Среднее геометрическое

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален
Поиск источников: «Среднее геометрическое» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Построение среднего геометрического: (красный) - среднее геометрическое для и , ^[1]^[2] в примере, в котором сегмент линии дан как перпендикуляр к анимации в конце 10-секундной паузы.

{\ displaystyle l_ {g}}

{\ displaystyle l_ {1}}

{\ displaystyle l_ {2}}

{\ Displaystyle l_ {2} \; ({\ overline {BC}})}

{\ displaystyle {\ overline {AB}}}

В математике среднее геометрическое - это среднее или среднее значение , которое указывает центральную тенденцию или типичное значение набора чисел с помощью произведения их значений (в отличие от среднего арифметического, которое использует их сумму). Среднее геометрическое определяется как $п$ - й корень из произведения из $п$ чисел, то есть, для набора чисел $х 1, х 2, ..., х п$ , среднее геометрическое определяется как

{\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}

Например, среднее геометрическое двух чисел, скажем 2 и 8, - это просто квадратный корень из их произведения, то есть . В качестве другого примера, среднее геометрическое трех чисел 4, 1 и 1/32 является кубическим корнем из их произведения (1/8), равного 1/2, то есть . Среднее геометрическое применяется только к положительным числам. ^[3] ${\ Displaystyle {\ sqrt {2 \ cdot 8}} = 4}$ ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$

Среднее геометрическое часто используется для набора чисел, значения которых предназначены для перемножения или являются экспоненциальными по своей природе, например набор цифр роста: значения человеческого населения или процентные ставки финансовых вложений с течением времени.

Среднее геометрическое можно понять с точки зрения геометрии . Среднее геометрическое двух чисел, и , - это длина одной стороны квадрата , площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами длиной и . Точно так же, геометрическое среднее из трех чисел, , , и , длина одного края куба , объем которого такой же , как у параллелепипеда со сторонами, длина которых равна трем заданных чисел. $a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$ $c$

Среднее геометрическое - одно из трех классических средних пифагорова , вместе со средним арифметическим и гармоническим средним . Для всех наборов положительных данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений, гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних, в то время как среднее арифметическое всегда наибольшее из трех, а среднее геометрическое всегда находится посередине (см. Неравенство арифметических и геометрические средства .)

Расчет [ править ]

Среднее геометрическое значение набора данных определяется как: ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.

На приведенном выше рисунке для обозначения серии умножений используется запись с большой буквы . Каждая сторона знака равенства показывает, что набор значений последовательно умножается (количество значений представлено буквой "n"), чтобы получить общий продукт набора, а затем корень n- й степени из общего произведения берется в укажите среднее геометрическое для исходного набора. Например, в наборе из четырех чисел произведение равно , а среднее геометрическое - это корень четвертой степени из 24, или ~ 2,213. Показатель в левой части эквивалентен извлечению корня n- й степени. Например, . ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ ${\textstyle 24}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$

Среднее геометрическое значение набора данных меньше среднего арифметического набора данных, если только все элементы набора данных не равны, и в этом случае геометрическое и среднеарифметическое значение равны. Это позволяет определить среднее арифметико-геометрическое , пересечение двух, которое всегда находится между ними.

Среднее геометрическое также является средним арифметически-гармоническим в том смысле, что если определены две последовательности ( ) и ( ): ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$

a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x

и

h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y

где - гармоническое среднее предыдущих значений двух последовательностей, тогда и будет сходиться к среднему геометрическому для и . ${\textstyle h_{n+1}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

Это легко увидеть из того факта, что последовательности сходятся к общему пределу (что можно показать с помощью теоремы Больцано – Вейерштрасса ), и того факта, что среднее геометрическое сохраняется:

{\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}

Замена арифметического и гармонического среднего парой обобщенных средних противоположных конечных показателей дает тот же результат.

