Тетраэдрическая симметрия

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C _s , (*) [] =	Циклическая симметрия C _nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D _nh , (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия T _d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O _h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h , (* 532) [5,3] =

Правильный тетраэдр , пример твердого тела с полной тетраэдрической симметрией

У правильного тетраэдра 12 симметрий вращения (или сохраняющих ориентацию ) и порядок симметрии 24, включая преобразования, которые сочетают отражение и вращение.

Группа всех симметрий изоморфна группе S ₄ , симметрической группе перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A ₄ группы S ₄ .

Подробности [ править ]

Киральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ). Они являются одними из кристаллографических точечных групп в кубической кристаллической системе .

Оси вращения
C ₃	C ₃	C ₂
2	2	3

В стереографической проекции края четырехугольного шестигранника образуют на плоскости 6 окружностей (или центральных радиальных линий). Каждая из этих 6 окружностей представляет собой зеркальную линию с тетраэдрической симметрией. Пересечение этих кругов пересекается в точках вращения 2 и 3 порядка.

Ортогональный	Стереографические проекции
Ортогональный	4-кратный	3-кратный	2-кратный
Киральная тетраэдрическая симметрия, T, (332), [3,3] ⁺ = [1 ⁺ , 4,3 ⁺ ], знак равно

Пиритоэдрическая симметрия, T _h , (3 * 2), [4,3 ⁺ ],

Ахиральная тетраэдрическая симметрия, T _d , (* 332), [3,3] = [1 ⁺ 4,3], знак равно

Киральная тетраэдрическая симметрия [ править ]

Тетраэдрическая группа вращений T с фундаментальной областью ; для триакисного тетраэдра , см. ниже, последний является одним анфас

Тетраэдр может быть помещен в 12 различных положениях путем вращения в одиночку. Они проиллюстрированы выше в формате циклического графа вместе с поворотами ребер на 180 ° (синие стрелки) и вершин на 120 ° (красные стрелки), которые переставляют тетраэдр в этих положениях.

В тетракис-гексаэдре одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с такой же симметрией могут быть получены путем регулировки ориентации граней, например, сглаживания выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань или замены каждой грани несколькими гранями или изогнутой поверхности.

T , 332 , [3,3]⁺ или 23 , порядка 12 - хиральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Имеются три ортогональные оси 2-го порядка вращения, такие как хиральная двугранная симметрия D ₂ или 222, с дополнительно четырьмя осями 3-го порядка, центрированными между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна с А ₄ , то знакопеременной группы на 4элементов; на самом деле это группа четных перестановок четырех трехмерных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34), (13) (24), (14) (23).

В классах сопряженного Т являются:

личность
4 × поворот на 120 ° по часовой стрелке (вид из вершины): (234), (143), (412), (321)
4 × поворот на 120 ° против часовой стрелки (то же самое)
3 × поворот на 180 °

Повороты на 180 ° вместе с единицей образуют нормальную подгруппу типа Dih ₂ с фактор-группой типа Z ₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

A ₄ - это наименьшая группа, демонстрирующая, что утверждение, обратное теореме Лагранжа, в общем случае неверно: для конечной группы G и дивизора d числа | G |, то не обязательно существует подгруппы G с порядком D : группа G = А ₄ не имеет подгрупп порядка 6. Хотя это свойство для абстрактной группы в целом, как видно из изометрии группы хиральных тетраэдрическая симметрия: из-за хиральности подгруппа должна быть C ₆ или D ₃ , но ни то, ни другое не применимо.

Подгруппы киральной тетраэдрической симметрии [ править ]

Киральные тетраэдрические подгруппы симметрии

Schoe.	Coxeter		Сфера.	HM	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т	[3,3] ⁺	знак равно	332	23	2	А 4	12	1
D ₂	[2,2] ⁺	знак равно	222	222	3	Dih 2	4	3
C ₃	[3] ⁺		33	3	1	Z 3	3	4
C ₂	[2] ⁺		22	2	1	Z ₂	2	6
C ₁	[] ⁺		11	1	1	Z ₁	1	12

Ахиральная тетраэдрическая симметрия [ править ]

Полная тетраэдрическая группа T _d с фундаментальной областью

T _d , * 332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 - ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как (2,3,3) треугольная группа . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых проходит через две оси 3-го порядка. 2-кратные оси теперь являются осями S ₄ ( 4 ). T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметрической группе на 4 объектах. T _d - это объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. Смотрите такжеизометрии правильного тетраэдра .

