Обозначение Кокстера

Фундаментальные области отражающих трехмерных точечных групп

, [] = [1] C 1v	, [2] C 2v	, [3] C 3v	, [4] C 4v	, [5] C 5v	, [6] C 6v
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказ 8	Заказ 10	Заказ 12
[2] = [2,1] D 1 ч.	[2,2] Д 2 ч.	[2,3] Д 3ч	[2,4] D 4ч.	[2,5] Д 5ч.	[2,6] Д 6 ч.
Заказ 4	Заказ 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказ 20	Заказ 24
, [3,3], T d		, [4,3], O h		, [5,3], I h
Заказ 24		Заказ 48		Заказ 120
Нотация Кокстера выражает группы Кокстера как список порядков ветвления диаграммы Кокстера , как группы полиэдров ,= [p, q]. диэдральные группы ,, может быть выражено произведением [] × [n] или одним символом с явной ветвью порядка 2, [2, n].

В геометрии , Косетер обозначение (также Косетер символ ) представляет собой система классификации групп симметрии , описывающие углы между фундаментальными отражениями группы Кокстера в квадратных скобках обозначения , выражающей структуру диаграммы Кокстера-Дынкин , с модификаторами , чтобы указать некоторые подгруппы. Обозначение названо в честь HSM Coxeter и было более полно определено Норманом Джонсоном .

Отражательные группы [ править ]

Для групп Кокстера , определенных чистыми отражениями, существует прямое соответствие между скобками и диаграммой Кокстера-Дынкина . Цифры в скобках обозначают порядки зеркального отражения в ветвях диаграммы Кокстера. Он использует то же упрощение, подавляя 2 с между ортогональными зеркалами.

Обозначение Кокстера упрощено с помощью экспонент, чтобы представить количество ветвей в строке для линейной диаграммы. Таким образом, группа A _n представлена ​​[3 ^{n −1} ], что означает n узлов, соединенных n − 1 ветвями третьего порядка. Пример A ₂ = [3,3] = [3 ² ] или [3 ^1,1 ] представляет диаграммы или же .

Первоначально Кокстер представлял бифуркационные диаграммы с вертикальным расположением чисел, но позже был сокращен обозначением степени, например [..., 3 ^{p, q} ] или [3 ^{p, q, r} ], начиная с [3 ^1,1,1 ] или [3,3 ^1,1 ] = или же как D ₄ . Кокстер разрешил нули как особые случаи, чтобы соответствовать семейству A _n , например A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ], лайк знак равно знак равно .

Группы Кокстера, образованные циклическими диаграммами, представлены круглыми скобками внутри скобок, например [(p, q, r)] = для группы треугольников (pqr). Если порядки ветвлений равны, их можно сгруппировать как показатель степени, равный длине цикла в скобках, например [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ], представляя диаграмму Кокстера. или же . может быть представлен как [3, (3,3,3)] или [3,3 ^[3] ].

Более сложные схемы циклов также можно выразить осторожно. Паракомпактным группа Косетер может быть представлен нотацией Кокстера [(3,3, (3), 3,3)], с вложенными / перекрывающимися круглыми скобками, показывающими два соседних цикла [(3,3,3)], а также более компактно представлен как [3 ^{[] × []} ], представляющий ромбическую симметрию диаграммы Кокстера. Полная диаграмма паракомпакта или же , представляется как [3 ^[3,3] ] с верхним индексом [3,3] как симметрия его правильной тетраэдрической диаграммы Кокстера.

Диаграмма Кокстера обычно оставляет невычерченными ветви порядка 2, но скобка включает явное число 2 для соединения подграфов. Итак, диаграмма Кокстера= A ₂ × A ₂ = 2 A ₂ можно представить как [3] × [3] = [3] ² = [3,2,3]. Иногда явные 2-ветки могут быть включены либо с меткой 2, либо со строкой с пробелом: или же , как представление, идентичное [3,2,3].

Конечные группы Классифицировать Символ группы Обозначение скобок Диаграмма Кокстера 2 А 2 [3] 2 В 2 [4] 2 H 2 [5] 2 G 2 [6] 2 I 2 ( p ) [п] 3 I h , H 3 [5,3] 3 Т д , А 3 [3,3] 3 О ч , В 3 [4,3] 4 А 4 [3,3,3] 4 В 4 [4,3,3] 4 D 4 [3 1,1,1 ] 4 П 4 [3,4,3] 4 H 4 [5,3,3] п А п [3 п -1 ] .. п B n [4,3 п −2 ] ... п D n [3 n − 3,1,1 ] ... 6 E 6 [3 2,2,1 ] 7 E 7 [3 3,2,1 ] 8 E 8 [3 4,2,1 ]

Аффинные группы Символ группы Обозначение скобок Диаграмма Кокстера ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}, {\ tilde {A}} _ {1}}$ [∞] ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ [3 [3] ] ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$ [4,4] ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ [6,3] ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ [3 [4] ] ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ [4,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$ [4,3,4] ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ [3 [5] ] ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ [4,3,3 1,1 ] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ [3 1,1,1,1 ] ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ [3,4,3,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ [3 [n + 1] ] ... или же ... ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$ [4,3 n − 3 , 3 1,1 ] ... ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$ [4,3 n − 2 , 4] ... ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$ [3 1,1 , 3 n − 4 , 3 1,1 ] ... ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ [3 2,2,2 ] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ [3 3,3,1 ] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}=E_{9}}$ [3 5,2,1 ]

