Параллелепипед

Параллелепипед

Тип	Призма Плезиоэдр
Лица	6 параллелограммов
Края	12
Вершины	8
Группа симметрии	C _i , [2⁺ , 2⁺ ], (×), порядок 2
Характеристики	выпуклый, зоноэдр

В геометрии , A параллелепипед является трехмерный фигурой , образованной шесть параллелограммов (термин ромбовидный также иногда используются в этом значении). По аналогии он относится к параллелограмму, как куб относится к квадрату . В евклидовой геометрии четыре понятия - параллелепипед и куб в трех измерениях, параллелограмм и квадрат в двух измерениях - определены, но в контексте более общей аффинной геометрии , в которой углы не дифференцируются, а только параллелограммы.и параллелепипеды существуют. Три эквивалентных определения параллелепипеда :

многогранник с шестью гранями ( шестигранники ), каждая из которых представляет собой параллелограмм,
шестигранник с тремя парами параллельных граней, и
призмы из которых основание представляет собой параллелограмм .

Прямоугольный кубоид (шесть прямоугольных граней), куб (шесть квадратных граней) и ромбоэдр (шесть граней ромба ) - все это частные случаи параллелепипеда.

"Параллелепипед" теперь обычно произносится / ° р Aer ə л ɛ л ɪ р ɪ р ɛ д / , / ˌ р Aer ə л ɛ л ɪ р aɪ р ɛ д / или / - р ɪ д / ; Традиционно это было / ˌ р Aer ə л ɛ л ɛ р ɪ р ɛ д/ PARR -ə-lel- ЕР -i-PED ^[1] в соответствии с его этимологией вгреческомπαραλληλεπίπεδονпараллелепипеде, тело « имеющие параллельные плоскости».

Параллелепипеды - это подкласс призматоидов .

Свойства [ править ]

Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как базовые плоскости призмы. У параллелепипеда три набора из четырех параллельных ребер; края в каждом наборе имеют одинаковую длину.

Параллелепипеды результат линейных преобразований одного куба (для невырожденных случаев: биективные линейные преобразования).

Поскольку каждая грань имеет точечную симметрию , параллелепипед является зоноэдром . Также весь параллелепипед имеет точечную симметрию C _i (см. Также триклиническую ). Каждое лицо, если смотреть снаружи, является зеркальным отражением противоположного лица. Грани в целом хиральные , а параллелепипед - нет.

Пространство заполнения тесселяции возможно при сравнимых копий любого параллелепипеда.

Объем [ править ]

Параллелепипед, образованный тремя векторами

Параллелепипед можно рассматривать как наклонную призму с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда - это произведение площади основания и высоты (см. Диаграмму). С ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle B = | {\ vec {a}} | \ cdot | {\ vec {b}} | \ cdot \ sin \ gamma = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~}

(где - угол между векторами и ), и

{\ displaystyle \ gamma}

{\ displaystyle {\ vec {a}}}

{\ displaystyle {\ vec {b}}}

{\ displaystyle h = | {\ vec {c}} | \ cdot | \ cos \ theta ~ | ~}

(где угол между вектором и нормалью к основанию), получаем:

{\ displaystyle \ theta}

{\ displaystyle {\ vec {c}}}

V=B\cdot h=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta ~|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~|{\vec {c}}|~|\cos \theta ~|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|~.

Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Это можно описать определителем . Следовательно, объем равен: ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},~{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},~{\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T},$

(V1) .

\quad V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right)\right|

Другой способ доказать (V1) - использовать скалярную составляющую в направлении вектора : Результат следует. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\begin{aligned}V=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}||\mathrm {scal} _{{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{\vec {c}}|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|{\dfrac {|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\end{aligned}}.$

Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины кромок):

(V2) ,

\quad V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}

где и являются длинами ребер. $\ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}),\$ $a,b,c$

Доказательство (V2)

Доказательство (V2) использует свойства определителя и геометрическую интерпретацию скалярного произведения :

Позвольте быть 3x3-матрицей, столбцы которой - векторы (см. Выше). Тогда верно следующее: $M$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

V^{2}=(\det M)^{2}=\det M\det M=\det M^{T}\det M=\det(M^{T}M)

=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{matrix}}\right)

(расширение определителя выше по первой строке)

=\ a^{2}\left(b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\right)

-ab\cos(\gamma )\left(ab\cos(\gamma )c^{2}-ac\cos(\beta )\;bc\cos(\alpha )\right)

+ac\cos(\beta )\left(ab\cos(\gamma )bc\cos(\alpha )-ac\cos(\beta )b^{2}\right)

=\ a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )

-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )

+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\beta )

=\ a^{2}b^{2}c^{2}\left(1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos ^{2}(\beta )\right)

=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).