В классах сопряженного Т _д являются:

личность
8 × поворот на 120 ° (C ₃ )
3 × поворот на 180 ° (C ₂ )
6 × отражение в плоскости через две оси вращения (C _s )
6 × вращательное отражение на 90 ° (S ₄ )

Подгруппы ахиральной тетраэдрической симметрии [ править ]

Ахиральные тетраэдрические подгруппы

Schoe.	Coxeter	Сфера.	HM	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т _д	[3,3]	* 332	4 3 мес.	3	S ₄	24	1
C _3v	[3]	* 33	3м	2	Dih ₃ = S ₃	6	4
C _2v	[2]	* 22	мм2	2	Dih ₂	4	6
C _s	[]	*	2 или м	1	Z ₂ = Dih ₁	2	12
D _2d	[ ²⁺ , 4]	2 * 2	4 2 мес.	2	Dih ₄	8	3
S ₄	[ ²⁺ , ⁴⁺ ]	2 ×	4	1	Z ₄	4	6
Т	[3,3] ⁺	332	23	2	А 4	12	2
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	2	Dih ₂	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	1	Z ₃ = A ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	1	Z ₂	2	12
C ₁	[] ⁺	11	1	1	Z ₁	1	24

Пиритоэдрическая симметрия [ править ]

Группа пиритоэдра T _h с фундаментальной областью

Швы волейбольного мяча имеют пиритоэдрическую симметрию.

T _h , 3 * 2 , [4,3 ⁺ ] или m 3 , 24-го порядка - пиритоэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями, проходящими через два ортогональных направления. Оси 3-го порядка теперь являются осями S 6 ( 3 ), и имеется центральная инверсионная симметрия. T _h изоморфен T × Z ₂ : каждый элемент T _h является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует также нормальная подгруппа D _2h ( кубоида ) типа Dih ₂ × Z₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Это прямое произведение нормальной подгруппы группы T (см. Выше) на C i . Фактор - группа такая жекаквыше: типа Z₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

Это симметрия куба, на каждой грани которого есть отрезок прямой, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и совмещены с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который очень похож на описанный куб, где каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии, 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку линии, разделяющему грань куба). ; т.е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа полной группы симметрии икосаэдра (как группа изометрии, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряженности T _h включают классы T, с двумя объединенными классами по 4, и каждый с инверсией:

личность
8 × поворот на 120 ° (C ₃ )
3 × поворот на 180 ° (C ₂ )
инверсия (S ₂ )
8 × вращательное отражение на 60 ° (S ₆ )
3 × отражение в плоскости (C _s )

Подгруппы пиритоэдрической симметрии [ править ]

Пиритоэдрические подгруппы

Schoe.	Coxeter	Сфера.	HM	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т _ч	[ ³⁺ , 4]	3 * 2	м 3	2	А ₄ × 2	24	1
Д _2ч	[2,2]	* 222	М-м-м	3	Dih ₂ × Dih ₁	8	3
C _2v	[2]	* 22	мм2	2	Dih ₂	4	6
C _s	[]	*	2 или м	1	Dih ₁	2	12
C _{2 ч}	[ ²⁺ , 2]	2 *	2 / м	2	Z ₂ × Dih ₁	4	6
S ₂	[2 ⁺ , 2 ⁺ ]	×	1	1	2 или Z ₂	2	12
Т	[3,3] ⁺	332	23	2	А ₄	12	2
D ₃	[2,3] ⁺	322	3	2	Dih ₃	6	4
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	3	Dih ₄	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	1	Z ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	1	Z ₂	2	12
C ₁	[] ⁺	11	1	1	Z ₁	1	24

Твердые тела с киральной тетраэдрической симметрией [ править ]

Икосаэдр, раскрашенный как плоскостный тетраэдр, имеет киральную симметрию.

Твердые тела с полной тетраэдрической симметрией [ править ]

Учебный класс	Имя	Лица	Края	Вершины
Платоново твердое тело	тетраэдр	4	6	4
Архимедово твердое тело	усеченный тетраэдр	8	18	12
Каталонский твердый	триакис тетраэдр	12	18	8
Почти мисс Джонсон солид	Усеченный триакис тетраэдр	16	42	28 год
Почти мисс Джонсон солид	Четвертый додекаэдр	28 год	54	28 год
Равномерный звездный многогранник	Тетрагемигексаэдр	7	12	6

См. Также [ править ]

Октаэдрическая симметрия
Икосаэдрическая симметрия
Бинарная тетраэдрическая группа
Учебные материалы, относящиеся к Симметричной группе S4 в Викиверситете

Ссылки [ править ]

Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Тетраэдрическая группа" . MathWorld .