Связь с логарифмами [ править ]

Среднее геометрическое также может быть выражено как экспонента среднего арифметического логарифмов. ^[4] Используя логарифмические тождества для преобразования формулы, умножения могут быть выражены как сумма, а степень как умножение:

Когда $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];

дополнительно, если разрешены отрицательные значения , $a_{i}$

\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right],

где $m$ - количество отрицательных чисел.

Иногда это называется логарифмическим средним (не путать с логарифмическим средним ). Это просто вычисление среднего арифметического значений, преобразованных в логарифм (т. Е. Среднего арифметического в логарифмической шкале), а затем использование возведения в степень для возврата вычисления к исходному масштабу, т. Е. Это обобщенное f-среднее с . Например, среднее геометрическое 2 и 8 можно рассчитать следующим образом, где - любое основание логарифма (обычно 2 или 10): $a_{i}$ $f(x)=\log x$ $b$ e {\displaystyle e}

b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4

В связи с вышеизложенным можно видеть, что для данной выборки точек среднее геометрическое является минимизатором , а среднее арифметическое - минимизатором . Таким образом, среднее геометрическое дает сводку образцов, показатель степени которых лучше всего соответствует показателям показателей образцов (в смысле наименьших квадратов). $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}$ $f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}$

Логарифмическая форма среднего геометрического обычно является предпочтительной альтернативой для реализации на компьютерных языках, поскольку вычисление произведения многих чисел может привести к арифметическому переполнению или потере значимости . Это менее вероятно с суммой логарифмов для каждого числа.

Сравнение со средним арифметическим [ править ]

Доказательство без слов в неравенство арифметических и средних геометрических :
PR - представляет собой диаметр окружности с центром на О; его радиус АО является средним арифметическим из и б . Используя теорему о среднем геометрическом , высота GQ треугольника PGR является средним геометрическим . Для любого коэффициента а : Ь , АО ≥ GQ.

Геометрическое доказательство без слов, что max ( a , b ) > среднее квадратичное или среднеквадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > геометрическое среднее ( GM ) > гармоническое среднее ( HM ) > min ( a , b ) двух положительных чисел а и б ^[5]

Среднее геометрическое для непустого набора данных (положительных) чисел всегда равно их среднему арифметическому. Равенство достигается только тогда, когда все числа в наборе данных равны; в противном случае среднее геометрическое меньше. Например, среднее геометрическое 242 и 288 равно 264, а их среднее арифметическое - 265. В частности, это означает, что когда набор неидентичных чисел подвергается сохраняющему среднее значение разбросу, то есть элементам множества "разнесены" больше друг от друга, при этом среднее арифметическое остается неизменным - их среднее геометрическое уменьшается. ^[6]

Средняя скорость роста [ править ]

Во многих случаях среднее геометрическое - лучший показатель для определения средней скорости роста некоторой величины. (Например, если в течение одного года продажи увеличиваются на 80%, а в следующем году на 25%, конечный результат будет таким же, как и при постоянном темпе роста в 50%, поскольку среднее геометрическое 1,80 и 1,25 равно 1,50.) Для определения средней скорости роста необязательно брать произведение измеренных темпов роста на каждом этапе. Пусть количество задается в виде последовательности , где - количество шагов от начального до конечного состояния. Скорость роста между последовательными измерениями и составляет . Среднее геометрическое этих темпов роста тогда просто: $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ $n$ $a_{k}$ $a_{k+1}$ $a_{k+1}/a_{k}$

\left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.

