Иметь в виду

Есть несколько видов средней в области математики , особенно в статистике :

Для набора данных , то среднее арифметическое , также известный как среднее или среднее арифметическое, является центральным стоимость конечного множества чисел: в частности, сумма значений , деленная на число значений. Среднее арифметическое набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n обычно обозначается ^{[примечание 1]} . Если набор данных был основан на серии наблюдений, полученных путем выборки из статистической совокупности , среднее арифметическое является выборочным средним (обозначенным ), чтобы отличить его от среднего или ожидаемого значения.${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$, базового распределения - среднее значение генеральной совокупности (обозначенное или ^{[примечание 2]} ). ^{[1] [2]}${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu _ {x}}$

В вероятности и статистике , в среднем населения , или ожидаемое значение, является мерой центральной тенденции либо из распределения вероятностей или из случайной величины характеризуется тем , что распределение. ^[3] В дискретном распределении вероятностей случайной величины X среднее значение равно сумме всех возможных значений, взвешенных по вероятности этого значения; то есть вычисляется путем произведения каждого возможного значения x числа X на его вероятность p ( x), а затем сложив все эти продукты вместе, дав . ^{[4] [5]} Аналогичная формула применяется к случаю непрерывного распределения вероятностей . Не каждое распределение вероятностей имеет определенное среднее значение (см. Пример распределения Коши ). Более того, для некоторых распределений среднее значение может быть бесконечным.${\ displaystyle \ mu = \ sum xp (x) ....}$

Для конечной совокупности среднее значение совокупности собственности равно среднему арифметическому данной собственности с учетом каждого члена совокупности. Например, средний рост популяции равен сумме роста каждой особи, деленной на общее количество особей. Среднее значение выборки может отличаться от среднего значения генеральной совокупности, особенно для небольших выборок. Закон больших чисел гласит , что чем больше размер выборки, тем больше вероятность того, что выборочное среднее будет близко к среднему значению населения. ^[6]

Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе часто используется широкий спектр других понятий среднего ; примеры приведены ниже.

Виды средств [ править ]

Пифагорейское означает [ править ]

Среднее арифметическое (AM) [ править ]

Среднее арифметическое (или просто среднее ) из списка чисел, является суммой всех чисел , разделенное на количество чисел. Аналогичным образом , среднее значение выборки , как правило , обозначенном , ^[1] является суммой значений выборок , деленное на количество элементов в образце${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

Среднее геометрическое (GM) [ править ]

Геометрическое среднее представляет собой среднее , что является полезным для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их продуктом (как в случае с темпами роста) , а не их суммы (как в случае с среднеарифметического):

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$ ^[7]

Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 составляет:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

Среднее гармоническое (HM) [ править ]

Гармоническое среднее является средним , который является полезным для наборов чисел , которые определяются по отношению к некоторой единице , как и в случае скорости (т.е. расстояния за единицу времени):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Например, гармоническое среднее пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

Отношения между AM, GM и HM [ править ]

AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение [ править ]

В описательной статистике среднее значение можно спутать со средним значением , модой или средним значением , поскольку любое из них можно назвать «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений - это среднее арифметическое значений; однако для искаженных распределений, среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медиана) или наиболее вероятным значением (режим). Например, средний доход обычно искажается вверх небольшим количеством людей с очень большими доходами, так что большинство имеет доход ниже среднего. Напротив, средний доход - это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина - выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему количеству людей с более низкими доходами. В то время как медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких искаженных данных, многие искаженные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное и пуассоновское распределения.

Среднее значение распределения вероятностей [ править ]

Среднее значение вероятностного распределения - это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины, имеющей такое распределение. Если случайная величина обозначается , то он также известен как ожидаемое значение из (обозначаемого ). ^[1] Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется как , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и является функцией массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно , где - функция плотности вероятности . ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E(X)}$${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$${\displaystyle f(x)}$Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины относительно ее вероятностной меры . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( + ∞ или −∞ ), в то время как для других среднее значение не определено .