Гиперболические группы Символ группы Обозначение скобок Диаграмма Кокстера [p, q] с 2 (p + q) <pq [(p, q, r)] с${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$ ${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$ [4,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$ [5,3,5] ${\displaystyle {\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}}$ [3,5,3] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$ [5,3 1,1 ] ${\displaystyle {\widehat {AB}}_{3}}$ [(3,3,3,4)]   ${\displaystyle {\widehat {AH}}_{3}}$ [(3,3,3,5)]   ${\displaystyle {\widehat {BB}}_{3}}$ [(3,4,3,4)] ${\displaystyle {\widehat {BH}}_{3}}$ [(3,4,3,5)] ${\displaystyle {\widehat {HH}}_{3}}$ [(3,5,3,5)] ${\displaystyle {\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}}$ [3,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {BH}}_{4}}$ [4,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{4}}$ [5,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{4}}$ [5,3,3 1,1 ] ${\displaystyle {\widehat {AF}}_{4}}$ [(3,3,3,3,4)]

Для аффинных и гиперболических групп индекс на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена добавлением узла к диаграмме конечной группы.

Подгруппы [ править ]

Обозначение Кокстера представляет вращательную / трансляционную симметрию путем добавления оператора ⁺ надстрочный индекс за скобками, [X] ^+, который сокращает порядок группы [X] пополам, таким образом, это подгруппа индекса 2. Этот оператор подразумевает, что должно применяться четное количество операторов, заменяя отражения поворотами (или перемещениями). Применительно к группе Кокстера это называется прямой подгруппой, потому что то, что остается, - это только прямые изометрии без отражательной симметрии.

Операторы ⁺ также могут применяться внутри скобок, например [X, Y ⁺ ] или [X, (Y, Z) ⁺ ], и создают «полупрямые» подгруппы, которые могут включать как отражающие, так и неотражающие генераторы. Полупрямые подгруппы могут применяться только к подгруппам группы Кокстера, которые имеют смежные ветви четного порядка. Элементам в круглых скобках внутри группы Кокстера может быть присвоен верхний индекс ⁺ оператор, имеющий эффект деления соседних упорядоченных ветвей на половину порядка, поэтому обычно применяется только с четными числами. Например, [4,3 ⁺ ] и [4, (3,3) ⁺ ] ().

Если применяется со смежной нечетной ветвью, он не создает подгруппу индекса 2, а вместо этого создает перекрывающиеся фундаментальные домены, такие как [5,1 ⁺ ] = [5/2], которые могут определять дважды завернутые многоугольники, такие как пентаграмма , { 5/2}, а [5,3 ⁺ ] относится к треугольнику Шварца [5 / 2,3], плотность 2.

Примеры в группах ранга 2

Группа		Заказ	Генераторы	Подгруппа		Заказ	Генераторы	Примечания
[ p ]		2 шт.	{0,1}	[ p ] +		п	{01}	Прямая подгруппа
[2 p + ] = [2 p ] +		2 шт.	{01}	[2 p + ] + = [2 p ] +2 = [ p ] +		п	{0101}
[2 п. ]		4 шт.	{0,1}	[1 + , 2 p ] = [ p ]	знак равно знак равно	2 шт.	{101,1}	Половина подгруппы
				[2 п , 1 + ] = [ п ]	знак равно знак равно		{0,010}
				[1 + , 2 p , 1 + ] = [2 p ] +2 = [ p ] +	знак равно знак равно	п	{0101}	Квартальная группа

Группы без соседних ⁺ элементов можно увидеть в кольцевых узлах. Диаграмма Кокстера-Дынкина для однородных многогранников и соты связаны с отверстиями вокруг элементов ⁺ , пустые кружки с удаленными чередующимися узлами. Итак, курносый куб ,имеет симметрию [4,3] ⁺ (), и курносый тетраэдр ,имеет симметрию [4,3 ⁺ ] () и полукуб h {4,3} = {3,3} ( или же знак равно ) имеет симметрию [1 ⁺ , 4,3] = [3,3] ( или же знак равно знак равно ).

Примечание: пиритоэдрическая симметрия. можно записать как , разделив граф с пробелами для наглядности, с генераторами {0,1,2} из группы Кокстера , производящие пиритоэдрические генераторы {0,12}, отражение и 3-х кратное вращение. А киральная тетраэдрическая симметрия может быть записана как или же , [1 ⁺ , 4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , с образующими {12,0120}.

Сокращение вдвое подгрупп и расширенных групп [ править ]

Пример деления вдвое

[ 1 , 4, 1 ] = [4]	знак равно знак равно [1 + , 4, 1 ] = [2] = [] × []
знак равно знак равно [ 1 , 4,1 + ] = [2] = [] × []	знак равно знак равно знак равно [1 + , 4,1 + ] = [2] +

Джонсон расширяет оператор ⁺ для работы с узлами- заполнителями 1 ⁺ , которые удаляют зеркала, удваивают размер основной области и вдвое сокращают порядок групп. ^[1] Обычно эта операция применяется только к отдельным зеркалам, ограниченным ветвями четного порядка. 1 представляет собой зеркало так , [2р] можно рассматривать как [2р, 1 ], [ 1 , 2p] или [ 1 , 2р, 1 ], как диаграммы или же , с двумя зеркалами, соединенными двугранным углом порядка 2p. Эффект удаления зеркала заключается в дублировании соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: знак равно , или в скобках: [1 ⁺ , 2p, 1 ] = [ 1 , p, 1 ] = [p].

