Средний

В разговорной речи среднее значение - это одно число, используемое в качестве представителя списка чисел. В разных контекстах используются разные концепции среднего. Часто «среднее» относится к среднему арифметическому - сумме чисел, деленной на количество усредняемых чисел. В статистике , среднее , медиана и режим все известны как меры по центральной тенденции , и в разговорном использовании любого из них можно было бы назвать среднее значение .

Расчет [ править ]

Пифагорейское означает [ править ]

Среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое вместе известны как пифагорейские средние.

Среднее арифметическое [ править ]

Самый распространенный тип среднего - это среднее арифметическое. Если п числа заданы, каждое число обозначается _я (где я = 1,2, ..., п ), среднее арифметическое является суммой из ы делится на п или

{\text{AM}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}

Среднее арифметическое, часто называемое просто средним двух чисел, например 2 и 8, получается путем нахождения такого значения A, что 2 + 8 = A + A. Можно обнаружить, что A = (2 + 8) / 2 = 5. Изменение порядка 2 и 8 на 8 и 2 не изменяет результирующее значение, полученное для A. Среднее значение 5 не меньше минимального 2 и не больше максимального 8. Если мы увеличим количество членов в список до 2, 8 и 11, среднее арифметическое определяется путем решения для значения а в уравнении 2 + 8 + 11 = + + A . Получается, что A = (2 + 8 + 11) / 3 = 7.

Среднее геометрическое [ править ]

Геометрическое среднее из п положительных чисел получается путем умножения их все вместе , а затем взяв п - й корень. В алгебраических терминах среднее геометрическое a ₁ , a ₂ , ..., a _n определяется как

{\text{GM}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}

Среднее геометрическое можно рассматривать как антилогарифм среднего арифметического журналов чисел.

Пример: среднее геометрическое 2 и 8 равно ${\text{GM}}={\sqrt {2\cdot 8}}=4$

Гармоническое среднее [ править ]

Гармоническая средняя для непустого набора чисел ₁ , ₂ , ..., _п , все , отличное от 0, определяется как обратной арифметического среднего обратных из _я ' ы:

{\text{HM}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}

Одним из примеров использования гармонического среднего является исследование скорости для ряда поездок на фиксированное расстояние. Например, если скорость перехода из точки A в B составляла 60 км / ч, а скорость возврата из точки B в A была 40 км / ч, то гармоническая средняя скорость определяется как

{\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48

Неравенство в отношении AM, GM и HM [ править ]

Хорошо известное неравенство относительно средних арифметических, геометрических и гармонических для любого набора положительных чисел:

{\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}

(Алфавитный порядок букв A , G и H сохраняется в неравенстве.) См. Неравенство средних арифметических и геометрических .

Таким образом, для приведенного выше примера среднего гармонического сигнала: AM = 50, GM ≈ 49 и HM = 48 км / ч.

Статистическое местоположение [ править ]

Режим , то медиана , и в середине диапазон часто используются в дополнении к среднему в оценках центральной тенденции в описательных статистиках . Все это в какой-то мере можно рассматривать как минимизирующие вариации; см. Центральная тенденция § Решения вариационных задач .

Сравнение обычных средних значений {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}
Тип	Описание	Пример	Результат
Среднее арифметическое	Сумма значений набора данных, деленная на количество значений: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7	4
Медиана	Среднее значение, разделяющее большую и меньшую половины набора данных	1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9	3
Режим	Наиболее частое значение в наборе данных	1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9	2
Средний диапазон	Среднее арифметическое наибольшее и наименьшее значения набора	(1 + 9) / 2	5

Режим [ править ]

Сравнение среднего арифметического , медианы и режима двух логнормальных распределений с разной асимметрией

Номер, который чаще всего встречается в списке, называется режимом. Например, режим списка (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) - 3. Может случиться так, что есть два или более чисел, которые встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое число. В этом случае нет согласованного определения режима. Некоторые авторы говорят, что это все режимы, а некоторые говорят, что режима нет.

Медиана [ править ]

Медиана - это средний номер группы, когда они ранжируются по порядку. (Если имеется четное число чисел, берется среднее из двух средних.)

Таким образом, чтобы найти медиану, упорядочьте список в соответствии с величиной его элементов, а затем несколько раз удаляйте пару, состоящую из самого высокого и самого низкого значений, пока не останется одно или два значения. Если осталось ровно одно значение, это медиана; если два значения, медиана - это среднее арифметическое этих двух. Этот метод берет список 1, 7, 3, 13 и приказывает ему прочитать 1, 3, 7, 13. Затем 1 и 13 удаляются, чтобы получить список 3, 7. Поскольку в этом оставшемся списке есть два элемента, медиана - это их среднее арифметическое, (3 + 7) / 2 = 5.

Средний [ править ]

Средний диапазон - это среднее арифметическое самого высокого и самого низкого значений набора.

Сводка типов [ править ]

Имя	Уравнение или описание
Среднее арифметическое	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$
Медиана	Среднее значение, отделяющее верхнюю половину от нижней половины набора данных.
Геометрическая медиана	Вращение инвариантное расширение медианы для точек в R ^п
Режим	Наиболее частое значение в наборе данных
Среднее геометрическое	${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}$
Гармоническое среднее	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
Среднее квадратичное (или RMS)	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}$
Кубическое среднее	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}$
Обобщенное среднее	${\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$
Средневзвешенное значение	${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$
Усеченное среднее	Среднее арифметическое значений данных после отбрасывания определенного количества или пропорции наивысшего и наименьшего значений данных
Межквартильное среднее	Частный случай усеченного среднего с использованием межквартильного размаха . Частный случай интерквантильного усеченного среднего, который работает с квантилями (часто децилями или процентилями), которые равноудалены, но находятся по разные стороны от медианы.
Средний диапазон	${\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)$
Winsorized среднее	Подобно усеченному среднему, но вместо удаления крайних значений они устанавливаются равными наибольшему и наименьшему оставшимся значениям.

Таблица математических символов объясняет символы , используемые ниже.

Разные типы [ править ]

Другими более сложными средними являются: трехсреднее , триедианное и нормализованное среднее с их обобщениями. ^[1]

Можно создать собственную среднюю метрику, используя обобщенное f- среднее :

y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)

где f - любая обратимая функция. Гармоническое среднее является примером этого с использованием f ( x ) = 1 / x , а среднее геометрическое - другим, используя f ( x ) = log x .

Однако этот метод генерации средних не является достаточно общим, чтобы охватить все средние значения. Более общий метод ^[2] для определения среднего значения принимает любую функцию g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) из списка аргументов, которая является непрерывной , строго возрастающей по каждому аргументу и симметричной (инвариантной относительно перестановки аргументов). Среднее значение y - это значение, которое при замене каждого члена списка приводит к тому же значению функции: g ( y , y , ..., y ) = g( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) . Это наиболее общее определение по-прежнему отражает важное свойство всех средних значений: среднее значение списка идентичных элементов - это сам этот элемент. Функция g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x ₁ + x ₂ + ··· + x _n обеспечивает среднее арифметическое. Функция g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = x₁x ₂ ··· x _n (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает среднее геометрическое. Функция g ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) = - ( x ₁⁻¹ + x ₂⁻¹ + ··· + x _n⁻¹ ) (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает гармоническое среднее. ^[2]

Средняя процентная доходность и CAGR [ править ]

Тип среднего, используемый в финансах, - это средняя процентная доходность. Это пример среднего геометрического. Когда доходность является годовой, это называется среднегодовым темпом роста (CAGR). Например, если мы рассматриваем период в два года, и доходность инвестиций в первый год составляет -10%, а доходность во втором году составляет + 60%, тогда можно получить средний процентный доход или CAGR, R. путем решения уравнения: (1 - 10%) × (1 + 60%) = (1 - 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R ) × (1 + R ) . Значение Rчто делает это уравнение истинным, составляет 0,2, или 20%. Это означает, что общая прибыль за двухлетний период такая же, как если бы рост составлял 20% каждый год. Порядок лет не имеет значения - средняя процентная доходность + 60% и -10% - это тот же результат, что и для -10% и + 60%.

Этот метод можно обобщить на примеры, в которых периоды не равны. Например, рассмотрим период в полгода, для которого доходность составляет -23%, и период в два с половиной года, для которого доходность составляет + 13%. Средняя процентная доходность за комбинированный период - это доходность за один год, R , которая является решением следующего уравнения: (1 - 0,23) ^0,5 × (1 + 0,13) ^2,5 = (1 + R ) ^{0,5 + 2,5} , что дает средняя доходность R 0,0600 или 6,00%.

Скользящее среднее [ править ]

Учитывая временные ряды, такие как дневные цены на фондовых рынках или годовые температуры, люди часто хотят создать более плавные ряды. ^[3] Это помогает выявить основные тенденции или, возможно, периодическое поведение. Легкий способ сделать это - скользящее среднее : выбирается число n и создается новый ряд, взяв среднее арифметическое первых n значений, затем продвигаясь вперед на одно место, отбрасывая самое старое значение и вводя новое значение в другом. конец списка и так далее. Это простейшая форма скользящей средней. Более сложные формы предполагают использование средневзвешенного. Взвешивание можно использовать для усиления или подавления различного периодического поведения, и в литературе по фильтрации есть очень обширный анализ того, какие веса использовать . В цифровой обработке сигналов термин «скользящее среднее» используется даже тогда, когда сумма весов не равна 1,0 (поэтому выходной ряд является масштабированной версией средних значений). ^[4] Причина этого в том, что аналитика обычно интересует только тренд или периодическое поведение.

История [ править ]

Происхождение [ править ]

Впервые зарегистрированный раз, когда среднее арифметическое было расширено с 2 до n случаев для использования оценки, было в шестнадцатом веке. Начиная с конца шестнадцатого века, он постепенно стал обычным методом для уменьшения ошибок измерения в различных областях. ^[5]^[6] В то время астрономы хотели узнать реальное значение на основе измерения с шумом, например, положение планеты или диаметр Луны. Используя среднее нескольких измеренных значений, ученые предположили, что ошибки составляют относительно небольшое число по сравнению с суммой всех измеренных значений. Метод вычисления среднего значения для уменьшения ошибок наблюдений действительно получил развитие в астрономии. ^[5]^[7]Возможный предшественник среднее арифметическое является в середине диапазона (среднее из двух крайних значений), используемый, например , в арабской астрономии девятого до одиннадцатого веков, но и в области металлургии и навигации. ^[6]

Однако существуют различные старые расплывчатые ссылки на использование среднего арифметического (которые не так ясны, но, возможно, имеют отношение к нашему современному определению среднего). В тексте 4-го века было написано, что (текст в квадратных скобках является возможным отсутствующим текстом, который может прояснить смысл): ^[8]

В первую очередь, мы должны выложить в ряд последовательность чисел от монады до девяти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Затем мы должны сложить количество всех из них вместе, и поскольку строка содержит девять членов, мы должны искать девятую часть суммы, чтобы увидеть, присутствует ли она уже естественным образом среди чисел в строке; и мы обнаружим, что свойство быть [одной] девятой [суммы] принадлежит только самому [арифметическому] среднему ...

Существуют даже более старые потенциальные ссылки. Есть записи, что примерно с 700 г. до н.э. торговцы и грузоотправители соглашались, что ущерб, нанесенный грузу и кораблю (их «вклад» в случае повреждения морем), должен быть разделен поровну между собой. ^[7] Это могло быть рассчитано с использованием среднего значения, хотя, похоже, нет прямой записи этого расчета.

