Тетраэдрическая симметрия

Группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [] =	Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] =
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] =

Правильный тетраэдр , пример твердого тела с полной тетраэдрической симметрией

У правильного тетраэдра 12 симметрий вращения (или сохраняющих ориентацию ) и порядок симметрии 24, включая преобразования, которые сочетают отражение и вращение.

Группа всех симметрий изоморфна группе S ₄ , симметрической группе перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A ₄ группы S ₄ .

Подробности [ править ]

Киральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ). Они являются одними из кристаллографических точечных групп в кубической кристаллической системе .

Оси вращения

C 3	C 3	C 2
2	2	3

В стереографической проекции края четырехугольного шестигранника образуют на плоскости 6 окружностей (или центральных радиальных линий). Каждая из этих 6 окружностей представляет собой зеркальную линию с тетраэдрической симметрией. Пересечение этих кругов пересекается в точках вращения 2 и 3 порядка.

Ортогональный	Стереографические проекции
	4-кратный	3-кратный	2-кратный
Киральная тетраэдрическая симметрия, T, (332), [3,3] + = [1 + , 4,3 + ], знак равно
Пиритоэдрическая симметрия, T h , (3 * 2), [4,3 + ],
Ахиральная тетраэдрическая симметрия, T d , (* 332), [3,3] = [1 + 4,3], знак равно

Киральная тетраэдрическая симметрия [ править ]

T , 332 , [3,3] ⁺ или 23 , порядка 12 - хиральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Имеются три ортогональных 2-кратных оси вращения, такие как хиральная двугранная симметрия D ₂ или 222, с дополнительно четырьмя 3-кратными осями, центрированными между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна с А ₄ , то знакопеременной группы на 4элементов; на самом деле это группа четных перестановок четырех трехмерных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34), (13) (24), (14) (23).

В классах сопряженного Т являются:

• личность
• 4 × поворот на 120 ° по часовой стрелке (вид из вершины): (234), (143), (412), (321)
• 4 × поворот на 120 ° против часовой стрелки (то же самое)
• 3 × поворот на 180 °

Повороты на 180 ° вместе с единицей образуют нормальную подгруппу типа Dih ₂ с факторгруппой типа Z ₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

A ₄ - это наименьшая группа, демонстрирующая, что утверждение, обратное теореме Лагранжа, в общем случае неверно: для конечной группы G и дивизора d числа | G |, то не обязательно существует подгруппы G с порядком D : группа G = А ₄ не имеет подгрупп порядка 6. Хотя это свойство для абстрактной группы в целом, как видно из изометрии группы хиральных тетраэдрическая симметрия: из-за хиральности подгруппа должна быть C ₆ или D ₃ , но ни то, ни другое не применимо.

Подгруппы киральной тетраэдрической симметрии [ править ]

Schoe.	Coxeter		Сфера.	HM	Генераторы	Состав	Цикл	Приказ	Показатель
Т	[3,3] +	знак равно	332	23	2	А 4		12	1
D 2	[2,2] +	знак равно	222	222	3	Dih 2		4	3
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
C 1	[] +		11	1	1	Z 1		1	12

Ахиральная тетраэдрическая симметрия [ править ]

T _d , * 332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 - ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как (2,3,3) треугольная группа . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых проходит через две оси 3-го порядка. 2-кратные оси теперь являются осями S ₄ ( 4 ). T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметрической группе на 4 объектах. T _d - это объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. Смотрите такжеизометрии правильного тетраэдра .

В классах сопряженного Т _д являются:

• личность
• 8 × поворот на 120 ° (C ₃ )
• 3 × поворот на 180 ° (C ₂ )
• 6 × отражение в плоскости через две оси вращения (C _s )
• 6 × вращательное отражение на 90 ° (S ₄ )

Подгруппы ахиральной тетраэдрической симметрии [ править ]

Schoe.	Coxeter		Сфера.	HM	Генераторы	Состав	Цикл	Приказ	Показатель
Т д	[3,3]		* 332	4 3 мес.	3	S 4		24	1
C 3v	[3]		* 33	3м	2	Dih 3 = S 3		6	4
C 2v	[2]		* 22	мм2	2	Dih 2		4	6
C s	[]		*	2 или м	1	Z 2 = Dih 1		2	12
D 2d	[ 2+ , 4]		2 * 2	4 2 мес.	2	Dih 4		8	3
S 4	[ 2+ , 4+ ]		2 ×	4	1	Z 4		4	6
Т	[3,3] +		332	23	2	А 4		12	2
D 2	[2,2] +		222	222	2	Dih 2		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3 = A 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[] +		11	1	1	Z 1		1	24

Пиритоэдрическая симметрия [ править ]

T _h , 3 * 2 , [4,3 ⁺ ] или m 3 , 24-го порядка - пиритоэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями, проходящими через два ортогональных направления. Оси 3-го порядка теперь являются осями S 6 ( 3 ), и имеется центральная инверсионная симметрия. T _h изоморфен T × Z ₂ : каждый элемент T _h является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует также нормальная подгруппа D _2h ( кубоида ) типа Dih ₂ × Z₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Это прямое произведение нормальной подгруппы группы T (см. Выше) на C i . Фактор - группа такая жекаквыше: типа Z ₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

Это симметрия куба, у которого на каждой грани есть отрезок прямой, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и совмещены с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который очень похож на описанный куб, где каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии, 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку линии, разделяющему грань куба). ; т.е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа полной группы симметрии икосаэдра (как группа изометрии, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряженности T _h включают классы T, с двумя объединенными классами по 4, и каждый с инверсией:

• личность
• 8 × поворот на 120 ° (C ₃ )
• 3 × поворот на 180 ° (C ₂ )
• инверсия (S ₂ )
• 8 × вращательное отражение на 60 ° (S ₆ )
• 3 × отражение в плоскости (C _s )

Подгруппы пиритоэдрической симметрии [ править ]

Schoe.	Coxeter		Сфера.	HM	Генераторы	Состав	Цикл	Приказ	Показатель
Т ч	[ 3+ , 4]		3 * 2	м 3	2	А 4 × 2		24	1
Д 2ч	[2,2]		* 222	М-м-м	3	Dih 2 × Dih 1		8	3
C 2v	[2]		* 22	мм2	2	Dih 2		4	6
C s	[]		*	2 или м	1	Dih 1		2	12
C 2 ч	[ 2+ , 2]		2 *	2 / м	2	Z 2 × Dih 1		4	6
S 2	[2 + , 2 + ]		×	1	1	2 или Z 2		2	12
Т	[3,3] +		332	23	2	А 4		12	2
D 3	[2,3] +		322	3	2	Dih 3		6	4
D 2	[2,2] +		222	222	3	Dih 4		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
C 1	[] +		11	1	1	Z 1		1	24

Твердые тела с киральной тетраэдрической симметрией [ править ]

Икосаэдр, раскрашенный как плоскостный тетраэдр, имеет киральную симметрию.

Твердые тела с полной тетраэдрической симметрией [ править ]

См. Также [ править ]

• Октаэдрическая симметрия
• Икосаэдрическая симметрия
• Бинарная тетраэдрическая группа
• Учебные материалы, относящиеся к Симметричной группе S4 в Викиверситете

Ссылки [ править ]

• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Тетраэдрическая группа" . MathWorld .