Каждое из этих зеркал может быть удалено, так что h [2p] = [1 ⁺ , 2p, 1] = [1,2p, 1 ⁺ ] = [p], индекс отражающей подгруппы 2. Это может быть показано на диаграмме Кокстера следующим образом: добавление символа ⁺ над узлом: знак равно знак равно .

Если оба зеркала удалены, создается четверть подгруппы, причем порядок ветвления становится точкой вращения в половину порядка:

q [2p] = [1 ⁺ , 2p, 1 ⁺ ] = [p] ⁺ , вращательная подгруппа индекса 4. знак равно знак равно знак равно знак равно .

Например, (с p = 2): [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ , 4] = [2] = [] × [], порядок 4. [1 ⁺ , 4,1 ⁺ ] = [2] ⁺ , заказ 2.

Противоположностью делению пополам является удвоение ^[2], которое добавляет зеркало, делит пополам фундаментальную область и удваивает групповой порядок.

[[p]] = [2p]

Операции деления пополам применяются для групп более высокого ранга, например, симметрия тетраэдра - это половина группы октаэдра : h [4,3] = [1 ⁺ , 4,3] = [3,3], удаляя половину зеркал на 4-ветви . Эффект удаления зеркала заключается в дублировании всех соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: знак равно , h [2p, 3] = [1 ⁺ , 2p, 3] = [(p, 3,3)].

Если узлы проиндексированы, половина подгрупп может быть помечена новыми зеркалами как композиты. Нравиться, генераторы {0,1} имеют подгруппу знак равно , генераторы {1,010}, где зеркало 0 удалено и заменено копией зеркала 1, отраженным от зеркала 0. Также дано , образующие {0,1,2}, имеет половину группы знак равно , генераторы {1,2,010}.

Удвоение путем добавления зеркала также применяется при обращении операции уменьшения вдвое: [[3,3]] = [4,3] или, в более общем смысле, [[(q, q, p)]] = [2p, q].

Тетраэдрическая симметрия	Октаэдрическая симметрия
T d , [3,3] = [1 + , 4,3] знак равно знак равно (Заказ 24)	О ч , [4,3] = [[3,3]] (Заказ 48)

Радикальные подгруппы [ править ]

Джонсон также добавил оператор звездочки или звездочки * для «радикальных» подгрупп ^[3], который действует аналогично оператору ⁺ , но удаляет симметрию вращения. Индекс радикальной подгруппы - это порядок удаляемого элемента. Например, [4,3 *] ≅ [2,2]. Удаленная подгруппа [3] имеет порядок 6, поэтому [2,2] является подгруппой индекса 6 в [4,3].

Радикальные подгруппы представляют собой операцию, обратную операции расширенной симметрии . Например, [4,3 *] ≅ [2,2] и наоборот [2,2] могут быть расширены как [3 [2,2]] ≅ [4,3]. Подгруппы можно представить в виде диаграммы Кокстера: или же ≅ . Удаленный узел (зеркало) заставляет соседние зеркальные виртуальные зеркала становиться настоящими зеркалами.

Если [4,3] имеет генераторы {0,1,2}, [4,3 ⁺ ], индекс 2 имеет генераторы {0,12}; [1 ⁺ , 4,3] ≅ [3,3], индекс 2 имеет образующие {010,1,2}; в то время как радикальная подгруппа [4,3 *] ≅ [2,2], индекс 6, имеет образующие {01210, 2, (012) ³ }; и, наконец, [1 ⁺ , 4,3 *], индекс 12 имеет генераторы {0 (12) ² 0, (012) ² 01}.

Трионные подгруппы [ править ]

Trionic подгруппа является индексом 3 подгруппы. Есть много Джонсон определяет трионную подгруппу с оператором, индекс 3. Для групп Кокстера ранга 2, [3], трионная подгруппа, [3 ^⅄ ] является [], единственным зеркалом. А для [3 p ] трионная подгруппа равна [3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]. Данный, с образующими {0,1}, имеет 3 трионные подгруппы. Их можно отличить, поставив символ ⅄ рядом с зеркальным генератором, который нужно удалить, или на ветке для обоих: [3 p , 1 ^⅄ ] = знак равно , знак равно , и [3 p ^⅄ ] = знак равно с генераторами {0,10101}, {01010,1} или {101,010}.

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии : [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ , 4], связывающие симметрию правильного тетраэдра и тетрагонального дисфеноида .

Для групп Кокстера ранга 3, [ p , 3], существует трионная подгруппа [ p , 3 ^⅄ ] ≅ [ p / 2, p ], или знак равно . Например, конечная группа [4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4], и евклидово группы [6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6], и гиперболической группы [8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8] .

Смежная ветвь нечетного порядка p не будет понижать групповой порядок, но создаст перекрывающиеся фундаментальные области. Порядок групп остается прежним, а плотность увеличивается. Например, икосаэдрическая симметрия [5,3] правильного многогранника икосаэдра становится [5 / 2,5] симметрией двух правильных звездных многогранников. Он также связывает гиперболические мозаики {p, 3} и звездные гиперболические мозаики {p / 2, p}

Для ранга 4 [ q , 2 p , 3 ^⅄ ] = [2 p , ((p, q, q))], знак равно .

Например, [3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3] или знак равно , образующие {0,1,2,3} в [3,4,3] с трионной подгруппой [4,3,3] образующие {0,1,2,32123}. Для гиперболических групп, [3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ] и [4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4].

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии [ править ]

Джонсон идентифицировал две специфические трионные подгруппы ^[4] из [3,3], сначала подгруппу индекса 3 [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ , 4], с [3,3] ( знак равно знак равно ) генераторы {0,1,2}. Его также можно записать как [(3,3,2 ^⅄ )] () как напоминание о его генераторах {02,1}. Это снижение симметрии - это отношение между правильным тетраэдром и тетрагональным дисфеноидом , представляющее собой растяжение тетраэдра перпендикулярно двум противоположным краям.

Во-вторых, он идентифицирует связанную подгруппу индекса 6 [3,3] ^Δ или [(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ (), индекс 3 из [3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺ , с образующими {02,1021}, из [3,3] и его образующие {0,1,2}.

Эти подгруппы также применяются в более крупных группах Кокстера с [3,3] подгруппой с соседними ветвями всех четных порядков.

Например, [(3,3) ⁺ , 4], [(3,3) ^⅄ , 4] и [(3,3) ^∆ , 4] являются подгруппами [3,3,4], индекс 2, 3 и 6 соответственно. Генераторы [(3,3) ^⅄ , 4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ , 8], порядок 128, {02,1,3} из [3,3, 4] генераторы {0,1,2,3}. И [(3,3) ^Δ , 4] ≅ [[4,2 ⁺ , 4]], порядок 64, имеет образующие {02,1021,3}. Также, [3 ^⅄ , 4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ , 4].

Также связанный [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] имеет трионные подгруппы: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ , 4,1 ⁺ ], порядок 64 и 1 = [3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ , 4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ , 4]] ⁺ , порядок 32.

Центральная инверсия [ править ]

Центральная инверсия , порядок 2, функционально по- разному измерения. Группа [] ⁿ = [2 ^{n -1} ] представляет n ортогональных зеркал в n-мерном пространстве или n-плоское подпространство пространства более высокой размерности. Зеркала группы [2 ^{n −1} ] пронумерованы . В случае инверсии порядок зеркал не имеет значения. Матрица центральной инверсии - это матрица идентичности с отрицательной по диагонали.${\displaystyle 0\dots n-1}$${\displaystyle -I}$

Исходя из этого, центральная инверсия имеет генератор как продукт всех ортогональных зеркал. В нотации Кокстера эта группа инверсии выражается добавлением чередования ⁺ к каждой 2 ветви. Симметрия чередования отмечена на узлах диаграммы Кокстера как открытые узлы.

Кокстер-Дынкина может быть помечено с явной 2 ветви , определяющей линейную последовательностью зеркал, открытыми узлами, и совместно с двойными открытыми узлами , чтобы показать цепочки генераторов отражения.

Например, [2 ⁺ , 2] и [2,2 ⁺ ] являются индексом 2 подгруппы [2,2],, и представлены как (или же ) и (или же ) с генераторами {01,2} и {0,12} соответственно. Их общий индекс подгруппы 4 равен [2 ⁺ , 2 ⁺ ] и представлен (или же ), с двойным открыванием маркировка общего узла в двух чередованиях и один генератор вращательного отражения {012}.

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генератор
2	[2] +	2		Поворот на 180 ° , C 2	{01}
3	[2 + , 2 + ]	2		вращательное отражение , C i или S 2	{012}
4	[2 + , 2 + , 2 + ]	2		двойное вращение	{0123}
5	[2 + , 2 + , 2 + , 2 + ]	2		двойное вращательное отражение	{01234}
6	[2 + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ]	2		тройное вращение	{012345}
7	[2 + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ]	2		тройное вращательное отражение	{0123456}

Вращения и вращательные отражения [ править ]

Вращения и вращательные отражения построены с помощью единственного порождающего произведения всех отражений призматической группы, [2 p ] × [2 q ] × ..., где gcd ( p , q , ...) = 1, они изоморфны абстрактной циклической группе Z _n порядка n = 2 pq .

4-мерные двойные вращения, [2 p ⁺ , 2 ⁺ , 2 q ⁺ ] (с НОД ( p , q ) = 1), которые включают центральную группу и выражаются Конвеем как ± [C _p × C _q ], ^[5] порядок 2 pq . Из диаграммы Кокстера, генераторы {0,1,2,3}, единственный генератор [2 p ⁺ , 2 ⁺ , 2 q ⁺ ],это {0123}. Полугруппа, [2 p ⁺ , 2 ⁺ , 2 q ⁺ ] ⁺ , или циклический граф, [(2 p ⁺ , 2 ⁺ , 2 q ⁺ , 2 ⁺ )],Конвей выражает [C _p × C _q ], порядок pq , с генератором {01230123}.

Если есть общий множитель е , двойное вращение может быть записана в виде ¹ / _F [2 пф ⁺ , 2 ⁺ , 2 QF ⁺ ] (с НОД ( р , д ) = 1), генератор {0123}, порядка 2 pqf . Так , например, р = д = 1, е = 2, ¹ / ₂ [4 ⁺ 2 ⁺ 4 ⁺ ] есть порядок 4. И ¹ / _е [2 пф ⁺ , 2 ⁺ , 2 QF ⁺] ⁺ , генератор {01230123}, это pqf порядка . Например, ¹ / ₂ [4 ⁺ 2 ⁺ 4 ⁺ ] ⁺ есть порядок 2, а центральные инверсии .