Применение к нормализованным значениям [ править ]

Фундаментальное свойство среднего геометрического, который не имеет места для любого другого среднего значения, является то , что в течение двух последовательностей и одинаковой длины, $X$ $Y$

\operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}

Это делает среднее геометрическое единственно правильным средним при усреднении нормализованных результатов; то есть результаты, которые представлены как отношения к контрольным значениям. ^[7] Это имеет место при представлении производительности компьютера по сравнению с эталонным компьютером или при вычислении единого среднего индекса из нескольких разнородных источников (например, ожидаемая продолжительность жизни, годы образования и младенческая смертность). В этом сценарии использование среднего арифметического или гармонического изменит ранжирование результатов в зависимости от того, что используется в качестве эталона. Например, возьмем следующее сравнение времени выполнения компьютерных программ:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1000	100	20
Среднее арифметическое	500,5	55	20
Среднее геометрическое	31,622. . .	31,622. . .	20
Гармоническое среднее	1.998. . .	18.182. . .	20

Средние арифметические и геометрические "согласны", что компьютер C является самым быстрым. Однако, представив соответствующим образом нормализованные значения и используя среднее арифметическое, мы можем показать, что любой из двух других компьютеров является самым быстрым. Нормализация на результат A дает A как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1	0,1	0,02
Среднее арифметическое	1	5,05	10.01
Среднее геометрическое	1	1	0,632. . .
Гармоническое среднее	1	0,198. . .	0,039. . .

в то время как нормализация по результату B дает B как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	0,1	1	2
Программа 2	10	1	0,2
Среднее арифметическое	5,05	1	1.1
Среднее геометрическое	1	1	0,632
Гармоническое среднее	0,198. . .	1	0,363. . .

и нормализация по результату C дает C как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	0,05	0,5	1
Программа 2	50	5	1
Среднее арифметическое	25,025	2,75	1
Среднее геометрическое	1,581. . .	1,581. . .	1
Гармоническое среднее	0,099. . .	0,909. . .	1

Во всех случаях рейтинг, определяемый средним геометрическим, остается таким же, как и рейтинг, полученный с ненормализованными значениями.

Однако это рассуждение было поставлено под сомнение. ^[8]Не всегда давать стабильные результаты - значит давать правильные. Как правило, более строго присваивать веса каждой из программ, вычислять средневзвешенное время выполнения (используя среднее арифметическое), а затем нормализовать этот результат для одного из компьютеров. В трех приведенных выше таблицах просто присваивается разный вес каждой из программ, объясняя несовместимые результаты средних арифметических и гармонических (первая таблица дает одинаковый вес обеим программам, вторая дает вес 1/1000 второй программе, а третий дает вес 1/100 второй программе и 1/10 первой). По возможности следует избегать использования среднего геометрического для агрегирования показателей производительности, потому что умножение времени выполнения не имеет физического смысла, в отличие от сложения времени, как в среднем арифметическом.Показатели, обратно пропорциональные времени (ускорение,IPC ) следует усреднять с использованием среднего гармонического.

Среднее геометрическое может быть получено из обобщенного среднего, поскольку его предел стремится к нулю. Точно так же это возможно для средневзвешенного геометрического. $p$

Среднее геометрическое непрерывной функции [ править ]

Если - непрерывная вещественная функция, ее среднее геометрическое на этом интервале равно $f:[a,b]\to (0,\infty )$

${\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)$

Например, взятие тождественной функции на единичном интервале показывает, что среднее геометрическое положительных чисел от 0 до 1 равно . $f(x)=x$ ${\frac {1}{e}}$

Приложения [ править ]

Пропорциональный рост [ править ]

Среднее геометрическое больше подходит, чем среднее арифметическое, для описания пропорционального роста, как экспоненциального роста (постоянный пропорциональный рост), так и переменного роста; в бизнесе среднее геометрическое значение темпов роста известно как совокупный годовой темп роста (CAGR). Среднее геометрическое значение роста за периоды дает эквивалентную постоянную скорость роста, которая дает такую же конечную сумму.

Предположим, апельсиновое дерево дает 100 апельсинов в один год, а затем 180, 210 и 300 в последующие годы, поэтому рост составит 80%, 16,6666% и 42,8571% за каждый год соответственно. Используя среднее арифметическое, вычисляется (линейный) средний рост 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, эта сумма затем делится на 3). Однако, если мы начнем со 100 апельсинов и позволим им расти на 46,5079% каждый год, в результате получится 314 апельсинов, а не 300, так что линейное среднее значение превышает годовой рост.

