Номер гармоники

Номер гармоники с (красная линия) с его асимптотическим пределом (синяя линия) где - постоянная Эйлера – Маскерони .${\ displaystyle H_ {n}}$${\ Displaystyle п = \ lfloor x \ rfloor}$${\ Displaystyle \ гамма + \ пер (х)}$${\ displaystyle \ gamma}$

В математике , то п -го номера гармоники является суммой обратных первых п натуральных чисел :

${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = \ sum _ { k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}$

Гармонические числа связаны со средним гармоническим в том смысле, что n- ое гармоническое число также в n раз больше гармонического среднего первых n натуральных чисел.

Числа гармоник изучаются с древних времен и играют важную роль в различных разделах теории чисел . Иногда их называют в общих чертах гармоническими рядами , они тесно связаны с дзета-функцией Римана и появляются в выражениях различных специальных функций .

Числа гармоник примерно аппроксимируют функцию натурального логарифма ^{[1] : 143,} и, таким образом, соответствующий гармонический ряд растет неограниченно, хотя и медленно. В 1737 году Леонард Эйлер использовал расходимость гармонического ряда, чтобы предоставить новое доказательство бесконечности простых чисел . Его работа была продолжена в комплексной плоскости по Бернхард Риман в 1859 году, что привело непосредственно к знаменитой гипотезы Римана о распределении простых чисел .

Когда стоимость большого количества предметов имеет распределение по закону Ципфа , общая стоимость n наиболее ценных предметов пропорциональна n- му номеру гармоники. Это приводит к множеству неожиданных выводов относительно длинного хвоста и теории сетевой ценности .

Постулат Бертрана подразумевает, что, за исключением случая n = 1 , гармонические числа никогда не являются целыми. ^[2]

Личности, включающие гармонические числа [ править ]

По определению, гармонические числа удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\ displaystyle H_ {n + 1} = H_ {n} + {\ frac {1} {n + 1}}.}$

Числа гармоник связаны с числами Стирлинга первого рода соотношением

${\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ left [{n + 1 \ наверху 2} \ right].}$

Функции

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {x ^ {n}} {n!}} (\ log x-H_ {n})}$

удовлетворить собственность

${\ displaystyle f_ {n} '(x) = f_ {n-1} (x).}$

Особенно

${\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}$

является интегралом от логарифмической функции.

Гармонические числа удовлетворяют тождествам ряда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$

эти два результата во многом аналогичны соответствующим интегральным результатам

${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x}$

Личности с участием π [ править ]

Есть несколько бесконечных суммирований, включающих гармонические числа и степени π : ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}$

Расчет [ править ]

Интегральное представление, данное Эйлером ^[4], имеет вид

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

Приведенное выше равенство очевидно из простого алгебраического тождества

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$

Используя замену x = 1 - u , другое выражение для H _n имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

График, демонстрирующий связь между гармоническими числами и натуральным логарифмом . Номер гармоники H _n можно интерпретировать как риманову сумму интеграла:${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

П - й гармоники числа примерно так же большой , как натуральный логарифм от п . Причина в том, что сумма аппроксимируется интегралом

${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$

значение которого равно ln n .

Значения последовательности H _n - ln n монотонно убывают к пределу

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$

где γ ≈ 0,5772156649 - постоянная Эйлера – Маскерони . Соответствующее асимптотическое разложение имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

где B _k - числа Бернулли .

Генерация функций [ править ]

Производящая функция для гармонических чисел

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$

где ln ( z ) - натуральный логарифм . Экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$

где Ein ( z ) - весь экспоненциальный интеграл . Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$

где Γ (0, z ) - неполная гамма-функция .

Арифметические свойства [ править ]

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Хорошо известно, что это целое число тогда и только тогда , когда результат часто приписывается Тайсингеру. ^[5] Действительно, используя 2-адическое значение , нетрудно доказать, что числитель числа является нечетным, а знаменатель - четным числом. Точнее,${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle n=1}$${\textstyle n\geq 2}$${\textstyle H_{n}}$${\textstyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

с некоторыми нечетными целыми числами и .${\textstyle a_{n}}$${\textstyle b_{n}}$

Как следствие теоремы Вольстенхольма , для любого простого числа числитель делится на . Кроме того, Эйзенштейн ^[6] доказал, что для всех нечетных простых чисел верно${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle H_{p-1}}$${\textstyle p^{2}}$${\textstyle p}$

${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$

где является частным Ферма , со следствием, которое делит числитель тогда и только тогда, когда является простым числом Вифериха .${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$${\textstyle p}$${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$${\textstyle p}$