Примеры

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генератор	Прямая подгруппа
2	[2 п. ] +	2 шт.		Вращение	{01}	[2 п ] +2	Простое вращение: [2 p ] +2 = [ p ] + порядок p
3	[2 p + , 2 + ]			вращательное отражение	{012}	[2 p + , 2 + ] +
4	[2 p + , 2 + , 2 + ]			двойное вращение	{0123}	[2 p + , 2 + , 2 + ] +
5	[2 p + , 2 + , 2 + , 2 + ]			двойное вращательное отражение	{01234}	[2 p + , 2 + , 2 + , 2 + ] +
6	[2 p + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ]			тройное вращение	{012345}	[2 п + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ] +
7	[2 п + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2 п + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + , 2 + ] +
4	[2 p + , 2 + , 2 q + ]	2 шт.		двойное вращение	{0123}	[2 p + , 2 + , 2 q + ] +	Двойное вращение: [2 p + , 2 + , 2 q + ] + порядок pq НОД ( p , q ) = 1
5	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + ]			двойное вращательное отражение	{01234}	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + ] +
6	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 + ]			тройное вращение	{012345}	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 + ]
7	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 + , 2 + ]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 + , 2 + ] +
6	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 r + ]	2 шт.		тройное вращение	{012345}	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 r + ] +	Тройное вращение: [2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 r + ] + порядок pqr gcd ( p , q , r ) = 1
7	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 r + , 2 + ]			тройное вращательное отражение	{0123456}	[2 p + , 2 + , 2 q + , 2 + , 2 r + , 2 + ] +

Подгруппы коммутаторов [ править ]

Простые группы только с элементами ветвления нечетного порядка имеют только одну вращательную / трансляционную подгруппу порядка 2, которая также является коммутаторной подгруппой , примеры [3,3] ⁺ , [3,5] ⁺ , [3,3,3] ⁺ , [3,3,5] ⁺ . Для других групп Кокстера с ветвями четного порядка коммутаторная подгруппа имеет индекс 2 ^c , где c - количество несвязных подграфов, когда все ветви четного порядка удалены. ^[6] Например, [4,4] имеет три независимых узла в диаграмме Кокстера, когда 4 s удалены, поэтому его коммутаторная подгруппа имеет индекс 2 ³ и может иметь разные представления, все с тремя ⁺операторы: [4 ⁺ , 4 ⁺ ] ⁺ , [1 ⁺ , 4,1 ⁺ , 4,1 ⁺ ], [1 ⁺ , 4,4,1 ⁺ ] ⁺ или [(4 ⁺ , 4 ⁺ , 2 ⁺ )]. Можно использовать общие обозначения с + c в качестве группового показателя, например [4,4] ⁺³ .

Примеры подгрупп [ править ]

Пример подгрупп ранга 2 [ править ]

Группы симметрии диэдра четных порядков имеют ряд подгрупп. В этом примере показаны два зеркала генератора [4], выделенные красным и зеленым цветом, и все подгруппы рассматриваются с разбиением на половину, понижение ранга и их прямые подгруппы. Группа [4], имеет два генератора зеркал 0 и 1. Каждый из них генерирует два виртуальных зеркала 101 и 010 путем отражения друг от друга.

Подгруппы [4]
Индекс	1	2 (половина)		4 (Понижение ранга)
Диаграмма
Coxeter	[ 1 , 4, 1 ] = [4]	знак равно знак равно [1 + , 4, 1 ] = [1 + , 4] = [2]	знак равно знак равно [ 1 , 4,1 + ] = [4,1 + ] = [2]	[ 1 ] = []	[ 1 ] = []
Генераторы	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Прямые подгруппы
Индекс	2	4		8
Диаграмма
Coxeter	[4] +	знак равно знак равно знак равно [4] +2 = [1 + , 4,1 + ] = [2] +		[] +
Генераторы	{01}	{(01) 2 }		{0 2 } = {1 2 } = {(01) 4 } = {}

Примерные евклидовы подгруппы 3-го ранга [ править ]

Группа [4,4] состоит из 15 малых индексных подгрупп. В этой таблице показаны все они, с желтым основным доменом для чисто отражающих групп и чередующимися белыми и синими доменами, которые объединены в пары, образуя вращательные домены. Голубые, красные и зеленые зеркальные линии соответствуют узлам одного цвета на диаграмме Кокстера. Генераторы подгрупп могут быть выражены как продукты исходных 3 зеркал фундаментальной области {0,1,2}, соответствующих 3 узлам диаграммы Кокстера,. Произведение двух пересекающихся линий отражения совершает поворот, например {012}, {12} или {02}. При удалении зеркала на удаленном зеркале появляются две копии соседних зеркал, например {010} и {212}. Два последовательных поворота сокращают порядок вращения вдвое, например {0101} или {(01) ² }, {1212} или {(02) ² }. Продукт всех трех зеркал создает трансотражение , подобное {012} или {120}.

Подгруппы малых индексов в [4,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[ 1 , 4, 1 , 4, 1 ] = [4,4]	[1 + , 4,4] знак равно	[4,4,1 + ] знак равно	[4,1 + , 4] знак равно	[1 + , 4,4,1 + ] знак равно	[ 4+ , 4+ ]
Генераторы	{ 0 , 1 , 2 }	{ 010 , 1 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 121 , 2 }	{ 010 , 1 , 212 , 20102 }	{(01) 2 , (12) 2 , 012 , 120 }
Орбифолд	* 442			* 2222		22 ×
Полупрямые подгруппы
Индекс		2			4
Диаграмма
Coxeter		[4,4 + ]	[ 4+ , 4]	[(4,4,2 + )] знак равно	[4,1 + , 4,1 + ] знак равно знак равно	[1 + , 4,1 + , 4] знак равно знак равно
Генераторы		{ 0 , 12}	{01, 2 }	{02, 1 , 212 }	{ 0 , 101 , (12) 2 }	{(01) 2 , 121 , 2 }
Орбифолд		4 * 2		2 * 22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[4,4] + знак равно	[4,4 + ] + знак равно	[4 + , 4] + знак равно	[(4,4,2 + )] + знак равно	[4,4] +3 = [(4 + , 4 + , 2 + )] = [1 + , 4,1 + , 4,1 + ] = [4 + , 4 + ] + знак равно знак равно знак равно знак равно
Генераторы	{01,12}	{(01) 2 , 12}	{01, (12) 2 }	{02, (01) 2 , (12) 2 }	{(01) 2 , (12) 2 , 2 (01) 2 2}
Орбифолд	442			2222
Радикальные подгруппы
Индекс		8		16
Диаграмма
Coxeter		[4,4 *] знак равно	[4 *, 4] знак равно	[4,4 *] + знак равно	[4 *, 4] + знак равно
Орбифолд		* 2222		2222

Примеры гиперболических подгрупп [ править ]

Такой же набор из 15 малых подгрупп существует во всех треугольных группах с элементами четного порядка, как [6,4] в гиперболической плоскости:

Подгруппы малых индексов в [6,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Coxeter	[ 1 , 6, 1 , 4, 1 ] = [6,4]	[1 + , 6,4] знак равно	[6,4,1 + ] знак равно	[6,1 + , 4] знак равно	[1 + , 6,4,1 + ] знак равно	[ 6+ , 4+ ]
Генераторы	{ 0 , 1 , 2 }	{ 010 , 1 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 121 , 2 }	{ 010 , 1 , 212 , 20102 }	{(01) 2 , (12) 2 , 012 }
Орбифолд	* 642	* 443	* 662	* 3222	* 3232	32 ×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Coxeter		[6,4 + ]	[6 + , 4]	[(6,4,2 + )]	[6,1 + , 4,1 + ] знак равно знак равно знак равно знак равно	[1 + , 6,1 + , 4] знак равно знак равно знак равно знак равно
Генераторы		{ 0 , 12}	{01, 2 }	{02, 1 , 212 }	{ 0 , 101 , (12) 2 }	{(01) 2 , 121 , 2 }
Орбифолд		4 * 3	6 * 2	2 * 32	2 * 33	3 * 22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Coxeter	[6,4] + знак равно	[6,4 + ] + знак равно	[6 + , 4] + знак равно	[(6,4,2 + )] + знак равно	[6 + , 4 + ] + = [1 + , 6,1 + , 4,1 + ] знак равно знак равно знак равно
Генераторы	{01,12}	{(01) 2 , 12}	{01, (12) 2 }	{02, (01) 2 , (12) 2 }	{(01) 2 , (12) 2 , 201012}
Орбифолд	642	443	662	3222	3232
Радикальные подгруппы
Индекс		8	12	16	24
Диаграмма
Кокстер (орбифолд)		[6,4 *] знак равно (* 3333)	[6 *, 4] (* 222222)	[6,4 *] + знак равно (3333)	[6 *, 4] + (222222)

Расширенная симметрия [ править ]

Группа обоев Симметрия треугольника Расширенная симметрия Расширенная диаграмма Расширенная группа Соты p3m1 (* 333) а1 [3 [3] ] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ (никто) p6m (* 632) i2 [[3 [3] ]] ↔ [6,3] ↔ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 1 , 2 p31m (3 * 3) g3 [3 + [3 [3] ]] ↔ [6,3 + ] ↔ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (никто) p6 (632) r6 [3 [3 [3] ]] + ↔ [6,3] + ↔ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (1) p6m (* 632) [3 [3 [3] ]] ↔ [6,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 3

На евклидовой плоскости группа , [3 [3] ] Кокстера может быть расширена двумя способами в группу , [6,3] Кокстера и связывает однородные мозаики как кольцевые диаграммы.${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

Обозначения Кокстера включают обозначения с двойными квадратными скобками, [[X]] для выражения автоморфной симметрии внутри диаграммы Кокстера. Джонсон добавил альтернативу угловой скобке <[X]> или ⟨[X]⟩ как эквивалент квадратных скобок для удвоения, чтобы различать симметрию диаграммы через узлы и через ветви. Джонсон также добавил префиксный модификатор симметрии [Y [X]], где Y может представлять либо симметрию диаграммы Кокстера [X], либо симметрию фундаментальной области [X].

Например, в 3D эти эквивалентные прямоугольные и ромбические геометрические диаграммы :${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ и , первое удвоено с квадратными скобками, [[3 ^[4] ]] или дважды удвоено как [2 [3 ^[4] ]], с симметрией [2], более высокой четвертого порядка. Чтобы отличить вторую, угловые скобки используются для удвоения, ⟨[3 ^[4] ]⟩ и дважды удвоенного как 2 [3 ^[4] ]⟩, также с другой [2], симметрией 4-го порядка. Наконец, полная симметрия, где все 4 узла эквивалентны, может быть представлена ​​как [4 [3 ^[4] ]] с порядком 8, [4] симметрии квадрата . Но, рассматривая фундаментальную область тетрагонального дисфеноида, [4] расширенная симметрия квадратного графа может быть отмечена более явно как [(2 ⁺ , 4) [3 ^[4] ]] или [2 ⁺ , 4 [3^[4] ]].

Кроме симметрии существует в циклических и ветвления , и диаграмм. имеет симметрию порядка 2 n правильного n -угольника, { n }, и представляется как [ n [3 ^{[ n ]} ]]. и представлены как [3 [3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] и [3 [3 ^2,2,2 ]] соответственно, а как [(3,3) [3 ^{1,1, 1,1} ]] = [3,3,4,3], с диаграммой, содержащей симметрию порядка 24 правильного тетраэдра , {3,3}. Паракомпактная гиперболическая группа = [3 ^1,1,1,1,1 ],${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$${\displaystyle D_{3}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$${\displaystyle D_{3}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$, содержит симметрию 5-клетки , {3,3,3}, и поэтому представляется как [(3,3,3) [3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4, 3,3,3].

