Группа полиэдров

Группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [] =	Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] =
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] =

В геометрии , то многогранная группа является любой из групп симметрии этих многогранников .

Группы [ править ]

Есть три группы полиэдров:

• Тетраэдрическая группа порядка 12, вращательная группа симметрии правильного тетраэдра . Он изоморфен A ₄ .
  • В классах сопряженные из Т являются:
    • личность
    • 4 × поворот на 120 °, порядок 3, по часовой стрелке
    • 4 × поворот на 120 °, порядок 3, против часовой стрелки
    • 3 × поворот на 180 °, порядок 2
• Октаэдрической группа порядка 24, вращательная группа симметрии куба и правильного октаэдра . Он изоморфен S ₄ .
  • Классы сопряженности O :
    • личность
    • 6 × поворот на ± 90 ° вокруг вершин, порядок 4
    • 8-кратное вращение на ± 120 ° вокруг центров треугольников, порядок 3
    • 3 × поворот на 180 ° вокруг вершин, порядок 2
    • 6 × поворот на 180 ° вокруг середины краев, порядок 2
• Группа икосаэдра порядка 60, группа вращательной симметрии правильного додекаэдра и правильного икосаэдра . Он изоморфен A ₅ .
  • Классы сопряженности I :
    • личность
    • 12 × поворот на ± 72 °, порядок 5
    • 12 × поворот на ± 144 °, порядок 5
    • 20 × поворот на ± 120 °, порядок 3
    • 15 × поворот на 180 °, порядок 2

Эти симметрии удваиваются до 24, 48, 120 соответственно для групп полного отражения. Симметрии отражения имеют 6, 9 и 15 зеркал соответственно. Октаэдрическая симметрия [4,3] может рассматриваться как объединение 6 зеркал тетраэдрической симметрии [3,3] и 3 зеркал диэдрической симметрии Dih ₂ , [2,2]. Пиритоэдрическая симметрия - это еще одно удвоение тетраэдрической симметрии.

Классы сопряженности полной тетраэдрической симметрии T _d ≅ S ₄ :

• личность
• 8 × поворот на 120 °
• 3 × поворот на 180 °
• 6 × отражение в плоскости через две оси вращения
• 6 × вращательное отражение на 90 °

Классы сопряженности пиритоэдрической симметрии, T _h , включают классы T , с двумя объединенными классами по 4, каждый с инверсией:

• личность
• 8 × поворот на 120 °
• 3 × поворот на 180 °
• инверсия
• 8 × вращательное отражение на 60 °
• 3 × отражение в плоскости

Классы сопряженности полной группы октаэдра O _h ≅ S ₄ × C ₂ :

• инверсия
• 6 × вращательное отражение на 90 °
• 8 × вращательное отражение на 60 °
• 3-кратное отражение в плоскости, перпендикулярной оси 4-го порядка
• 6 × отражение в плоскости, перпендикулярной оси 2-го порядка

Классы сопряженности полной симметрии икосаэдра, I _h ≅ A ₅ × C ₂ , включают также каждый с инверсией:

• инверсия
• 12 × вращательное отражение на 108 °, порядок 10
• 12 × вращательное отражение на 36 °, порядка 10
• 20 × вращательное отражение на 60 °, порядок 6
• 15 × отражение, порядок 2

Киральные полиэдральные группы [ править ]

Киральные полиэдральные группы

Имя ( Сфера ).	Обозначение Кокстера	Заказ	Абстрактная структура	Точки вращения # валентность	Диаграммы
					Ортогональный	Стереографический
Т (332)	[3,3] +	12	А 4	4 3 3 2
Т ч (3 * 2)	[4,3 + ]	24	А 4 × 2	4 3 3 * 2
О (432)	[4,3] +	24	S 4	3 4 4 3 6 2
Я (532)	[5,3] +	60	А 5	6 5 10 3 15 2

Полные многогранные группы [ править ]

Полные полиэдральные группы

Вейл Шое. ( Сфера. )	Обозначение Кокстера	Заказ	Абстрактная структура	Число Кокстера (h)	Зеркала (м)	Зеркальные схемы
						Ортогональный	Стереографический
А 3 Т д (* 332)	[3,3]	24	S 4	4	6
B 3 O h (* 432)	[4,3]	48	S 4 × 2	8	3 6
H 3 I h (* 532)	[5,3]	120	А 5 × 2	10	15

См. Также [ править ]

• Символ Wythoff
• Список групп сферической симметрии

Ссылки [ править ]

• Кокстер, Регулярные многогранники HSM , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, 1973. ( Группы полиэдров . §3.5, стр. 46–47)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Полиэдральная группа» . MathWorld .