В математике тремя классическими пифагоровыми средними являются среднее арифметическое (AM), среднее геометрическое (GM) и гармоническое среднее (HM). Пифагорейцы и более поздние поколения греческих математиков изучали пропорции этих средств [1] из-за их важности в геометрии и музыке.
Определение
Они определяются:
Характеристики
Каждое означает, , имеет следующие свойства:
- Однородность первого порядка
- Инвариантность при обмене
- для любой а также .
- Монотонность
- Идемпотентность
Монотонность и идемпотентность вместе означают, что среднее значение набора всегда находится между крайними точками набора.
Гармонические и арифметические средние являются взаимными двойниками друг друга для положительных аргументов:
в то время как среднее геометрическое является взаимно двойственным:
Неравенство средств
Есть заказ на эти средства (если все положительные)
с равенством выполняется тогда и только тогда, когда все равны.
Это обобщение неравенства средних арифметических и геометрических и частный случай неравенства для обобщенных средних . Доказательство следует из арифметико-геометрического среднего неравенства ,, и взаимная двойственность ( а также также взаимно двойственны друг другу).
Изучение пифагорейских средних тесно связано с изучением мажоризации и выпуклых функций Шура . Гармонические и геометрические средние являются вогнутыми симметричными функциями своих аргументов и, следовательно, вогнутыми по Шуру, в то время как среднее арифметическое является линейной функцией своих аргументов, то есть вогнутыми и выпуклыми.
История
Почти все, что мы знаем о пифагорейских средних, взято из справочников по арифметике, написанных в первом и втором веках. Никомах из Герасы говорит, что они были «признаны всеми древними, Пифагором, Платоном и Аристотелем». Их самое раннее известное использование - это фрагмент пифагорейского философа Архита Тарентского :
«В музыке есть три средства: одно - арифметическое, второе - геометрическое, третье - субпротивоположное, которое они называют гармоническим. Среднее арифметическое, когда три члена пропорциональны так, что превышение, на которое первое превышает второе, равно тому, на которое второе превышает третье. В этой пропорции получается, что интервал больших членов меньше, а меньших - больше. Среднее значение является геометрическим, когда они таковы, что как первое относится ко второму, так и второе относится к третьему. Интервал между большим и меньшим из этих членов равен. Субпротиворечия, которую мы называем гармонической, - это среднее значение, когда они таковы, что независимо от того, какая часть самого себя первый член превышает вторую, по этой части третьей средний член превышает третий. Оказывается, в этой пропорции интервал между большими членами больше, а между меньшими членами меньше ». [3]
Название «гармоническое среднее», согласно Ямвлиху , было придумано Архитом и Гиппасом . Пифагорейские средства также появляются в Plato «s Тимей . Еще одно свидетельство их раннего использования - комментарий Паппа .
Это было [ . . . ] Теэтет, который различал силы, соизмеримые по длине, от несоизмеримых, и который разделил наиболее известные иррациональные линии различными способами, приписав средние линии геометрии, биномиальные - арифметическим и апотом - гармонии, как утверждает Евдем , перипатетик. [4]
Термин «средний» (μεσότης, mesótēs на древнегреческом) появляется в неопифагорейских арифметических справочниках в связи с термином «пропорция» (ἀναλογία, аналогия на древнегреческом). [ необходима цитата ]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хит, Томас. История древнегреческой математики .
- ^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM . - ^ Хаффман, Карл (2005). Архит Тарентский: король пифагорейцев, философов и математиков . Издательство Кембриджского университета. п. 163. ISBN. 1139444077.
- ^ Хаффман, Карл (2014). История пифагореизма . Издательство Кембриджского университета. п. 168. ISBN 1139915983.
Внешние ссылки
- Кантрелл, Дэвид В. «Пифагорейские средства» . MathWorld .