Звездочка * верхний индекс фактически обратная операция, создавая радикальные подгруппы удаления связанно нечетных упорядоченные зеркал. ^[7]

Примеры:

Пример Расширенные группы и радикальные подгруппы

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [3 [2,2]] = [4,3] [4,3 *] = [2,2] знак равно 6 [(3,3) [2,2,2]] = [4,3,3] [4, (3,3) *] = [2,2,2] знак равно 24 [1 [3 1,1 ]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1 + ] = [3,3] знак равно 2 [3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3] [3 *, 4,3] = [3 1,1,1 ] знак равно 6 [2 [3 1,1,1,1 ]] = [4,3,3,4] [1 + , 4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1 ] знак равно 4 [3 [3,3 1,1,1 ]] = [3,3,4,3] [3 *, 4,3,3] = [3 1,1,1,1 ] знак равно 6 [(3,3) [3 1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3] [3,4, (3,3) *] = [3 1,1,1,1 ] знак равно 24 [2 [3,3 1,1,1,1 ]] = [3, (3,4) 1,1 ] [3, (3,4,1 + ) 1,1 ] = [3,3 1,1,1,1 ] знак равно 4 [(2,3) [ 1,1 3 1,1,1 ]] = [4,3,3,4,3] [3 *, 4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1,1 ] знак равно 12 [(3,3) [3,3 1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4, (3,3) *] = [3 1,1,1,1,1 ] знак равно 24 [(3,3,3) [3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3] [3,4, (3,3,3) *] = [3 1,1,1,1,1 ] знак равно 120

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [1 [3 [3] ]] = [3,6] [3,6,1 + ] = [3 [3] ] знак равно 2 [3 [3 [3] ]] = [6,3] [6,3 *] = [3 [3] ] знак равно 6 [1 [3,3 [3] ]] = [3,3,6] [3,3,6,1 + ] = [3,3 [3] ] знак равно 2 [(3,3) [3 [3,3] ]] = [6,3,3] [6, (3,3) *] = [3 [3,3] ] знак равно 24 [1 [∞] 2 ] = [4,4] [4,1 + , 4] = [∞] 2 = [∞] × [∞] = [∞, 2, ∞] знак равно 2 [2 [∞] 2 ] = [4,4] [1 + , 4,4,1 + ] = [(4,4,2 *)] = [∞] 2 знак равно 4 [4 [∞] 2 ] = [4,4] [4,4 *] = [∞] 2 знак равно 8 [2 [3 [4] ]] = [4,3,4] [1 + , 4,3,4,1 + ] = [(4,3,4,2 *)] = [3 [4] ] знак равно знак равно 4 [3 [∞] 3 ] = [4,3,4] [4,3 *, 4] = [∞] 3 = [∞, 2, ∞, 2, ∞] знак равно 6 [(3,3) [∞] 3 ] = [4,3 1,1 ] [4, (3 1,1 ) *] = [∞] 3 знак равно 24 [(4,3) [∞] 3 ] = [4,3,4] [4, (3,4) *] = [∞] 3 знак равно 48 [(3,3) [∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4, (3,3) *, 4] = [∞] 4 знак равно 24 [(4,3,3) [∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4, (3,3,4) *] = [∞] 4 знак равно 384

Глядя на генераторы, двойная симметрия рассматривается как добавление нового оператора, который отображает симметричные позиции на диаграмме Кокстера, делая некоторые оригинальные генераторы избыточными. Для трехмерных пространственных групп и четырехмерных точечных групп Кокстер определяет подгруппу индекса два в [[X]], [[X] ⁺ ], которую он определяет как произведение исходных генераторов [X] на генератор удвоения. Это похоже на [[X]] ⁺ , которая является киральной подгруппой в [[X]]. Так, например, трехмерные пространственные группы [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) и [[4,3,4] ⁺ ] (Pm 3 n, 223) являются различными подгруппами в [[4,3, 4]] (Im 3 m, 229).

Вычисление с матрицами отражения в качестве генераторов симметрии [ править ]

Группа Кокстера, представленная диаграммой Кокстера , дается обозначение Кокстера [p, q] для порядков ветвления. Каждый узел на диаграмме Кокстера представляет собой зеркало, условно называемое ρ _i (и матрицей R _i ). В генераторах этой группы [р, д] являются отражениями: ρ ₀ , ρ ₁ , а р ₂ . Вращательная подсимметрия задается как произведение отражений: по соглашению, σ _0,1 (и матрица S _0,1 ) = ρ ₀ ρ ₁ представляет поворот на угол π / p, а σ _1,2 = ρ ₁ ρ ₂ является поворот на угол π / q, причем σ _0,2 = ρ ₀ ρ ₂ представляет поворот на угол π / 2.

[p, q] ⁺ ,, является подгруппой индекса 2, представленной двумя генераторами вращения, каждый из которых является продуктом двух отражений: σ _0,1 , σ _1,2 , и представляет собой повороты на углы π / p и π / q соответственно.

С одной четной ветвью [ p ⁺ , 2 q ], или же , - еще одна подгруппа индекса 2, представленная генератором вращения σ _0,1 и отражателем ρ ₂ .

