Гармоническое среднее

В математике , то гармоническое среднее является одним из нескольких видов в среднем , и , в частности, один из пифагорейских средств . Обычно это подходит для ситуаций, когда требуется среднее значение ставок .

Гармоническое среднее может быть выраженно в виде обратной части среднего арифметических величин, обратные данный набор наблюдений. В качестве простого примера, гармоническое среднее для 1, 4 и 4 равно

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1 ^ {- 1} +4 ^ {- 1} +4 ^ {- 1}} {3}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {3} {{\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}}}} = {\ frac {3} {1.5}} = 2 \, .}$

Определение [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Гармоническое среднее H положительных действительных чисел определяется как${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle H = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} { x_ {n}}}}} = {\ frac {n} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}}}} = \ left ({ \ frac {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {- 1}} {n}} \ right) ^ {- 1}.}$

Третья формула в приведенном выше уравнении выражает гармоническое среднее как обратное к среднему арифметическому обратных величин.

По следующей формуле:

${\displaystyle H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.}$

более очевидно, что среднее гармоническое связано со средним арифметическим и геометрическим . Это обратная двойная из среднего арифметического для положительных входов:

${\displaystyle 1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})}$

Гармоническое среднее - это вогнутая функция Шура , в которой преобладает минимум ее аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов . Таким образом, гармоническое среднее нельзя сделать произвольно большим путем изменения некоторых значений на более крупные (при неизменном по крайней мере одном значении).${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

Среднее гармоническое также является вогнутым , что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура. Однако следует позаботиться об использовании только положительных чисел, поскольку среднее значение не может быть вогнутым, если используются отрицательные значения.

Отношения с другими средствами [ править ]

Среднее гармоническое - одно из трех пифагорейских средних . Для всех наборов положительных данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений , гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних ^{[2], в} то время как среднее арифметическое всегда наибольшее из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних всегда равны друг другу; например, гармонические, геометрические и арифметические средние для {2, 2, 2} равны 2).

Это частный случай M _-1 от средней мощности :

${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$

Поскольку гармоническое среднее значение списка чисел сильно стремится к наименьшему количеству элементов в списке, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние больших выбросов и усугублять влияние мелких.

Среднее арифметическое часто по ошибке используется в местах, где требуется гармоническое среднее. ^[3] Например, в приведенном ниже примере скорости среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.

Гармоническое среднее связано с другими пифагоровыми средними, как показано в уравнении ниже. Это можно увидеть, интерпретировав знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел n раз, но каждый раз опуская j-й член. То есть для первого члена мы умножаем все n чисел, кроме первого; для второго мы умножаем все n чисел, кроме второго; и так далее. Числитель, исключая n , который идет со средним арифметическим, представляет собой среднее геометрическое в степени  n . Таким образом, n-е гармоническое среднее связано с n-м геометрическим и арифметическим средними. Общая формула

${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$

Если набор неидентичных чисел подвергается разбросу, сохраняющему среднее значение, то есть два или более элемента набора «разнесены» друг от друга, при этом среднее арифметическое значение остается неизменным, то среднее гармоническое всегда уменьшается. ^[4]

Гармоническое среднее двух или трех чисел [ править ]

Два числа [ править ]

Для частного случая всего двух чисел и гармоническое среднее значение можно записать${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}.}$

В этом специальном случае, гармоническое среднее связан с среднее арифметическое и среднее геометрическое по${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\cdot \left({\frac {G}{A}}\right).}$

Поскольку в силу неравенства среднего арифметического и геометрического , это показывает для случая n = 2, что H ≤ G (свойство, которое на самом деле выполняется для всех n ). Из этого также следует, что среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднему арифметическому и гармоническому.${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

Три числа [ править ]

Для частного случая трех чисел , и , гармоническое среднее может быть записано${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Три положительных числа H , G и A являются соответственно гармоническим, геометрическим и средним арифметическим трех положительных чисел тогда и только тогда, когда ^{[5] : стр.74, № 1834} выполняется следующее неравенство

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Взвешенное гармоническое среднее [ править ]

Если набор веса , ..., связан с набором данных , ..., , то взвешенное среднее гармоническое определяется${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

Невзвешенное гармоническое среднее значение можно рассматривать как частный случай, когда все веса равны.