(Используйте последние шаги ) $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},...,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab\cos \gamma ,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=ac\cos \beta ,\;{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=bc\cos \alpha ,...$


Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра, который имеет три сходящихся ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. Доказательство ).

Площадь [ править ]

Площадь поверхности параллелепипеда - это сумма площадей ограничивающих параллелограммов:

A=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)

=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\

.

(Для маркировки: см. Предыдущий раздел.)

Особые случаи по симметрии [ править ]

Отношения подгруппы октаэдрической симметрии с центром инверсии

Частные случаи параллелепипеда

Форма	Куб	Квадратный кубоид	Тригональный трапецоэдр	Прямоугольный кубоид	Правая ромбическая призма	Правая параллелограммная призма	Косая ромбическая призма
Ограничения	$a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$a=b$ $\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma$	$\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$a=b$ $\alpha =\beta =90^{\circ }$	$\alpha =\beta =90^{\circ }$	$a=b$ $\alpha =\beta$
Симметрия	О ч порядка 48	D _4ч порядка 16	D _3d заказ 12	D _2h порядка 8		C 2h порядка 4
Изображение
Лица	6 квадратов	2 квадрата, 4 прямоугольника	6 ромбов	6 прямоугольников	4 прямоугольника, 2 ромба	4 прямоугольника, 2 параллелограмма	2 ромба, 4 параллелограмма

Параллелепипед с симметрией O _h известен как куб , у которого шесть одинаковых квадратных граней.
Параллелепипед с симметрией D _4h известен как квадратный кубоид , который имеет две квадратные грани и четыре совпадающие прямоугольные грани.
Параллелепипед с симметрией D _3d известен как тригональный трапецоэдр , который имеет шесть конгруэнтных ромбических граней (также называемых изоэдральным ромбоэдром ).
Для параллелепипедов с симметрией D _{2h возможны} два случая:
- Прямоугольный кубоид : у него шесть прямоугольных граней (также называемых прямоугольным параллелепипедом или иногда просто кубоидом ).
- Правая ромбическая призма : у нее две ромбические грани и четыре конгруэнтных прямоугольных грани.

Примечание: частный случай полностью ромбической формы с двумя ромбическими гранями и четырьмя конгруэнтными квадратными гранями имеет то же имя и одну и ту же группу симметрии (D _2h , порядок 8).

(a=b=c)

Для параллелепипедов с симметрией C _{2h возможны} два случая:
- Правая параллелограммная призма : у нее четыре прямоугольных грани и две параллелограммные грани.
- Косая ромбическая призма : у нее две ромбические грани, а из остальных граней две соседние равны, а две другие тоже (две пары являются зеркальным отображением друг друга).

Идеальный параллелепипед [ править ]

Идеально параллелепипед представляет собой параллелепипед с целым числом длиной ребер, гранями диагоналями и пространственными диагоналями . В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов ^{[2], что} явилось ответом на открытый вопрос Ричарда Гая . Один пример имеет края 271, 106 и 103, второстепенные диагонали лица 101, 266 и 255, большие диагонали лица 183, 312 и 323 и диагонали пространства 374, 300, 278 и 272.

Известны идеальные параллелепипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай можно было бы назвать идеальным кубоидом .

Параллелотоп [ править ]

Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в более высоких измерениях параллелоэдром . В современной литературе выражение параллелепипед часто используется и в более высоких (или произвольных конечных) измерениях. ^[3]

В частности, в n -мерном пространстве он называется n -мерным параллелэдром или просто n -параллелепипедом (или n- параллелепипедом). Таким образом, параллелограмм - это 2-параллелоэдр, а параллелепипед - это 3-параллелоэдр.