С четными ветвями, [2 p ⁺ , 2 q ⁺ ],, представляет собой подгруппу индекса 4 с двумя образующими, построенную как произведение всех трех матриц отражения: По соглашению: ψ _0,1,2 и ψ _1,2,0 , которые являются вращательными отражениями , представляющими отражение и вращение или отражение.

В случае аффинных групп Кокстера типа , или же , одно зеркало, обычно последнее, переводится с начала координат. Перевод генератор т _0,1 (и матрица Т _0,1 ) строятся как произведение два (или четное число отражений), в том числе аффинного отражения. Transreflection (отражение плюс перевод) может быть продуктом из нечетного числа отражений ф _0,1,2 (и матрицы V _0,1,2 ), как подгруппы индекса 4: [4 ⁺ , 4 ⁺ ] =.

Другой составной генератор, условно обозначаемый как ζ (и матрица Z), представляет инверсию , отображая точку на ее инверсию. Для [4,3] и [5,3] ζ = (ρ ₀ ρ ₁ ρ ₂ ) ^{h / 2} , где h равно 6 и 10 соответственно, число Кокстера для каждого семейства. Для трехмерной группы Кокстера [p, q] () эта подгруппа является поворотным отражением [2 ⁺ , h ⁺ ].

Группы Кокстера классифицируются по их рангу, который является количеством узлов на диаграмме Кокстера-Дынкина . Структура групп также дается с их абстрактными типами групп: в этой статье абстрактные группы диэдра представлены как Dih _n , а циклические группы представлены как Z _n , где Dih ₁ = Z ₂ .

Ранг 2 [ править ]

Например, в 2D группа Кокстера [p] () представлена ​​двумя матрицами отражения R ₀ и R ₁ , Циклическая симметрия [p] ⁺ () представлена ​​генератором вращения матрицы S _0,1 .

[п], Размышления Вращение Имя R 0 R 1 S 0,1 = R 0 × R 1 Заказ 2 2 п Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$

[2], Размышления Вращение Имя R 0 R 1 S 0,1 = R 0 × R 1 Заказ 2 2 2 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

[3], Размышления Вращение Имя R 0 R 1 S 0,1 = R 0 × R 1 Заказ 2 2 3 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$

[4], Размышления Вращение Имя R 0 R 1 S 0,1 = R 0 × R 1 Заказ 2 2 4 Матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Ранг 3 [ править ]

Группы Кокстера конечного ранга 3 - это [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] и [3,5].

Чтобы отразить точку через плоскость (которая проходит через начало координат), можно использовать , где - единичная матрица 3 × 3, а - трехмерный единичный вектор для вектора нормали к плоскости. Если норма L2 из и равна единице, матрица преобразования может быть выражена как:${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}$

Двугранная симметрия [ править ]

Приводимая трехмерная конечная отражательная группа имеет диэдральную симметрию , [ p , 2], порядок 4 p ,. Генераторами отражения являются матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ × R ₁ ) ³ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Идентичность. [ p , 2] ⁺ () создается двумя из трех поворотов: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Порядок р rotoreflection порождается V _0,1,2 , произведение всех 3 -х отражений.

[п, 2],

	Размышления			Вращение			Rotoreflection
Имя	R 0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	п	2		2 шт.
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Тетраэдрическая симметрия [ править ]

линии отражения для [3,3] =

Простейшей неприводимой трехмерной конечной отражающей группой является тетраэдрическая симметрия , [3,3], порядок 24,. Генераторами отражения из конструкции D ₃ = A ₃ являются матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ × R ₁ ) ³ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Идентичность. [3,3] ⁺ () создается двумя из трех поворотов: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Trionic подгруппа , изоморфная [2 ⁺ 4], порядок 8, порождается S _0,2 и R ₁ . Поворотное отражение четвертого порядка генерируется V _0,1,2 , произведением всех трех отражений.

[3,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	R 0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	В 0,1,2
Имя
Заказ	2	2	2	3		2	4
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,1, −1) п	(1, −1,0) п	(0,1,1) п	(1,1,1) ось	(1,1, −1) ось	(1,0,0) ось

Октаэдрическая симметрия [ править ]

Линии отражения для [4,3] =

Другая неприводимая трехмерная конечная отражающая группа - это октаэдрическая симметрия , [4,3], порядок 48,. Матрицы генераторов отражения - это R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ × R ₁ ) ⁴ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Идентичность. Хиральная октаэдрическая симметрия, [4,3] ⁺ , () создается двумя из трех поворотов: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Пиритоэдрическая симметрия [4,3 ⁺ ], () порождается отражением R ₀ и вращением S _1,2 . 6-кратный rotoreflection порождается V _0,1,2 , произведение всех 3 -х отражений.

[4,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	R 0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	4	3	2	6
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,0,1) п	(0,1, −1) п	(1, −1,0) п	(1,0,0) ось	(1,1,1) ось	(1, -1,0) ось

Икосаэдрическая симметрия [ править ]

Линии отражения для [5,3] =

Конечная неприводимая 3-мерная конечная отражающая группа - это икосаэдрическая симметрия , [5,3], порядок 120,. Матрицы генераторов отражения - это R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ × R ₁ ) ⁵ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Идентичность. [5,3] ⁺ () создается двумя из трех поворотов: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . 10-кратное вращательное отражение создается V _0,1,2 , произведением всех трех отражений.

[5,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	R 0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	5	3	2	10
Матрица	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0) сущ.	(φ, 1, φ − 1) n	(0,1,0) п	(φ, 1,0) ось	(1,1,1) ось	(1,0,0) ось