В 1991 году Эшваратхасан и Левин ^[7] определили множество всех положительных целых чисел , числитель которых делится на простое число. Они доказали, что${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$

для всех простых чисел, и они определили гармонические простые числа как простые числа , у которых ровно 3 элемента.${\displaystyle p\geq 5,}$${\textstyle p}$${\displaystyle J(p)}$

Эшваратхасан и Левин также предположили, что это конечное множество для всех простых чисел и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд ^[8] подтвердил, что это число конечно для всех простых чисел вплоть до 83, 127 и 397; и он предложил эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел во множестве всех простых чисел должна быть . Санна ^[9] показал, что имеет нулевую асимптотическую плотность , в то время как Бинг-Лин Ву и Юн-Гао Чен ^[10] доказали, что количество элементов непревышения не больше , для всех .${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle p=547}$${\displaystyle 1/e}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$${\displaystyle x\geq 1}$

Приложения [ править ]

Номера гармоник присутствуют в нескольких формулах расчета, например в дигамма-функции.

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$

Это соотношение также часто используется для определения расширения гармонических чисел до нецелых n . Номера гармоник также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее ограничения:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$

несмотря на то что

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$

сходится быстрее.

В 2002 году Джеффри Лагариас доказал ^[11], что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$

верно для любого целого n ≥ 1 со строгим неравенством, если n > 1 ; здесь σ ( n ) обозначает сумму делителей числа n .

Собственные значения нелокальной задачи

${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$

задаются формулой , где по соглашению , а соответствующие собственные функции задаются полиномами Лежандра . ^[12]${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$${\displaystyle H_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$

Обобщения [ править ]

Обобщенные числа гармоник [ править ]

Обобщен номер гармоники порядка т из п задается

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$

Другие иногда используемые обозначения включают

${\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}$

Частный случай m = 0 дает Частный случай m = 1 просто называется гармоническим числом и часто записывается без m , как${\displaystyle H_{n,0}=n.}$

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Предел при n → ∞ конечен, если m > 1 , а обобщенное гармоническое число ограничено и сходится к дзета-функции Римана

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$

Наименьшее натуральное число k такое, что k ⁿ не делит знаменатель числа обобщенной гармоники H ( k , n ) и знаменатель переменного числа обобщенной гармоники H ′ ( k , n ) для n = 1, 2, .. .:

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма встречается при изучении чисел Бернулли ; гармонические числа также появляются при изучении чисел Стирлинга .${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$

Некоторые интегралы от обобщенных гармонических чисел равны

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$

и

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$где A - постоянная Апери , т.е. ζ (3).

и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0}$

Каждый обобщенный номер гармоники порядка m может быть записан как функция гармоники порядка m-1, используя:

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$   Например: ${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

Производящая функция для обобщенных гармонических чисел

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$

где - полилогарифм , а | z | <1 . Приведенная выше производящая функция для m = 1 является частным случаем этой формулы.${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$

Дробный аргумент для обобщенных гармонических чисел можно ввести следующим образом :

Для каждого целого числа, целого числа или нет, у нас есть функции полигаммы:${\displaystyle p,q>0}$${\displaystyle m>1}$

${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$

где - дзета-функция Римана . Соответствующее рекуррентное отношение:${\displaystyle \zeta (m)}$

${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}}$

Некоторые особые значения:

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},2}=16-8G-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$где G - постоянная Каталонии

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},2}=4-{\tfrac {\pi ^{2}}{3}}}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},2}=8G+{\tfrac {16}{9}}-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},3}=64-27\zeta (3)-\pi ^{3}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},3}=8-6\zeta (3)}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},3}={({\tfrac {4}{3}})}^{3}-27\zeta (3)+\pi ^{3}}$

В частном случае мы получаем${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1)}$,

где - дзета-функция Гурвица . Это соотношение используется для численного расчета номеров гармоник.${\displaystyle \zeta (m,n)}$

Формулы умножения [ править ]

Теорема умножения применима к гармоническим числам. Используя полигамма- функции, получаем

${\displaystyle H_{2x}={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2}$

${\displaystyle H_{3x}={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,}$

или, в более общем смысле,

${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$

Для обобщенных гармонических чисел имеем

${\displaystyle H_{2x,2}={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)}$

${\displaystyle H_{3x,2}={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),}$

где - дзета-функция Римана .${\displaystyle \zeta (n)}$

Гипергармонические числа [ править ]

Следующее обобщение было обсуждено Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге 1995 года «Книга чисел» . ^{[1] : 258} Пусть

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$

Тогда n-е гипергармоническое число порядка r ( r> 0 ) определяется рекурсивно как

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$

В частности, это обычный номер гармоники .${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$${\displaystyle H_{n}}$

Числа гармоник для действительных и комплексных значений [ править ]

Формулы, приведенные выше,

${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=-\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}$

представляют собой интегральное и серийное представление для функции, которая интерполирует гармонические числа и, посредством аналитического продолжения , расширяет определение на комплексную плоскость, кроме отрицательных целых чисел x . Функция интерполяции на самом деле тесно связана с функцией дигаммы.