Обобщенные средства [ править ]

Среднее значение [ править ]

Обобщенный средний , также известный как мощность среднего или среднего Гельдеровские, абстракция квадратичных, арифметических, геометрических и гармонических средств. Он определяется для набора из n положительных чисел x _i формулой

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}}$ ^[7]

Выбирая разные значения параметра m , получаются следующие типы средних:

${\displaystyle m\rightarrow \infty }$	максимум из${\displaystyle x_{i}}$
${\displaystyle m=2}$	среднее квадратичное
${\displaystyle m=1}$	среднее арифметическое
${\displaystyle m\rightarrow 0}$	среднее геометрическое
${\displaystyle m=-1}$	гармоническое среднее
${\displaystyle m\rightarrow -\infty }$	минимум из${\displaystyle x_{i}}$

f -mean [ править ]

Это можно обобщить далее как обобщенное f- среднее

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)}$

и снова подходящий выбор обратимой f даст

${\displaystyle f(x)=x}$	среднее арифметическое ,
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$	гармоническое среднее ,
${\displaystyle f(x)=x^{m}}$	средней мощности ,
${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$	среднее геометрическое .

Средневзвешенное арифметическое [ править ]

Взвешенное среднее арифметическое (или средневзвешенная) используется , если кто -то хочет , чтобы объединить средние значения из разных размеров образцов одного и того же населения:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$ ^[7]

Где и - среднее значение и размер выборки соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение.${\displaystyle {\bar {x_{i}}}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle i}$

Усеченное среднее [ править ]

Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. Е. Значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы - это ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.

Межквартильное среднее [ править ]

Межквартильное среднее представляет собой конкретный пример усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четвертей значений.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

при условии, что значения упорядочены, это просто конкретный пример взвешенного среднего для определенного набора весов.

Среднее значение функции [ править ]

В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже бесчисленного ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения функции . Интуитивно, среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой с последующим делением на длину этого участка. Это можно сделать грубо, подсчитывая квадраты на миллиметровой бумаге, или, точнее, интегрированием . Формула интегрирования записывается как:${\displaystyle y_{\text{ave}}}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{ave}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

В этом случае необходимо следить за тем, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.

Среднее значение углов и циклических величин [ править ]

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения или объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как полуночи, так и полудню. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовое колесо - не существует среднего для набора всех цветов. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение будет наиболее полезным. Вы можете сделать это, скорректировав значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего круговых величин .

Fréchet mean [ править ]

Средний Фреш дает способ для определения «центра» распределения масс на поверхности или, в более общем случае , риманово многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры. Иногда его также называют средним Керхером (в честь Германа Керхера).

Правило Свонсона [ править ]

Это приближение к среднему значению для умеренно искаженного распределения. ^[9] Он используется при разведке углеводородов и определяется как

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

где P ₁₀ , P ₅₀ и P ₉₀ 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения.

Другие средства [ править ]

Распределение выборочного среднего [ править ]

Среднее арифметическое значение совокупности или среднее значение совокупности часто обозначают μ . ^[1] Выборочное среднее (среднее арифметическое значений выборки, взятых из генеральной совокупности) является хорошей оценкой генерального среднего, поскольку его ожидаемое значение равно генеральному среднему (то есть это несмещенная оценка ). Среднее значение выборки является случайной величиной , а не константой, так как его вычисленное значение будет случайным образом различаться в зависимости от того, какие члены совокупности отбираются, и, следовательно, оно будет иметь собственное распределение. Для случайной выборки из n независимых наблюдений ожидаемое значение выборочного среднего равно${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} ({\bar {x}})=\mu }$

а дисперсия выборочного среднего равна

${\displaystyle \operatorname {var} ({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

Если генеральная совокупность распределена нормально , то выборочное среднее обычно распределяется следующим образом:

${\displaystyle {\bar {x}}\thicksim N\left\{\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right\}.}$

Если совокупность не имеет нормального распределения, среднее значение выборки, тем не менее, приблизительно нормально распределено, если n велико и  σ ² / n  <+ ∞. Это следствие центральной предельной теоремы .

См. Также [ править ]

• Основная тенденция
  • Медиана
  • Режим
• Описательная статистика
• Эксцесс
• Закон средних чисел
• Теорема о среднем значении
• Момент (математика)
• Сводные статистические данные
• Закон Тейлора

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]