Этимология [ править ]

Корень встречается на арабском языке как عوار awār , дефект или что-либо дефектное или поврежденное, включая частично испорченный товар; и عواري awārī (также عوارة awāra ) = «относящийся к awār , состоянию частичного повреждения». ^[9] В западных языках история слова начинается со средневековой морской торговли на Средиземном море. В Генуе XII и XIII веков латинское слово avaria означало «ущерб, убытки и необычные расходы, возникающие в связи с морским торговым путешествием»; такое же значение для аварии имеет Марсель в 1210 году, Барселона в 1258 году и Флоренция в конце 13 века . ^[10] Французская авария XV векаимело то же значение, и оно породило английское «averay» (1491 г.) и английское «среднее» (1502 г.) с одинаковым значением. Сегодня итальянская авария , каталонская авария и французская авари все еще имеют основное значение «повреждение». Огромная трансформация значения в английском языке началась с практики в контрактах, заключенных в более позднем средневековье и раннем современном западном торговом мореплавании, согласно которым, если судно попадет в сильный шторм, некоторые товары должны быть выброшены за борт, чтобы сделать судно легче и безопаснее тогда все купцы, чьи товары были на корабле, должны были пострадать пропорционально (а не чьи бы то ни было товары были выброшены за борт); и вообще должно было быть пропорциональное распределение любой аварии. Отсюда это слово было принято британскими страховщиками, кредиторами и торговцами для того, чтобы говорить о своих убытках как о распределении по всему их портфелю активов и о средней пропорции. Сегодняшнее значение возникло из этого, началось в середине 18 века и началось в английском языке. ^[10] [1] .

Ущерб на море - это либо частный средний ущерб , который несет только владелец поврежденного имущества, либо общий ущерб , при котором владелец может требовать пропорционального вклада от всех сторон морского предприятия. Тип расчетов, используемых при корректировке общего среднего, привел к использованию «среднего» для обозначения «среднего арифметического».

Второе английское употребление, задокументированное еще в 1674 году и иногда пишущееся как «авериш», - это остаток и второй рост полевых культур, которые считались пригодными для употребления тягловыми животными («аверс»). ^[11]

Существует более раннее (по крайней мере, с 11 века) несвязанное использование этого слова. Похоже, это старый юридический термин для обозначения дневных трудовых обязательств арендатора перед шерифом, вероятно, англизированный от слова «avera», найденного в Английской книге судного дня (1085 г.).

Оксфордский словарь английского языка, однако, говорит, что производные от немецкого hafen haven и арабского awâr loss (ущерб) были «полностью уничтожены», и это слово имеет романское происхождение. ^[12]

Средние значения как риторический инструмент [ править ]

Из-за вышеупомянутой разговорной природы термина «среднее», этот термин можно использовать, чтобы скрыть истинное значение данных и предложить различные ответы на вопросы в зависимости от используемого метода усреднения (чаще всего - среднего арифметического, медианы или режима). В своей статье «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» член факультета Питтсбургского университета Дэниел Либертц комментирует, что по этой причине статистическая информация часто исключается из риторических аргументов. ^[13]Однако из-за их убедительности, средние и другие статистические значения не следует полностью отбрасывать, а вместо этого использовать и интерпретировать с осторожностью. Либертц предлагает нам критически относиться не только к статистической информации, такой как средние значения, но и к языку, используемому для описания данных и их использования, говоря: «[в] если статистика полагается на интерпретацию, риторы должны приглашать свою аудиторию интерпретировать, а не настаивать на интерпретация ". ^[13] Во многих случаях данные и конкретные расчеты предоставляются, чтобы облегчить эту интерпретацию на основе аудитории.

