В математике , формула суммирования Абеля , введенный Нильс Хенрик Абель , интенсивно используются в теории чисел и изучении специальных функций для вычисления ряда .
Позволять быть последовательностью из реальных или комплексных чисел . Определите функцию частичной суммы от
для любого реального числа . Исправить реальные числа, и разреши - непрерывно дифференцируемая функция на. Потом:
Формула получена путем применения интегрирования по частям для интеграла Римана-Стилтьеса к функциям а также .
Вариации
Принимая левую конечную точку за дает формулу
Если последовательность индексируется, начиная с , то можно формально определить . Предыдущая формула становится
Обычный способ применения формулы суммирования Абеля состоит в том, чтобы взять предел одной из этих формул как . Полученные формулы:
Эти уравнения выполняются, если оба предела в правой части существуют и конечны.
Особенно полезным случаем является последовательность для всех . В таком случае,. Для этой последовательности формула суммирования Абеля упрощается до
Аналогично для последовательности а также для всех , формула принимает вид
Взяв предел как , мы нашли
предполагая, что оба члена в правой части существуют и конечны.
Формула суммирования Абеля может быть обобщена на случай, когда считается непрерывным только в том случае, если интеграл интерпретируется как интеграл Римана – Стилтьеса :
Принимая чтобы быть функцией частичной суммы, связанной с некоторой последовательностью, это приводит к формуле суммирования по частям .
Гармонические числа
Если для а также тогда и формула дает
Слева - номер гармоники .
Представление дзета-функции Римана
Исправить комплексное число . Если для а также тогда и формула становится
Если , то предел при существует и дает формулу
Это может быть использовано для вывода теоремы Дирихле о том, что имеет простой полюс с вычетом 1 при s = 1 .
Взаимная дзета-функция Римана
Технику предыдущего примера можно применить и к другим сериям Дирихле . Если- функция Мёбиуса и, тогда - функция Мертенса и
Эта формула верна для .