Примеры [ править ]

В физике [ править ]

Средняя скорость [ править ]

Во многих ситуациях, связанных с коэффициентами и отношениями , среднее гармоническое дает правильное среднее значение . Например, если транспортное средство преодолевает определенное расстояние d на скорости x (например, 60 км / ч) и возвращает то же расстояние со скоростью y (например, 20 км / ч), то его средняя скорость представляет собой гармоническое среднее значение x а y (30 км / ч) - не среднее арифметическое (40 км / ч). Общее время в пути такое же, как если бы он проехал все расстояние со средней скоростью. Это можно доказать следующим образом: ^[6]

Средняя скорость за весь путь = Общее пройденное расстояние/Сумма времени для каждого сегментазнак равно 2 дн./d/Икс + d/у знак равно 2/1/Икс+1/у

Однако, если транспортное средство движется в течение определенного количества времени при скорости х , а затем такое же количество времени при скорости у , то его средняя скорость является среднее арифметическое из х и у , которые в приведенном выше примере составляет 40 км / час Тот же принцип применяется к более чем двум сегментам: учитывая серию дополнительных поездок с разными скоростями, если каждая дополнительная поездка охватывает одно и то же расстояние , то средняя скорость является гармоническим средним всех скоростей дополнительных поездок; и если каждая дополнительная поездка занимает одинаковое количество времени , тогда средняя скорость является арифметическойсреднее значение всех дополнительных скоростей. (Если нет ни того, ни другого, то требуется взвешенное среднее гармоническое или средневзвешенное арифметическое . Для среднего арифметического скорость каждого участка пути взвешивается по продолжительности этого участка, а для среднего гармонического - соответствующий вес - расстояние. В обоих случаях полученная формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования гармонического среднего для случая «взвешивания по расстоянию». Задайте задачу найти «медленность» поездки, где «медленность» (в часах на километр) является обратной скоростью. Когда обнаруживается медленность поездки, инвертируйте ее, чтобы найти "истинную" среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i медленность s _i = 1 / скорость _i . Затем возьмем средневзвешенное арифметическое значение s _iвзвешиваются по их соответствующим расстояниям (необязательно с нормализованными весами, чтобы они суммировались до 1 путем деления на длину пути). Это дает истинную среднюю медленность (по времени на километр). Оказывается, что эта процедура, которую можно выполнить без знания среднего гармонического, сводится к тем же математическим операциям, которые можно было бы использовать при решении этой проблемы с использованием среднего гармонического. Таким образом, это показывает, почему в данном случае работает среднее гармоническое.

Плотность [ править ]

Точно так же, если кто-то хочет оценить плотность сплава с учетом плотностей составляющих его элементов и их массовых долей (или, что то же самое, массовых процентов), то прогнозируемая плотность сплава (исключая обычно незначительные изменения объема из-за атома эффекты упаковки) - это взвешенное среднее гармоническое индивидуальных плотностей, взвешенное по массе, а не взвешенное среднее арифметическое, как можно было сначала ожидать. Чтобы использовать средневзвешенное арифметическое значение, плотности должны быть взвешены по объему. Применение размерного анализа к проблеме при маркировке единиц массы по элементам и обеспечении отмены только одинаковых масс элементов делает это ясным.

Электричество [ править ]

Если соединить два электрических резистора параллельно, один с сопротивлением x (например, 60 Ом ), а другой - с сопротивлением y (например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы использовались два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равно среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом (половина гармонического среднего). Тот же принцип применим к конденсаторам, включенным последовательно, или к параллельным индукторам .

Однако, если резисторы соединить последовательно, то среднее сопротивление будет средним арифметическим значений x и y (с общим сопротивлением, равным сумме x и y). Этот принцип применим к конденсаторам, включенным параллельно, или к последовательно включенным индукторам .

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется, когда подключено более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности, при условии, что все они включены параллельно или все включены последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений. ^[7]

Оптика [ править ]

Что касается других оптических уравнений , уравнение тонкой линзы 1/ж знак равно 1/ты + 1/vможно переписать так, чтобы фокусное расстояние f составляло половину гармонического среднего расстояний между объектом u и объектом v от линзы. ^[8]

В финансах [ править ]

Средневзвешенное гармоническое среднее является предпочтительным методом для усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цена / прибыль (P / E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического, высоким точкам данных присваивается больший вес, чем низким точкам данных. С другой стороны, взвешенное гармоническое среднее правильно взвешивает каждую точку данных. ^[9] Простое взвешенное среднее арифметическое, применяемое к ненормированным по цене коэффициентам, таким как P / E, смещено в сторону повышения и не может быть оправдано численно, поскольку оно основано на уравненной прибыли; точно так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше). ^[10]

Например, рассмотрим две фирмы: одна с рыночной капитализацией 150 миллиардов долларов и прибылью 5 миллиардов долларов (P / E 30), а другая с рыночной капитализацией 1 миллиард долларов и прибылью 1 миллион долларов (P / E 1000). Рассмотрим индекс, составленный из двух акций, при этом 30% вложено в первую и 70% - во вторую. Мы хотим рассчитать соотношение P / E этого индекса.

Используя средневзвешенное арифметическое значение (неверно):

${\displaystyle P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709}$

Используя взвешенное гармоническое среднее (правильное):

${\displaystyle P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46}$

Таким образом, правильный P / E 93,46 этого индекса может быть найден только с использованием взвешенного среднего гармонического, в то время как взвешенное среднее арифметическое будет значительно его завышать.

