерывна на отрезке вещественного отрезка [0, t ] при t <1 в силу равномерной сходимости ряда на компактных подмножествах круга сходимости. Теорема Абеля позволяет сказать больше, а именно, что G ( z ) непрерывна на [0, 1].
Замечания
Как непосредственное следствие этой теоремы, если z - любое ненулевое комплексное число, для которого ряд
сходится, то
в котором предел взят снизу .
Теорема также может быть обобщена для учета сумм, расходящихся до бесконечности. [ необходима цитата ] Если
тогда
Однако, если известно, что ряд расходится только по причинам, отличным от расходящегося до бесконечности, то утверждение теоремы может потерпеть неудачу: возьмем, например, степенной ряд для
В серия равна но
Отметим также, что теорема верна для радиусов сходимости, отличных от : позволять
- степенной ряд с радиусом сходимости , и предположим, что ряд сходится в . потом непрерывна слева в , т.е.
Приложения
Полезность теоремы Абеля состоит в том, что она позволяет нам найти предел степенного ряда в качестве аргумента (т. Е. ) Приближается к 1 снизу, даже в тех случаях , когда радиус сходимости ,, степенного ряда равно 1, и мы не можем быть уверены, должен ли предел быть конечным или нет. См., Например, биномиальный ряд . Теорема Абеля позволяет вычислять многие ряды в замкнутой форме. Например, когда
мы получаем
интегрируя равномерно сходящийся геометрический степенной ряд по члену на ; таким образом, серия
сходится к по теореме Абеля. По аналогии,
сходится к
называется производящей функцией последовательности. Теорема Абеля часто бывает полезна при работе с производящими функциями действительных и неотрицательных последовательностей , такими как функции, производящие вероятность . В частности, это полезно в теории процессов Гальтона – Ватсона .
Схема доказательства
После вычитания константы из , можно считать, что . Позволять. Затем подставиви выполнение простой обработки ряда ( суммирование по частям ) приводит к
Дано выбрать п достаточно большой так , чтобы для всех и обратите внимание, что
когда z лежит в пределах заданного угла Штольца. Когда z достаточно близко к 1, мы имеем
чтобы когда z достаточно близко к 1 и находится в пределах угла Штольца.
Связанные понятия
Обращение к теореме, подобной теореме Абеля, называется тауберовыми теоремами : нет точного обратного, но результаты зависят от некоторой гипотезы. Область расходящихся рядов и методов их суммирования содержит множество теорем абелевого типа и тауберова типа .
Смотрите также
дальнейшее чтение
- Альфорс, Ларс Валериан (1 сентября 1980 г.). Комплексный анализ (Третье изд.). Макгроу Хилл Высшее образование. С. 41–42. ISBN 0-07-085008-9.- Альфорс назвал это предельной теоремой Абеля .
Внешние ссылки
- Суммируемость Абеля в PlanetMath . (более общий взгляд на абелевы теоремы этого типа)
- А.А. Захаров (2001) [1994], "Метод суммирования Абеля" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайсштейн, Эрик У. «Теорема сходимости Абеля» . MathWorld .