В более общем смысле параллелоэдр ^[4] или параллелоэдр Вороного имеет параллельные и конгруэнтные противоположные грани. Итак, 2-параллелоэдр - это параллелогон, который также может включать в себя определенные шестиугольники, а 3-параллелоэдр - это параллелоэдр , включающий 5 типов многогранников.

В диагоналями из в п -parallelotope пересекаются в одной точке и делятся пополам этим пунктом. При инверсии в этой точке n -параллелэдр остается неизменным. См. Также неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве .

Ребра, исходящие из одной вершины k -параллелоэдра, образуют k- каркас векторного пространства, и параллелоэдр можно восстановить из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1. $(v_{1},\ldots ,v_{n})$

П -VOLUME из п -parallelotope встроенное в котором может быть вычислено с помощью определителя Грама . В качестве альтернативы объем - это норма внешнего произведения векторов: $\mathbb {R} ^{m}$ $m\geq n$

V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.

Если m = n , это составляет абсолютное значение определителя n векторов.

Еще одна формула для вычисления объема с п -parallelotope Р в , которого п + 1 вершины , является $\mathbb {R} ^{n}$ $V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}$

{\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,

где - вектор-строка, образованный конкатенацией и 1. Действительно, определитель не изменяется, если вычитается из ( i > 0 ), а размещение в последней позиции меняет только его знак. $[V_{i}\ 1]$ $V_{i}$ $[V_{0}\ 1]$ $[V_{i}\ 1]$ $[V_{0}\ 1]$

Точно так же объем любого n - симплекса , у которого есть n сходящихся ребер параллелоэдра, имеет объем, равный единице 1 / n ! объема этого параллелоэдра.

Лексикография [ править ]

Это слово появляется как parallelipipedon в переводе сэра Генри Биллингсли « Элементов» Евклида , датированного 1570 годом. В издании Cursus mathematicus 1644 года Пьер Эригон использовал правописание « параллелепипед» . Оксфордский словарь английского языка приводит современный параллелепипед , как первое появление в Уолтер Чарлтон в хорея gigantum (1663).

Словарь Чарльза Хаттона (1795 г.) показывает параллелепипед и параллелепипед , показывая влияние объединяющей формы параллело- , как если бы второй элемент был трубопроводом, а не эпипедоном . Ной Вебстер (1806 г.) включает орфографический параллелепипед . Издание Оксфордского словаря английского языка 1989 г. описывает параллелепипед (и параллелепипед ) явно как неправильные формы, но они перечислены без комментариев в издании 2004 г. и только произношения с акцентом на пятый слог пи ( / paɪ /) даны.

Отказ от традиционного произношения скрыл различное разделение, предложенное греческими корнями, с epi- («он») и pedon («земля»), объединяющимися, чтобы дать epiped , плоскую «плоскость». Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны.

См. Также [ править ]

Списки фигур

Примечания [ править ]

^ Oxford English Dictionary 1904; Второй Интернационал Вебстера 1947 г.
^ Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Идеальные параллелепипеды существуют». Математика вычислений . 80 : 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . DOI : 10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7 ..
^ Морган, CL (1974). Вложение метрических пространств в евклидово пространство. Журнал геометрии, 5 (1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
^ Свойства параллелоэдров, эквивалентные гипотезе Вороного

Ссылки [ править ]

Коксетер, Регулярные многогранники HSM , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, стр. 122, 1973. (Он определяет параллелоэдр как обобщение параллелограмма и параллелепипеда в n-мерном измерении.)

Внешние ссылки [ править ]

Найдите параллелепипед в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме параллелепипедов .

Вайсштейн, Эрик В. «Параллелепипед» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Параллелотоп» . MathWorld .
Бумажная модель параллелепипед (сетка)

[1] Oxford English Dictionary 1904; Второй Интернационал Вебстера 1947 г.

[2] Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Идеальные параллелепипеды существуют». Математика вычислений . 80 : 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . DOI : 10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7 ..

[3] Морган, CL (1974). Вложение метрических пространств в евклидово пространство. Журнал геометрии, 5 (1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540

[4] Свойства параллелоэдров, эквивалентные гипотезе Вороного

[1]