В геометрии [ править ]

В любом треугольнике радиус вписанной окружности составляет одну треть гармонического среднего значения высот .

Для любой точки Р на незначительные дуги до н от окружности в качестве равностороннего треугольника АВС, с расстояния д и т с В и С , соответственно, и с пересечением ПА и ВС находясь на расстоянии у от точки Р, мы имеем , что у составляет половину гармонического среднего значений q и t . ^[11]

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и высотой h от гипотенузы до прямого угла h ² составляет половину гармонического среднего значений a ² и b ² . ^{[12] [13]}

Пусть t и s ( t > s ) - стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда s ² равно половине гармонического среднего значений c ² и t ² .

Пусть трапеция имеет последовательно вершины A, B, C и D и параллельные стороны AB и CD. Пусть E - пересечение диагоналей , и пусть F находится на стороне DA, а G - на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC. (Это можно доказать, используя аналогичные треугольники.)

Одним из применений этого результата в виде трапеции является задача о перекрещенных лестницах , где две лестницы лежат напротив друг друга поперек переулка, каждая с опорой на основание одной боковой стены, одна опирается на стену на высоте А, а другая опирается на противоположную стену на высоте. высота B , как показано. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда ч составляет половину средней гармонического A и B . Этот результат сохраняется, если стены наклонены, но параллельны, а «высоты» A , B и hизмеряются как расстояния от пола по линиям, параллельным стенам. Это можно легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площади.

В эллипсе , то пол-Латусе прямой кишка (расстояние от фокуса до эллипса вдоль линии , параллельной оси малой) является гармоническим средним значением максимальных и минимальных расстояний эллипса с фокуса.

В других науках [ править ]

В информатике , особенно в области поиска информации и машинного обучения , гармоническое среднее значение точности (истинных положительных результатов на прогнозируемое положительное) и отзыва (истинных положительных результатов на реальное положительное) часто используется в качестве агрегированной оценки производительности для оценки алгоритмов и систем: F-оценка (или F-мера). Это используется при поиске информации, потому что только положительный класс имеет значение , а количество отрицательных, как правило, велико и неизвестно. ^[14] Таким образом, это компромисс в отношении того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к количеству предсказанных положительных результатов или количеству реальных положительных результатов, поэтому он измеряется в сравнении с предполагаемым количеством положительных результатов, которое является средним арифметическим из двух возможные знаменатели.

Следствие возникает из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают вместе. Например, если газовый насос может опорожнить бассейн за 4 часа, а насос с батарейным питанием может опорожнить тот же бассейн за 6 часов, тогда потребуются оба насоса.6,4/6 + 4, что равно 2,4 часа, чтобы слить воду из бассейна. Это половина гармонического среднего числа 6 и 4:2 · 6 · 4/6 + 4= 4,8 . Это подходящее среднее значение для двух типов насосов - это среднее гармоническое значение, и для одной пары насосов (двух насосов) оно занимает половину этого среднего времени гармоники, тогда как для двух пар насосов (четырех насосов) потребуется четверть времени. этого гармонического среднего времени.

В гидрологии среднее гармоническое аналогичным образом используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, перпендикулярного слоям (например, геологического или почвенного) - для потока, параллельного слоям, используется среднее арифметическое. Это очевидное различие в усреднении объясняется тем фактом, что в гидрологии используется проводимость, которая является обратной по отношению к удельному сопротивлению.

В саберметрии число мощности и скорости игрока является гармоническим средним из их хоум-рана и украденных базовых тоталов.

В популяционной генетике гармоническое среднее используется при расчете влияния колебаний численности населения переписи на эффективный размер популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как « узкое место» популяции, увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это является результатом того факта, что после узкого места очень немногие люди вносят вклад в генофонд, ограничивая генетические вариации, присутствующие в популяции для многих будущих поколений.

При рассмотрении экономии топлива в автомобиляхОбычно используются две меры - мили на галлон (миль на галлон) и литры на 100 км. Поскольку размеры этих величин являются обратными друг другу (одно - это расстояние на объем, другое - на расстояние), при взятии среднего значения экономии топлива для ряда автомобилей одна мера будет давать гармоническое среднее значение другого - то есть преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон, даст гармоническое среднее значение экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива автопарком из индивидуальных значений расхода топлива следует использовать среднее гармоническое, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если автопарк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные нормы расхода автомобильного топлива) используют среднее гармоническое.

В химии и ядерной физике средняя масса на одну частицу смеси, состоящей из различных компонентов (например, молекул или изотопов), дается гармоническим средним значением масс отдельных частиц, взвешенных по их соответствующей массовой доле.

