В Шенфлиса (или Шенфлис ) обозначения , названный в честь немецкого математика Артура Морица Шёнфлиса , это обозначение в основном используется для определения групп точек в трех измерениях . Поскольку одной точечной группы вполне достаточно для описания симметрии молекулы , обозначений часто бывает достаточно, и они обычно используются для спектроскопии . Однако в кристаллографии существует дополнительная трансляционная симметрия , и точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому полная пространственная группавместо этого обычно используется. Именование полных пространственных групп обычно следует другому общепринятому соглашению, обозначению Германа – Могена , также известному как международное обозначение.
Хотя обозначение Schoenflies без верхних индексов является чисто обозначением группы точек, при желании могут быть добавлены верхние индексы для дальнейшего указания отдельных пространственных групп. Однако для пространственных групп связь с лежащими в основе элементами симметрии гораздо более ясна в обозначениях Германа – Могена, поэтому для пространственных групп обычно предпочтительнее последнее обозначение.
Элементы симметрии [ править ]
Элементы симметрии обозначены i для центров инверсии, C для осей собственного вращения, σ для зеркальных плоскостей и S для неправильных осей вращения (оси вращения-отражения ). C и S обычно сопровождаются индексом (абстрактно обозначается n ), обозначающим возможный порядок вращения.
По соглашению ось собственного вращения наибольшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются по отношению к нему. Вертикальная зеркальная плоскость (содержащая главную ось) обозначается σ v ; горизонтальная зеркальная плоскость (перпендикулярная главной оси) обозначается σ h .
Группы точек [ править ]
В трех измерениях существует бесконечное количество точечных групп, но все они могут быть классифицированы по нескольким семействам.
- C n (для циклического ) имеет n- кратную ось вращения.
- C nh представляет собой C n с добавлением плоскости зеркала (отражения), перпендикулярной оси вращения ( горизонтальной плоскости ).
- C nv является C n с добавлением n зеркальных плоскостей, содержащих ось вращения ( вертикальные плоскости ).
- C s обозначает группу только с зеркальной плоскостью (для Spiegel , по-немецки «зеркало») и без других элементов симметрии.
- S 2n (от Spiegel , по-немецки « зеркало» ) содержит только ось вращения-отражения 2 n кратного порядка . Индекс должен быть четным, потому что, когда n является нечетным, ось вращения-отражения n-го порядка эквивалентна комбинации оси вращения n-го порядка и перпендикулярной плоскости, следовательно, S n = C nh для нечетного n .
- C ni имеет только ось вращения . Эти символы являются избыточными, поскольку любую ось вращения можно выразить как ось вращения-отражения, следовательно, для нечетных n C ni = S 2n и C 2ni = S n = C nh , а для четных n C 2ni = S 2n . Обычно используется только C i (то есть C 1i ), но в некоторых текстах можно встретить такие символы, как C 3i , C 5i .
- D n (для двугранного или двустороннего) имеет n- кратную ось вращения плюс n двумерных осей, перпендикулярных этой оси.
- Кроме того, D nh имеет горизонтальную зеркальную плоскость и, как следствие, также n вертикальных зеркальных плоскостей, каждая из которых содержит ось n-го порядка и одну из осей второго порядка.
- D nd имеет, помимо элементов D n , n вертикальных зеркальных плоскостей, которые проходят между двумя осями ( диагональными плоскостями ).
- T (хиральная тетраэдрическая группа) имеет оси вращения тетраэдра (три оси второго порядка и четыре оси третьего порядка).
- T d включает в себя диагональные зеркальные плоскости (каждая диагональная плоскость содержит только одну ось второго порядка и проходит между двумя другими осями второго порядка, как в D 2d ). Это добавление диагональных плоскостей приводит к трем неправильным операциям вращения S 4 .
- T h включает три горизонтальные зеркальные плоскости. Каждая плоскость содержит две оси второго порядка и перпендикулярна третьей оси второго порядка, что приводит к центру инверсии i .