${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$

где ψ ( x ) - дигамма, а γ - постоянная Эйлера-Маскерони. Процесс интеграции можно повторить, чтобы получить

${\displaystyle H_{x,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$

Ряд Тейлора для гармонических чисел

${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$

который происходит из серии Тейлора для функции дигаммы.

Аппроксимация с использованием разложения в ряд Тейлора [ править ]

Номер гармоники можно аппроксимировать, используя несколько первых членов разложения в ряд Тейлора: ^[13]

${\displaystyle H_{n}=\gamma +\log(n)+{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\simeq \gamma +\log(n)+{\frac {1}{2n}}}$

Где это постоянная Эйлера-Mascheroni .${\displaystyle \gamma =0.57721...}$

Альтернативная, асимптотическая формулировка [ править ]

При поиске аппроксимации  H _x для комплексного числа  x эффективно сначала вычислить  H _m для некоторого большого целого числа  m . Используйте это, чтобы аппроксимировать значение для  H _{m + x,} а затем используйте соотношение рекурсии H _n = H _{n −1} + 1 / n назад  m раз, чтобы развернуть его до приближения для  H _x . Кроме того, это приближение является точным в пределе, когда  m стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа  n это тот случай, когда

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0\,,}$

Если  n не является целым числом, то невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще не определили (в этом разделе) гармонические числа для нецелых чисел. Однако мы действительно получаем уникальное расширение гармонических чисел на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число  n заменяется произвольным комплексным числом  x .

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,,}$

Поменяв местами две части этого уравнения, а затем вычтя их из  H _x, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$

Этот бесконечный ряд сходится для всех комплексных чисел  x, кроме отрицательных целых чисел, которые терпят неудачу, потому что попытка использовать рекурсивное отношение H _n = H _{n −1} + 1 / n назад через значение  n = 0 включает деление на ноль. Согласно этой конструкции, функция, которая определяет номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1 / x для всех комплексных чисел  xкроме неположительных целых чисел, и (3) lim _{m → + ∞} ( H _{m + x} - H _m ) = 0 для всех комплексных значений  x .

Обратите внимание, что эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что:

${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma \,,}$

где  γ - постоянная Эйлера – Маскерони или, в более общем смысле, для каждого  n мы имеем:

${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln {(n!)}\,.}$

Специальные значения для дробных аргументов [ править ]

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, задаваемые интегралом

${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$

Из рекуррентного отношения могут быть сгенерированы другие значения

${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$

или из отношения отражения

${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$

Например:

${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}=2-2\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt {3}}{\tfrac {\pi }{6}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{4}}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}-3\ln {2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}$

Для положительных целых чисел p и q с p < q имеем:

${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$

Связь с дзета-функцией Римана [ править ]

Некоторые производные дробных номеров гармоник даются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$

И, используя ряд Маклорена , для x <1 имеем :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для a > 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Оценка Уоттерсона
• Таджима D
• Проблема сборщика купонов
• Проблема с джипом
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Встреча Стирлинга с гармоническими числами» (PDF) . Математический журнал . 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . DOI : 10.2307 / 3219141 . JSTOR  3219141 . Архивировано из оригинального (PDF) 17 июня 2009 года . Проверено 8 августа 2005 .
• Дональд Кнут (1997). «Раздел 1.2.7: Числа гармоник». Искусство программирования . Том 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75–79. ISBN 978-0-201-89683-1.
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер - Оценка Базельской проблемы (2003)
• Пол, Питер ; Шнайдер, Карстен (2003). "Компьютерные доказательства нового семейства гармонических числовых тождеств" (PDF) . Adv. Appl. Математика . 31 (2): 359–378. DOI : 10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2 .
• Вэньчан Чу (2004). «Биномиальное тождество коэффициента, связанное с гипотезой Беккерса о числах Апери» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 11 : N15.
• Айхан Дил; Иштван Мезо (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычисления . 206 (2): 942–951. arXiv : 0803.4388 . DOI : 10.1016 / j.amc.2008.10.013 .

См. Также [ править ]

• False_discovery_rate # Benjamini – Yekutieli_procedure

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число» . MathWorld .

Эта статья включает в себя материал из Harmonic number на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .