Куб

Правильный шестигранник
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Лица по сторонам	6 {4}
Обозначение Конвея	C
Символы Шлефли	{4,3}
	t {2,4} или {4} × {} tr {2,2} или {} × {} × {}
Конфигурация лица	V3.3.3.3
Символ Wythoff	3 | 2 4
Диаграмма Кокстера
Симметрия	O h , B 3 , [4,3], (* 432)
Группа вращения	О , [4,3] + , (432)
Рекомендации	U 06 , C 18 , W 3
Характеристики	правильный , выпуклый зоноэдр
Двугранный угол	90 °
4.4.4 ( фигура вершины )	Октаэдр ( двойственный многогранник )
Сеть

Сеть куба

3D модель куба

В геометрии , A куба ^[1] представляет собой трехмерный твердый объект , ограниченный шести квадратных граней, граней или сторон, с тремя встречи в каждой вершине .

Куб - единственный правильный шестигранник и одно из пяти Платоновых тел . У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

Куб также представляет собой квадратный параллелепипед , равносторонний кубоид и правый ромбоэдр . Это правильная квадратная призма в трех ориентациях и тригональный трапецоэдр в четырех ориентациях.

Куб двойственная к октаэдру . Он имеет кубическую или октаэдрическую симметрию .

Куб - единственный выпуклый многогранник, у которого все грани квадратные .

Ортогональные проекции [ править ]

Куб имеет четыре специальных ортогональных проекций , по центру, на вершины, ребра, грани и нормальной к ее вершине фигуры . Первая и третья соответствуют плоскостям Кокстера А ₂ и В ₂ .

Сферическая мозаика [ править ]

Куб также можно представить в виде сферической плитки и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Декартовы координаты [ править ]

Для куба с центром в начале координат, с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны

(± 1, ± 1, ± 1)

в то время как внутренняя часть состоит из всех точек ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) с −1 < x _i <1 для всех i .

Уравнение в ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$[ править ]

В аналитической геометрии поверхность куба с центром ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и длиной ребра 2a является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что

${\ displaystyle \ max \ {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} |, | z-z_ {0} | \} = а.}$

Куб также можно рассматривать как предельный случай трехмерного суперэллипсоида, поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.

Формулы [ править ]

Для куба с длиной ребра :${\ displaystyle a}$

площадь поверхности	${\ displaystyle 6a ^ {2} \,}$	объем	${\ Displaystyle а ^ {3} \,}$
диагональ лица	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} а}$	диагональ пространства	${\ textstyle {\ sqrt {3}} а}$
радиус описанной сферы	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} а}$	радиус касательной к краям сферы	${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}}$
радиус вписанной сферы	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$	углы между гранями (в радианах )	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Поскольку объем куба - это третья степень его сторон , третьи степени называются кубами по аналогии с квадратами и вторыми степенями.${\ Displaystyle а \ раз а \ раз а}$

Куб имеет самый большой объем среди кубоидов (прямоугольных блоков) с заданной площадью поверхности . Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с таким же общим линейным размером (длина + ширина + высота).

Точка в космосе [ править ]

Для куба, описывающая сфера которого имеет радиус R , и для данной точки в его 3-мерном пространстве с расстояниями d _i от восьми вершин куба, мы имеем: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$

Удвоение куба [ править ]

Удвоение куба , или проблема Делиана , была проблемой, поставленной древнегреческими математиками, использовавшей только циркуль и линейку, чтобы начать с длины ребра данного куба и построить длину ребра куба с удвоенной длиной ребра. объем исходного куба. Они не смогли решить эту проблему, и в 1837 году Пьер Ванцель доказал, что это невозможно, потому что кубический корень из 2 не является конструктивным числом .

Равномерная окраска и симметрия [ править ]

Куб имеет три одинаковых раскраски, названных цветами квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.

Куб имеет четыре класса симметрии, которые могут быть представлены вершинно-транзитивной раскраской граней. Наивысшая октаэдрическая симметрия O _h имеет все грани одного цвета. Двугранный симметрии D _4h исходит из куба , являющегося призма, причем все четыре стороны быть того же цвета. Призматические подмножества D _2d имеют ту же окраску, что и предыдущее, а D _2h имеет чередующиеся цвета для своих сторон, в общей сложности три цвета, соединенные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет свой символ Wythoff .

Имя	Правильный шестигранник	Квадратная призма	Прямоугольная трапеция	Прямоугольный кубоид	Ромбическая призма	Тригональный трапецоэдр
Диаграмма Кокстера
Символ Шлефли	{4,3}	{4} × {} rr {4,2}	с 2 {2,4}	{} 3 трлн {2,2}	{} × 2 {}
Символ Wythoff	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Симметрия	О ч [4,3] (* 432)	D 4h [4,2] (* 422)	Д 2д [4,2 + ] (2 * 2)	D 2h [2,2] (* 222)		D 3d [6,2 + ] (2 * 3)
Порядок симметрии	24	16	8	8		12
Изображение (равномерная окраска)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Геометрические отношения [ править ]

У куба одиннадцать сетей (одна показана выше): то есть есть одиннадцать способов сгладить полый куб, разрезав семь ребер. ^[3] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.

Куб - это ячейка единственной регулярной мозаики трехмерного евклидова пространства . Он также уникален среди Платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон, и, следовательно, это единственный член этой группы, который является зоноэдром (каждая грань имеет точечную симметрию).

Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратных пирамид . Если эти квадратные пирамиды затем прикрепить к граням второго куба, получится ромбический додекаэдр (с парами копланарных треугольников, объединенных в ромбические грани).

Другие размеры [ править ]

Аналог куба в четырехмерном евклидовом пространстве имеет особое название - тессеракт или гиперкуб . Более точно, гиперкуб (или n- мерный куб или просто n -куб) является аналогом куба в n- мерном евклидовом пространстве, а тессеракт - это гиперкуб четвертого порядка. Гиперкуб также называется многогранником меры .

Есть аналоги куба и в более низких измерениях: точка в измерении 0, отрезок прямой в одном измерении и квадрат в двух измерениях.

Связанные многогранники [ править ]

Фактор куба по антиподальному отображению дает проективный многогранник - полукуб .

Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник ( октаэдр ) имеет длину ребра .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}/2}$

Куб является частным случаем в различных классах общих многогранников:

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр ; в более общем смысле это называется полукубом . Эти два вместе образуют правильное соединение , stella octangula . Их пересечение образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр в себя; другие симметрии куба отображают их друг в друга.

Один такой правильный тетраэдр имеет объем 1/3куба. Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом1/6 куба каждый.

Выпрямленные куб является кубооктаэдром . Если срезать меньшие углы, мы получим многогранник с шестью восьмиугольными гранями и восемью треугольными. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники ( усеченный куб ). Ромбокубооктаэдр получается путем отрезания обоих углов и краев , чтобы правильное количество.

Куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы каждая вершина куба была вершиной додекаэдра, а каждое ребро было диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.

Если два противоположных угла куба усечь на глубине трех вершин, непосредственно связанных с ними, получится неправильный октаэдр. Восемь из этих неправильных октаэдров могут быть присоединены к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.

Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик с фигурами вершин порядка 3 .

Кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающейся в гиперболическую плоскость : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 изменение симметрии правильных мозаик: {4, n } v т е
Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

При двугранной симметрии Dih ₄ куб топологически связан серией однородных многогранников и мозаик 4.2n.2n, простирающихся в гиперболическую плоскость:

Все эти фигуры обладают октаэдрической симметрией .

Куб является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией [ n , 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты.

Куб представляет собой квадратную призму :

Семейство однородных призм v т е
Многогранник
Coxeter
Черепица
Конфиг.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4

Как тригональный трапецоэдр , куб относится к семейству гексагональной двугранной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Симметрия : [6,2] , (* 622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2 * 3)
{6,2}	т {6,2}	г {6,2}	т {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	с {2,6}
Двойники к униформе
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

В однородных сотах и ​​полихорах [ править ]

Он представляет собой элемент 9 из 28 выпуклых однородных сот :

Кубические соты	Усеченные квадратные призматические соты	Плоские квадратные призматические соты	Удлиненные треугольные призматические соты	Гиро-удлиненные треугольные призматические соты
Сотовые соты кубической формы	Сота с усеченными кубами	Усеченные кубические соты	Бегунковые чередующиеся кубические соты

Это также элемент пяти четырехмерных однородных полихор :

Тессеракт	Собранный 16-элементный	Запущенный тессеракт	Cantitruncated 16-элементный	Усеченный 16-элементный

Кубический график [ править ]

Скелет куба (вершины и ребра) образуют граф , с 8 вершинами и 12 ребрами. Это частный случай графа гиперкуба . ^[4] Это один из 5 Платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего Платонового тела .

Расширением является трехмерный k -арный граф Хэмминга , который при k = 2 является кубическим графом. Графы такого типа встречаются в теории параллельной обработки в компьютерах.

См. Также [ править ]

• Тессеракт
• Трапецоэдр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Куб» . MathWorld .
• Куб: интерактивная модель многогранника *
• Объем куба , с интерактивной анимацией
• Куб (сайт Роберта Уэбба)