Вместо этого мы можем использовать среднее геометрическое. Рост с 80% соответствует умножению с 1.80, поэтому мы возьмем среднее геометрическое 1,80, 1.166666 и 1.428571, то есть ; таким образом, «средний» рост в год составляет 44,2249%. Если мы начнем со 100 апельсинов и позволим их количеству расти на 44,2249% каждый год, то получится 300 апельсинов. ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$

Финансовые [ править ]

Среднее геометрическое время от времени используется для расчета финансовых показателей (усреднение проводится по компонентам индекса). Например, в прошлом индекс FT 30 использовал среднее геометрическое. ^[9] Он также используется в недавно введенном показателе инфляции RPIJ в Соединенном Королевстве и Европейском Союзе.

Это приводит к занижению динамики индекса по сравнению с использованием среднего арифметического. ^[9]

Приложения в социальных науках [ править ]

Хотя среднее геометрическое используется относительно редко при вычислении социальной статистики, начиная с 2010 года Индекс человеческого развития Организации Объединенных Наций действительно перешел на этот способ расчета на том основании, что он лучше отражает незаменимый характер собираемых и сравниваемых статистических данных:

Среднее геометрическое снижает уровень взаимозаменяемости между [сравниваемыми] измерениями и в то же время гарантирует, что снижение ожидаемой продолжительности жизни на 1 процент, скажем, при рождении, окажет такое же влияние на ИРЧП, как снижение уровня образования или дохода на 1 процент. Таким образом, в качестве основы для сравнения достижений этот метод также более уважительно относится к внутренним различиям по измерениям, чем к простому среднему. ^[10]

Не все значения, используемые для расчета ИЧР (индекса человеческого развития) , нормализованы; некоторые из них вместо этого имеют форму . Это делает выбор среднего геометрического менее очевидным, чем можно было бы ожидать в разделе «Свойства» выше. $\left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)$

Равномерно распределенный доход, эквивалентный благосостоянию, связанный с индексом Аткинсона с параметром неприятия неравенства, равным 1,0, является просто геометрическим средним доходом. Для значений, отличных от единицы, эквивалентным значением является норма Lp, деленная на количество элементов, где p равно единице минус параметр неприятия неравенства.

Геометрия [ править ]

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о трех сторонах треугольника ( p + q , r , s ) , ( r , p , h ) и ( s , h , q ) ,

{\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}

В случае прямоугольного треугольника его высота - это длина линии, идущей перпендикулярно от гипотенузы до ее вершины 90 °. Если представить себе, что эта линия разделяет гипотенузу на два сегмента, среднее геометрическое значение длины этих сегментов равно длине высоты. Это свойство известно как теорема о среднем геометрическом .

В эллипсу , то ось полу-минор представляет собой среднее геометрическое максимальных и минимальных расстояний эллипса от фокуса ; это также среднее геометрическое значение большой полуоси и прямой полуоси . Большая полуось эллипса является средней геометрическим расстоянием от центра до любой направленности и расстояния от центра до любой директрисы .

Расстояние до горизонта в виде шара приблизительно равна среднему геометрическому расстоянию до ближайшей точки сферы , а расстояние до самой дальней точки сферы , когда расстояние до ближайшей точки сферы мало.

Как при приближении квадрата круга согласно С.А. Рамануджану (1914), так и при построении гептадекагона согласно «посланному Т.П. Стоуэллом, зачисленному в Leybourn's Math. Repository, 1818» , используется среднее геометрическое.

Соотношения сторон [ править ]

Сравнение равных площадей соотношений сторон, используемых Кернсом Пауэрсом для вывода стандарта SMPTE 16: 9 . ^[11] TV 4: 3 / 1,33 в красном, 1,66 в оранжевом, 16: 9 / 1,7 7 синим цветом , 1,85 в желтом, Panavision /2.2 в сиреневом и CinemaScope /2.35 фиолетового цвета.