См. Также [ править ]

Среднее абсолютное отклонение
Закон средних чисел
Ожидаемое значение
Центральная предельная теорема

Ссылки [ править ]

^ Мериго, Хосе М .; Канановас, Монтсеррат (2009). «Обобщенный гибридный оператор усреднения и его применение в принятии решений» . Журнал количественных методов экономики и делового администрирования . 9 : 69–84. ISSN 1886-516X .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ a b Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей» . Математический журнал Глазго . 15 : 63–65. DOI : 10.1017 / s0017089500002135 .
^ Коробка, Джордж EP; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (пересмотренная ред.). Холден-Дэй. ISBN 0816211043.
^ Хайкин, Саймон (1986). Теория адаптивного фильтра . Прентис-Холл. ISBN 0130040525.
^ a b Plackett, RL (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: VII. Принцип среднего арифметического». Биометрика . 45 (1/2): 130–135. DOI : 10.2307 / 2333051 . JSTOR 2333051 .
^ а б Эйзенхарт, Черчилль. «Развитие концепции наилучшего среднего из множества измерений от античности до наших дней». Неопубликованное обращение президента, Американская статистическая ассоциация, 131-е ежегодное собрание, Форт-Коллинз, Колорадо. 1971 г.
^ a b Баккер, Артур. «Ранняя история средних значений и значения для образования». Журнал статистики образования 11.1 (2003): 17-26.
^ "Уотерфилд, Робин." Богословие арифметики. "О мистическом, математическом и космологическом символизме числа первой десятки (1988). Стр. 70" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 27 ноября 2018 .
^ В средневековом арабском языке عور awr означало «слепой на один глаз», а عوار awār означало «любой дефект или что-либо дефектное или поврежденное». Некоторые средневековые арабские словари находятся на Baheth.info, заархивированы 2013-10-29 на Wayback Machine , а некоторые переводы на английский язык того, что есть в средневековых арабских словарях, есть в арабско-английском лексиконе Лейна , страницы 2193 и 2195 . Средневековые словари не перечисляют словоформу عوارية awārīa . Слово ʿwārīa может быть естественным образом образовано в арабской грамматике для обозначения вещей, которые имеют awār , но на практике в средневековых арабских текстах awārīaявляется редкостью или не существует, в то время как формы عواري awārī и عوارة awāra часто используются для обозначения вещей, которые имеют awār или повреждение - это можно увидеть в доступной для поиска коллекции средневековых текстов на сайте AlWaraq.net (ссылки на книги можно щелкнуть на Правая сторона).
^ а б Об арабском происхождении аварии впервые сообщил Рейнхарт Дози в 19 веке. Оригинальное резюме Дози находится в его книге 1869 года Glossaire . Сводная информация о ранних записях этого слова на итальянско-латинском, итальянском, каталонском и французском языках находится на avarie @ CNRTL.fr. Архивировано 6 января 2019 года в Wayback Machine . В морском порту Генуи была сделана самая ранняя известная запись на европейских языках, 1157 год. Набор средневековых латинских записей об аварии в Генуе находится в загружаемом лексиконе Vocabolario Ligure , написанном Серджио Апросио, 2001 год, аварияв Томе 1 страницы 115-116. Многие другие записи на средневековой латыни в Генуе находятся на сайте StoriaPatriaGenova.it , обычно во множественном числе avariis и avarias . В порту Марселя в 1-й половине 13-го века нотариально заверенные коммерческие контракты содержат десятки экземпляров латинского avariis (аблатив множественного числа от avaria ), опубликованного в Blancard 1884 года . Некоторая информация об английском слове на протяжении веков находится в NED (1888 год) . См. Также определение английского слова «средний» в английских словарях, опубликованных в начале 18 века, то есть в период времени, непосредственно предшествующий значительному изменению значения: словарь Керси-Филлипса (1706 г.), Словарь Блаунта (издание 1707 г.) , словарь Хаттона (1712 г.) , словарь Бейли (1726 г.) , словарь Мартина (1749 г.) . Некоторые сложности, связанные с историей английского слова, обсуждаются в Hensleigh Wedgwood, 1882, стр. 11, и Walter Skeat, 1888, стр. 781 . Сегодня существует консенсус, что: (№1) сегодняшнее английское «среднее» происходит от средневековой итальянской аварии , каталонской аварии , и (№2) у латинян слово авария возникло в 12 веке и началось как термин Средиземного моря. коммерция, и (# 3) на аварию нет рутав латинском языке, и (# 4) значительное количество арабских слов появилось в итальянском, каталонском и провансальском языках в XII и XIII веках, начиная с терминов средиземноморской морской торговли, и (# 5) арабский awār | Тавари фонетически хорошо подходит для слова avaria , поскольку преобразование w в v было регулярным в латинском и итальянском языках, а -ia - это суффикс в итальянском языке, а самые ранние записи западного слова находятся в итальянскоязычных регионах (письмо на латыни). И большинство комментаторов согласны с тем, что (# 6) арабский awār | ʿAwārī = "повреждение | связанный с повреждением" семантически подходит для avaria.= «ущерб или убытки». Меньшая часть комментаторов сомневается в этом на том основании, что ранние записи итальянско-латинской аварии в некоторых случаях имеют значение «расходы» в более общем смысле - см. TLIO (на итальянском языке) . Большинство считает, что значение «расходы» было расширением от «ущерба и ущерба», и хронологический порядок значений в записях поддерживает эту точку зрения, а широкое значение «расходы» никогда не было наиболее распространенным. использованное значение. На основании вышеизложенного делается вывод о том, что латинское слово произошло или, вероятно, произошло от арабского слова.
^ Рэй, Джон (1674). Сборник английских слов, которые обычно не используются . Лондон: Х. Брюгге . Дата обращения 18 мая 2015 .
^ "средний, п.2". OED Online. Сентябрь 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (по состоянию на 5 сентября 2019 г.).
^ a b Либертц, Даниэль (31 декабря 2018 г.). «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» . "Res Rhetorica" . 5 (4). DOI : 10.29107 / rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113 .