Бета-распространение [ править ]

Гармоническое среднее бета-распределения с параметрами формы α и β равно:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

Гармоническое среднее с α <1 не определено, потому что его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Положив α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым), а другой параметр приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

В случае среднего геометрического гармоническое среднее может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае четырех параметров.

Среднее значение второй гармоники ( H _{1 - X} ) также существует для этого распределения

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Это гармоническое среднее с β <1 не определено, потому что его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Положив α = β в приведенном выше выражении

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Хотя оба гармонических средних асимметричны, при α = β два средних значения равны.

Логнормальное распределение [ править ]

Гармоническое среднее ( H ) логнормального распределения равно ^[15]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

где μ - среднее арифметическое, а σ ² - дисперсия распределения.

Гармонические и арифметические средние связаны соотношением

${\displaystyle {\frac {\mu }{H}}=1+C_{v}\,,}$

где C _v - коэффициент вариации .

Геометрические ( G ), арифметические и гармонические средние связаны соотношением ^[16]

${\displaystyle H\mu =G^{2}.}$

Распределение Парето [ править ]

Гармоническое среднее распределение Парето типа 1 равно ^[17]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

где k - параметр масштаба, а α - параметр формы.

Статистика [ править ]

Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. И среднее, и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).

Примерные распределения среднего и дисперсии [ править ]

Среднее значение выборки m асимптотически распределено нормально с дисперсией s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

Сама дисперсия среднего составляет ^[18]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

где m - среднее арифметическое обратных величин, x - переменные, n - размер популяции, а E - оператор математического ожидания.

Дельта-метод [ править ]

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что к выборке применима центральная предельная теорема, тогда, используя дельта-метод , дисперсия равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

где H - среднее гармоническое, m - среднее арифметическое обратных величин.

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² - дисперсия обратных величин данных

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

и n - количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа [ править ]

Складной нож метод оценки дисперсии возможно , если среднее значение известно. ^[19] Это обычный метод «удалить 1», а не «удалить m».

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки ( m )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

где x - выборочные значения.

Затем вычисляется серия значений w _i , где

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Затем берется среднее значение ( h ) w _i :

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

Дисперсия среднего составляет

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-h)}^{2}.}$

Затем можно оценить проверку значимости и доверительные интервалы для среднего значения с помощью t-критерия .

Выборка со смещением по размеру [ править ]

Предположим, что случайная величина имеет распределение f ( x ). Предположим также, что вероятность того, что переменная будет выбрана, пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или размера.

Пусть μ - среднее значение по совокупности. Тогда функция плотности вероятности f * ( x ) популяции со смещением размера равна

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

Ожидаемое значение этого смещенного по длине распределения E ^* ( x ) равно ^[18]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

где σ ² - дисперсия.

Ожидаемое гармоническое среднее значение такое же, как и для версии E ( x ) без смещения длины.

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

Проблема смещения выборки по длине возникает в ряде областей, включая текстильное производство ^[20], анализ родословной ^[21] и анализ выживаемости ^[22].

Акман и др. разработали тест для обнаружения систематической ошибки в выборках. ^[23]

Сдвинутые переменные [ править ]

Если X - положительная случайная величина и q > 0, то для всех ε > 0 ^[24]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Моменты [ править ]

Если предположить, что X и E ( X )> 0, то ^[24]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Это следует из неравенства Дженсена .

Гурланд показал, что ^[25] для распределения, которое принимает только положительные значения, для любого n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

При некоторых условиях ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

где ~ означает приблизительно.

Свойства выборки [ править ]

Предполагая, что переменные ( x ) взяты из логнормального распределения, существует несколько возможных оценок для H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

Из них H ₃ , вероятно, является наилучшей оценкой для выборок из 25 или более. ^[27]

Оценщики смещения и дисперсии [ править ]

Приближение первого порядка к смещению и дисперсии H ₁ составляет ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

где C _v - коэффициент вариации.

Аналогично в первом приближении с целью смещения и дисперсии H ₃ являются ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

В численных экспериментах H ₃ обычно является лучшей оценкой гармонического среднего, чем H ₁ . ^[28] H ₂ дает оценки, которые во многом аналогичны H ₁ .

Примечания [ править ]

Агентство по охране окружающей среды рекомендует использование гармонического среднего в установлении максимальных уровней токсинов в воде. ^[29]

В геофизических пластовых инженерных исследованиях, средний гармоническая широко используются. ^[30]

См. Также [ править ]

• Контрагармоническое среднее
• Обобщенное среднее
• Номер гармоники
• Оценить (математика)
• Средневзвешенное значение
• Параллельное суммирование
• Среднее геометрическое
• Среднее геометрическое взвешенное
• HM-GM-AM-QM неравенства

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое среднее» . MathWorld .
• Средние арифметические и гармонические Средства на вырез в-узел