Среднее геометрическое использовалось при выборе компромиссного соотношения сторон в фильмах и видео: учитывая два соотношения сторон, их среднее геометрическое обеспечивает компромисс между ними, искажая или обрезая оба в некотором смысле одинаково. Конкретно, два прямоугольника равной площади (с одинаковым центром и параллельными сторонами) с разными соотношениями сторон пересекаются в прямоугольнике, соотношение сторон которого является средним геометрическим, а их корпус (наименьший прямоугольник, который содержит оба из них) также имеет соотношение сторон их среднее геометрическое.

При выборе формата изображения 16: 9 с помощью SMPTE , балансировки 2,35 и 4: 3, было выбрано среднее геометрическое , и поэтому ... Это было эмпирически обнаружено Кернсом Пауэрсом, который вырезал прямоугольники с равными площадями и придал им форму, соответствующую каждому из популярных соотношений сторон. При наложении их центральных точек он обнаружил, что все эти прямоугольники с соотношением сторон помещаются во внешний прямоугольник с соотношением сторон 1,77: 1, и все они также покрывают меньший общий внутренний прямоугольник с тем же соотношением сторон 1,77: 1. ^[11] Значение, найденное Пауэрсом, является в точности средним геометрическим для крайних соотношений сторон, 4: 3 (1,33: 1) и CinemaScope (2,35: 1), что по совпадению близко к ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$ ${\textstyle 16:9}$ ( ). Промежуточные соотношения не влияют на результат, только два крайних соотношения. ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$

Применение той же техники среднего геометрического к 16: 9 и 4: 3 приблизительно дает соотношение сторон 14: 9 ( ...), которое также используется как компромисс между этими соотношениями. ^[12] В этом случае 14: 9 - это в точности среднее арифметическое числа и , поскольку 14 - это среднее значение 16 и 12, в то время как точное геометрическое среднее - это всего лишь два разных средства , арифметическое и геометрическое, приблизительно равны, потому что оба числа равны достаточно близко друг к другу (разница менее 2%). ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle 4:3=12:9}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$

Спектральная плоскость [ править ]

В обработке сигналов , спектральная плоскостности , мера того , насколько плоским или остроконечный спектр есть, определяются как отношение среднего геометрического спектра мощности к его среднему арифметическому.

Антибликовые покрытия [ править ]

В оптических покрытиях, где отражение должны быть сведено к минимуму между двумя средами преломления п ₀ и п ₂ , оптимальным показателем преломлением п ₁ из антибликового покрытия даются геометрическим средним: . $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$

Вычитающее смешение цветов [ править ]

Спектральный коэффициент отражения кривой для краски смесей (равного колеровочной прочности, непрозрачности и разбавления ) составляет примерно среднее геометрическое отдельных кривых отражения красок , вычисленных на каждой длине волны их спектров . ^[13]

Обработка изображений [ править ]

Средний геометрический фильтр используется в качестве фильтра шума в обработке изображений .

См. Также [ править ]

Среднее арифметико-геометрическое
Обобщенное среднее
Геометрическая теорема о среднем
Стандартное геометрическое отклонение
Гармоническое среднее
Среднее значение герона
Гетероскедастичность
Гиперболические координаты
Логнормальное распределение
Неравенство Мюрхеда
Товар
Пифагорейские средства
Квадратичное среднее
Квадратура (математика)
Норма прибыли
Среднее геометрическое взвешенное

Примечания и ссылки [ править ]

^ Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях компаса и линейки: средства» (PDF) . ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. 2013 . Проверено 14 июня 2018 .
^ «Евклид, книга VI, предложение 13» . Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013 . Проверено 19 июля 2019 .
^ Среднее геометрическое применяется только к числам одного знака, чтобы избежать извлечения корня из отрицательного произведения, которое привело бы к мнимым числам , а также для удовлетворения определенных свойств средних значений , которые объясняются далее в статье. Определение однозначно, если допускается 0 (что дает среднее геометрическое 0), но может быть исключено, поскольку часто требуется логарифм средних геометрических (для преобразования между умножением и сложением), и нельзя брать логарифм от 0.
^ Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: Введение с помощью R . ISBN компании John Wiley & Sons Ltd. 9780470022986.
^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .
^ Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средствах». Математический вестник . 88 : 142–144. DOI : 10.1017 / S0025557200174534 .
^ Флеминг, Филип Дж .; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не обмануть статистику: как правильно подводить итоги тестов». Коммуникации ACM . 29 (3): 218–221. DOI : 10.1145 / 5666.5673 . S2CID 1047380 .
^ Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом». Коммуникации ACM . 31 (10): 1202–1206. DOI : 10.1145 / 63039.63043 . S2CID 10805363 .
^ a b Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875.
^ «Часто задаваемые вопросы - отчеты о человеческом развитии» . hdr.undp.org . Архивировано 02 марта 2011 года.
^ a b «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношений сторон» (PDF) . CinemaSource Press. 2001. Архивировано (PDF) из оригинала 09.09.2009 . Проверено 24 октября 2009 . Cite journal requires |journal= (help)
^ US 5956091 , «Метод показа изображений 16: 9 на дисплеях 4: 3», выпущенный 21 сентября 1999 г.
^ Макэвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета» . handprint.com/LS/CVS/color.html . Колориметрия. Архивировано 14 июля 2019 года . Проверено 2 января 2020 .

Внешние ссылки [ править ]

Расчет среднего геометрического двух чисел по сравнению с арифметическим решением
Средние арифметические и геометрические
Когда использовать среднее геометрическое
Практические решения для расчета среднего геометрического с различными типами данных
Среднее геометрическое в MathWorld
Геометрическое значение среднего геометрического
Калькулятор среднего геометрического для больших наборов данных
Расчет пропорционального распределения Конгресса с использованием среднего геометрического
Сайт неньютоновского исчисления
Определение среднего геометрического и формула

[1] Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях компаса и линейки: средства» (PDF) . ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. 2013 . Проверено 14 июня 2018 .

[2] «Евклид, книга VI, предложение 13» . Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013 . Проверено 19 июля 2019 .

[3] Среднее геометрическое применяется только к числам одного знака, чтобы избежать извлечения корня из отрицательного произведения, которое привело бы к мнимым числам , а также для удовлетворения определенных свойств средних значений , которые объясняются далее в статье. Определение однозначно, если допускается 0 (что дает среднее геометрическое 0), но может быть исключено, поскольку часто требуется логарифм средних геометрических (для преобразования между умножением и сложением), и нельзя брать логарифм от 0.

[4] Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: Введение с помощью R . ISBN компании John Wiley & Sons Ltd. 9780470022986.

[5] Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .

[6] Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средствах». Математический вестник . 88 : 142–144. DOI : 10.1017 / S0025557200174534 .

[7] Флеминг, Филип Дж .; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не обмануть статистику: как правильно подводить итоги тестов». Коммуникации ACM . 29 (3): 218–221. DOI : 10.1145 / 5666.5673 . S2CID 1047380 .

[8] Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом». Коммуникации ACM . 31 (10): 1202–1206. DOI : 10.1145 / 63039.63043 . S2CID 10805363 .

[Rowley_1987-9] Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875.

[10] «Часто задаваемые вопросы - отчеты о человеческом развитии» . hdr.undp.org . Архивировано 02 марта 2011 года.

[Cinemasource-11] «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношений сторон» (PDF) . CinemaSource Press. 2001. Архивировано (PDF) из оригинала 09.09.2009 . Проверено 24 октября 2009 . Cite journal requires |journal= (help)

[12] US 5956091 , «Метод показа изображений 16: 9 на дисплеях 4: 3», выпущенный 21 сентября 1999 г.

[13] Макэвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета» . handprint.com/LS/CVS/color.html . Колориметрия. Архивировано 14 июля 2019 года . Проверено 2 января 2020 .

[1]