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите среднее значение в Викисловаре, бесплатном словаре.

Медиана как средневзвешенное арифметическое всех наблюдений выборки
Вычисления и сравнение среднего арифметического и среднего геометрического двух значений

[1] Мериго, Хосе М .; Канановас, Монтсеррат (2009). «Обобщенный гибридный оператор усреднения и его применение в принятии решений» . Журнал количественных методов экономики и делового администрирования . 9 : 69–84. ISSN 1886-516X .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[Bibby-2] Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей» . Математический журнал Глазго . 15 : 63–65. DOI : 10.1017 / s0017089500002135 .

[3] Коробка, Джордж EP; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (пересмотренная ред.). Холден-Дэй. ISBN 0816211043.

[4] Хайкин, Саймон (1986). Теория адаптивного фильтра . Прентис-Холл. ISBN 0130040525.

[ReferenceA-5] Plackett, RL (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: VII. Принцип среднего арифметического». Биометрика . 45 (1/2): 130–135. DOI : 10.2307 / 2333051 . JSTOR 2333051 .

[york.ac.uk-6] а б Эйзенхарт, Черчилль. «Развитие концепции наилучшего среднего из множества измерений от античности до наших дней». Неопубликованное обращение президента, Американская статистическая ассоциация, 131-е ежегодное собрание, Форт-Коллинз, Колорадо. 1971 г.

[amstatbakker-7] Баккер, Артур. «Ранняя история средних значений и значения для образования». Журнал статистики образования 11.1 (2003): 17-26.

[8] "Уотерфилд, Робин." Богословие арифметики. "О мистическом, математическом и космологическом символизме числа первой десятки (1988). Стр. 70" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 27 ноября 2018 .

[9] ^ В средневековом арабском языке عور awr означало «слепой на один глаз», а عوار awār означало «любой дефект или что-либо дефектное или поврежденное». Некоторые средневековые арабские словари находятся на Baheth.info, заархивированы 2013-10-29 на Wayback Machine , а некоторые переводы на английский язык того, что есть в средневековых арабских словарях, есть в арабско-английском лексиконе Лейна , страницы 2193 и 2195 . Средневековые словари не перечисляют словоформу عوارية awārīa . Слово ʿwārīa может быть естественным образом образовано в арабской грамматике для обозначения вещей, которые имеют awār , но на практике в средневековых арабских текстах awārīaявляется редкостью или не существует, в то время как формы عواري awārī и عوارة awāra часто используются для обозначения вещей, которые имеют awār или повреждение - это можно увидеть в доступной для поиска коллекции средневековых текстов на сайте AlWaraq.net (ссылки на книги можно щелкнуть на Правая сторона).

