Инволюционная симметрия C s , (*) [] = | Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] = | Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] = | |
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] = | Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] = | Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] = |
Конечные группы сферической симметрии также называются точечными группами в трех измерениях . Существует пять фундаментальных классов симметрии, которые имеют треугольные фундаментальные области: диэдральная , циклическая , тетраэдрическая , октаэдрическая и икосаэдрическая симметрия.
В этой статье перечислена группы по Шенфлису обозначений , Кокстер обозначения , [1] орбиобразие обозначение , [2] и порядка. Джон Конвей использует вариант обозначения Шенфлиса, основанный на кватернионной алгебраической структуре групп , обозначенной одной или двумя заглавными буквами и целыми индексами. Порядок групп определяется как нижний индекс, если порядок не удваивается для символов с префиксом плюс или минус, «±», что подразумевает центральную инверсию . [3]
Также даны обозначения Германа – Могена (международные обозначения). В кристаллографии группы, в общей сложности 32, являются подмножеством с заказами элементов 2, 3, 4 и 6. [4]
Инволюционная симметрия
Существует четыре инволюционных группы: без симметрии (C 1 ), симметрии отражения (C s ), 2-кратной вращательной симметрии (C 2 ) и симметрии центральной точки (C i ).
Intl | Гео [5] | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 11 | C 1 | C 1 | ] [ [] + | 1 | |
2 | 2 | 22 | D 1 = C 2 | D 2 = C 2 | [2] + | 2 | |
1 | 22 | × | С я = S 2 | CC 2 | [2 + , 2 + ] | 2 | |
2 = м | 1 | * | C s = C 1v = C 1h | ± C 1 = CD 2 | [] | 2 |
Циклическая симметрия
Существует четыре семейства бесконечных циклических симметрий с n = 2 или выше. ( n может быть 1 как особый случай, так как симметрия отсутствует )
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 42 | 2 × | S 4 | CC 4 | [ 2+ , 4+ ] | 4 | |
2 / м | 2 2 | 2 * | C 2h = D 1d | ± C 2 = ± D 2 | [2,2 + ] [2 + , 2] | 4 |
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 3 4 5 6 п | 2 3 4 5 6 п | 22 33 44 55 66 нн | С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С n | С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С n | [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [n] + | 2 3 4 5 6 п | |
2мм 3м 4мм 5м 6мм нм (n нечетное) nmm (n четное) | 2 3 4 5 6 п | * 22 * 33 * 44 * 55 * 66 * нн | C 2v C 3v C 4в C 5v C 6v C пу | CD 4 CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n | [2] [3] [4] [5] [6] [n] | 4 6 8 10 12 2н | |
3 8 5 12 - | 62 82 10,2 12,2 2н.2 | 3 × 4 × 5 × 6 × п × | S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n | ± C 3 CC 8 ± C 5 CC 12 CC 2n / ± C n | [2 + , 6 + ] [2 + , 8 + ] [2 + , 10 + ] [2 + , 12 + ] [2 + , 2n + ] | 6 8 10 12 2н | |
3 / м = 6 4 / м 5 / м = 10 6 / м н / м | 3 2 4 2 5 2 6 2 п 2 | 3 * 4 * 5 * 6 * п * | C 3h C 4h C 5h C 6h C nh | CC 6 ± C 4 CC 10 ± C 6 ± C n / CC 2n | [2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2, n + ] | 6 8 10 12 2н |
Двугранная симметрия
Существует три бесконечных семейства двугранной симметрии с n = 2 или выше ( n может быть равно 1 как частный случай).
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
222 | 2 . 2 | 222 | D 2 | D 4 | [2,2] + | 4 | |
4 2 мес. | 4 2 | 2 * 2 | D 2d | DD 8 | [ 2+ , 4] | 8 | |
М-м-м | 22 | * 222 | Д 2ч | ± D 4 | [2,2] | 8 |
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
32 422 52 622 | 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 п . 2 | 223 224 225 226 22н | Д 3 Д 4 Д 5 Д 6 Д н | Д 6 Д 8 Д 10 Д 12 Д 2н | [2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2, n] + | 6 8 10 12 2н | |
3 м 8 2m 5 м 12 .2m | 6 2 8 2 10. 2 12. 2 п 2 | 2 * 3 2 * 4 2 * 5 2 * 6 2 * п | D 3d D 4d D 5d D 6d D nd | ± D 6 DD 16 ± D 10 DD 24 DD 4n / ± D 2n | [2 + , 6] [2 + , 8] [2 + , 10] [2 + , 12] [2 + , 2n] | 12 16 20 24 4н | |
6 м2 4 / ммм 10 м2 6 / ммм | 32 42 52 62 н2 | * 223 * 224 * 225 * 226 * 22н | D 3h D 4h D 5h D 6h D nh | ДД 12 ± Д 8 ДД 20 ± Д 12 ± Д 2н / ДД 4н | [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n] | 12 16 20 24 4н |
Полиэдральная симметрия
Существует три типа многогранной симметрии : тетраэдрическая симметрия , октаэдрическая симметрия и икосаэдрическая симметрия , названная в честь треугольных правильных многогранников с этими симметриями.
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
23 | 3 . 3 | 332 | Т | Т | [3,3] + = [4,3 + ] + | 12 | |
м 3 | 4 3 | 3 * 2 | Т ч | ± Т | [4,3 + ] | 24 | |
4 3 мес. | 33 | * 332 | Т д | К | [3,3] = [1 + , 4,3] | 24 |
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
432 | 4 . 3 | 432 | О | О | [4,3] + = [[3,3]] + | 24 | |
м 3 м | 43 год | * 432 | О ч | ± O | [4,3] = [[3,3]] | 48 |
Intl | Гео | Сфера. | Schön. | Против. | Кокс. | Ord. | Фонд. домен |
---|---|---|---|---|---|---|---|
532 | 5 . 3 | 532 | я | я | [5,3] + | 60 | |
53 2 / м | 53 | * 532 | Я ч | ± я | [5,3] | 120 |
Смотрите также
- Кристаллографическая точечная группа
- Группа треугольников
- Список плоских групп симметрии
- Группы точек в двух измерениях
Заметки
- ^ Джонсон, 2015
- ^ Конвей, 2008
- ^ Конвей, 2003
- ^ Пески, 1993
- ^ Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Д. Хестенс и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 страницы) PDF [1]
Рекомендации
- Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), Приложение I
- Пески, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 165. ISBN 0-486-67839-3.
- О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
- Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , Таблица 11.4 Конечные группы изометрий в 3-мерном пространстве
Внешние ссылки
- Конечные группы сферической симметрии
- Вайсштейн, Эрик В. «Символ Шёнфлайз» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Кристаллографические точечные группы" . MathWorld .
- Простейшие канонические многогранники каждого типа симметрии , Дэвид И. МакКуи