- O (хиральная октаэдрическая группа) имеет оси вращения октаэдра или куба (три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка и шесть диагональных осей 2-го порядка).
- O h включает горизонтальные зеркальные плоскости и, как следствие, вертикальные зеркальные плоскости. Он также содержит центр инверсии и неправильные операции вращения.
- I (хиральная группа икосаэдра ) указывает, что группа имеет оси вращения икосаэдра или додекаэдра (шесть 5-кратных осей, 10 3-кратных осей и 15 2-кратных осей).
- I h включает горизонтальные зеркальные плоскости, а также содержит центр инверсии и неправильные операции вращения.
Все группы, которые не содержат несколько осей более высокого порядка (порядка 3 и более), могут быть расположены в таблице, как показано ниже; символы, отмеченные красным, использовать нельзя.
| п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C n | C 1 | C 2 | C 3 | C 4 | С 5 | С 6 | С 7 | С 8 | C ∞ | |
| C nv | C 1v = C 1h | C 2v | C 3v | C 4v | C 5v | C 6v | C 7v | C 8v | C ∞v | |
| C nh | C 1h = C s | C 2 ч | C 3ч | C 4ч | C 5ч | C 6h | C 7ч | C 8h | C ∞h | |
| S n | S 1 = C s | S 2 = C i | S 3 = C 3h | S 4 | S 5 = C 5h | S 6 | S 7 = C 7h | С 8 | S ∞ = C ∞h | |
| C ni (резервный) | C 1i = C i | C 2i = C s | C 3i = S 6 | C 4i = S 4 | C 5i = S 10 | C 6i = C 3h | C 7i = S 14 | C 8i = S 8 | C ∞i = C ∞h | |
| D n | D 1 = C 2 | D 2 | D 3 | D 4 | D 5 | D 6 | Д 7 | D 8 | D ∞ | |
| D nh | D 1h = C 2v | Д 2ч | Д 3ч | Д 4ч | Д 5ч | Д 6ч | Д 7ч | Д 8ч | D ∞h | |
| D nd | D 1d = C 2h | D 2d | D 3d | D 4d | D 5d | D 6d | Д 7д | Д 8д | D ∞d = D ∞h |
В кристаллографии, в связи с теоремой кристаллографической рестрикции , п ограничивается значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны с серым цветом фона. D 4 d и D 6 d также запрещены, потому что они содержат неправильные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , T d , T h , O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы .
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри . Есть еще две предельные группы, не перечисленные в таблице: K (по Кугелю , по-немецки мяч, сфера), группа всех вращений в трехмерном пространстве; и K h - группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве с символами SO (3) и O (3).
Космические группы [ править ]
В пространственных группах с данной точкой группы пронумерованы 1, 2, 3, ... (в том же порядке , как их международный номер) , и это число добавляется в качестве верхнего индекса к символу Шенфлиса для соответствующей точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C 2, имеют символы Шенфлиса C1
2, С2
2, С3
2.
В то время как в случае точечных групп символ Шенфлиса однозначно определяет элементы симметрии группы, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не содержит никакой информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрирование решетки, трансляционные компоненты осей и плоскостей), следовательно, требуется обращаться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между обозначениями Шёнфлиса и Германа – Могена . Такая таблица приведена на странице Список пространственных групп .
См. Также [ править ]
- Кристаллографическая точечная группа
- Группы точек в трех измерениях
- Список групп сферической симметрии
Ссылки [ править ]
- Флурри Р.Л., Группы симметрии: теория и химические приложения . Прентис-Холл, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
- Коттон, Ф.А., Химические приложения теории групп , John Wiley & Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
- Харрис Д., Бертолуччи М. Симметрия и спектроскопия . Нью-Йорк, Dover Publications, 1989.
Внешние ссылки [ править ]
- Симметрия @ Otterbein