[Avaria-10] а б Об арабском происхождении аварии впервые сообщил Рейнхарт Дози в 19 веке. Оригинальное резюме Дози находится в его книге 1869 года Glossaire . Сводная информация о ранних записях этого слова на итальянско-латинском, итальянском, каталонском и французском языках находится на avarie @ CNRTL.fr. Архивировано 6 января 2019 года в Wayback Machine . В морском порту Генуи была сделана самая ранняя известная запись на европейских языках, 1157 год. Набор средневековых латинских записей об аварии в Генуе находится в загружаемом лексиконе Vocabolario Ligure , написанном Серджио Апросио, 2001 год, аварияв Томе 1 страницы 115-116. Многие другие записи на средневековой латыни в Генуе находятся на сайте StoriaPatriaGenova.it , обычно во множественном числе avariis и avarias . В порту Марселя в 1-й половине 13-го века нотариально заверенные коммерческие контракты содержат десятки экземпляров латинского avariis (аблатив множественного числа от avaria ), опубликованного в Blancard 1884 года . Некоторая информация об английском слове на протяжении веков находится в NED (1888 год) . См. Также определение английского слова «средний» в английских словарях, опубликованных в начале 18 века, то есть в период времени, непосредственно предшествующий значительному изменению значения: словарь Керси-Филлипса (1706 г.), Словарь Блаунта (издание 1707 г.) , словарь Хаттона (1712 г.) , словарь Бейли (1726 г.) , словарь Мартина (1749 г.) . Некоторые сложности, связанные с историей английского слова, обсуждаются в Hensleigh Wedgwood, 1882, стр. 11, и Walter Skeat, 1888, стр. 781 . Сегодня существует консенсус, что: (№1) сегодняшнее английское «среднее» происходит от средневековой итальянской аварии , каталонской аварии , и (№2) у латинян слово авария возникло в 12 веке и началось как термин Средиземного моря. коммерция, и (# 3) на аварию нет рутав латинском языке, и (# 4) значительное количество арабских слов появилось в итальянском, каталонском и провансальском языках в XII и XIII веках, начиная с терминов средиземноморской морской торговли, и (# 5) арабский awār | Тавари фонетически хорошо подходит для слова avaria , поскольку преобразование w в v было регулярным в латинском и итальянском языках, а -ia - это суффикс в итальянском языке, а самые ранние записи западного слова находятся в итальянскоязычных регионах (письмо на латыни). И большинство комментаторов согласны с тем, что (# 6) арабский awār | ʿAwārī = "повреждение | связанный с повреждением" семантически подходит для avaria.= «ущерб или убытки». Меньшая часть комментаторов сомневается в этом на том основании, что ранние записи итальянско-латинской аварии в некоторых случаях имеют значение «расходы» в более общем смысле - см. TLIO (на итальянском языке) . Большинство считает, что значение «расходы» было расширением от «ущерба и ущерба», и хронологический порядок значений в записях поддерживает эту точку зрения, а широкое значение «расходы» никогда не было наиболее распространенным. использованное значение. На основании вышеизложенного делается вывод о том, что латинское слово произошло или, вероятно, произошло от арабского слова.

[11] Рэй, Джон (1674). Сборник английских слов, которые обычно не используются . Лондон: Х. Брюгге . Дата обращения 18 мая 2015 .

[12] "средний, п.2". OED Online. Сентябрь 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (по состоянию на 5 сентября 2019 г.).

[:0-13] Либертц, Даниэль (31 декабря 2018 г.). «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» . "Res Rhetorica" . 5 (4). DOI : 10.29107 / rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113 .