Группа Коксетера

В математике , группа Коксетера , названная в честь Коксетера , является абстрактной группой , которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскоп зеркал ). В самом деле, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы отражений ; что группы симметрии из правильных многогранников являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Были введены группы Кокстера ( Coxeter 1934) как абстракции групп отражений, а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 г. ( Coxeter 1935 ).

Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группу симметрии регулярных многогранников , и группу Вейля из простых алгебр Ли . Примеры бесконечных групп Кокстера включают группы треугольников , соответствующие регулярные мозаики в евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского и группу Вейля бесконечномерных алгебр Каца-Муди .

Стандартные ссылки включают ( Humphreys 1992 ) и ( Davis 2007 ).

Определение [ править ]

Формально группу Кокстера можно определить как группу с представлением

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

где и для . Условие означает, что не должно быть наложено никакого отношения формы .${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle m_{ij}=\infty }$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$

Пара, где - группа Кокстера с образующими , называется системой Кокстера . Следует отметить , что в целом это не определяется однозначно . Например, группы Кокстера типа и изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (см. Ниже объяснение этого обозначения).${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

• Отношение означает, что для всех  ; как таковые генераторы являются инволюциями .${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$${\displaystyle i}$
• Если , то генераторы и коммутируют. Это следует из того, что${\displaystyle m_{ij}=2}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle xyxy=1}$

подразумевает, что

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями, то , значит , равно коммутатору .${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$

• Во избежание дублирования отношений необходимо это предположить . Это следует из того, что${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$

${\displaystyle yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

подразумевает, что

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Альтернативно, и являются сопряженными элементами , как .${\displaystyle (xy)^{k}}$${\displaystyle (yx)^{k}}$${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

Матрица Кокстера и матрица Шлефли [ править ]

Матрица Кокстера является , симметричная матрица с элементами . Действительно, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в наборе, является матрицей Кокстера.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

Матрицу Кокстера можно удобно закодировать диаграммой Кокстера в соответствии со следующими правилами.

• Вершины графа помечены индексами генератора.
• Вершины и смежны тогда и только тогда, когда .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• Ребро маркируется значением, если значение больше или больше.${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle 4}$

В частности, два образующих коммутируют тогда и только тогда, когда они не соединены ребром. Кроме того, если граф Кокстера имеет два или более связных компонента , связанная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, несвязное объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.

Матрица Кокстера связана с матрицей Шлефли с элементами , но элементы изменяются, будучи пропорциональными скалярному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, по крайней мере, один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например, на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

Примеры

Группа Коксетера	А 1 × А 1	А 2	В 2	H 2	G 2	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	А 3	В 3	D 4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
Диаграмма Кокстера
Матрица Кокстера	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
Матрица Шлефли	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

Пример [ править ]

Граф, в котором вершины с 1 по n размещены в ряд, каждая вершина соединена непомеченным ребром со своими ближайшими соседями, порождает симметрическую группу S _{n +1} ; что генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3), ..., ( п п +1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а ( k k +1) ( k +1 k +2) дает 3-цикл ( k k +2 k +1). Конечно, это показывает только то, что S _{n + 1} является${\displaystyle A_{n}}$ фактор-группа группы Кокстера описывается графом, но проверить равенство несложно.

Связь с группами отражения [ править ]

Группы Кокстера глубоко связаны с группами отражений . Проще говоря, группы Кокстера - это абстрактные группы (заданные через представление), а группы отражений - это конкретные группы (заданные как подгруппы линейных групп или различных обобщений). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядка 2, абстрагируясь от отражений), и отношения которых имеют определенную форму ( , соответствующую гиперплоскостям, пересекающимся под углом , имеющим порядок${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$${\displaystyle \pi /k}$${\displaystyle r_{i}r_{j}}$k абстрагируясь от вращения на ).${\displaystyle 2\pi /k}$

Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, в то время как, наоборот, группа отражений может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. Для конечных групп отражений это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.

Исторически ( Coxeter 1934 ) доказал, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т. Е. Имеет представление, в котором все отношения имеют форму или ), и действительно, эта статья ввела понятие группы Кокстера, в то время как ( Coxeter 1935 ) доказал, что каждая конечная группа Кокстера имела представление как группу отражений и классифицировала конечные группы Кокстера.${\displaystyle r_{i}^{2}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$

Конечные группы Кокстера [ править ]

Классификация [ править ]

Конечные группы Кокстера были классифицированы в ( Coxeter 1935 ) в терминах диаграмм Кокстера – Дынкина ; все они представлены группами отражений конечномерных евклидовых пространств.

Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств однопараметрического семейства возрастающего ранга один размерности два и шести исключительных групп: и . Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.${\displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}$${\displaystyle I_{2}(p),}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$${\displaystyle H_{4}}$

Группы Вейля [ править ]

Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля - это семейства и исключения, и обозначаются в обозначениях группы Вейля как Не-Вейлевские группы - исключения и семейство, за исключением случаев, когда это совпадает с одной из групп Вейля (а именно и ).${\displaystyle A_{n},B_{n},}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$${\displaystyle I_{2}(6),}$${\displaystyle G_{2}.}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально граф Кокстера может быть получен из диаграммы Дынкина , отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро на ребро с меткой 4 и каждое тройное ребро с ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматической группой . ^[1] Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что разрешены только метки ребер 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует кристаллографической теореме ограничения, и тот факт, что исключенные многогранники не заполняют пространство и не мозаичны на плоскости - потому что додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; для 120-ячеек (дважды 600-ячеек) не заполняет пространство; для в р - угольника не плитка плоскости , за исключением или (треугольными, квадратными и шестиугольными разбиений, соответственно).${\displaystyle H_{3},}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle p=3,4,}$${\displaystyle 6}$

Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B _n и C _n порождают одну и ту же группу Вейля (следовательно, группу Кокстера), потому что они различаются как ориентированные графы, но согласуются как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для системы Вейля. группа; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-многогранник являются разными правильными многогранниками, но имеют одну и ту же группу симметрии.

Свойства [ править ]

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.

Ранг n	Символ группы	Альтернативный символ	Обозначение скобок	Граф Кокстера	Размышления м = 1 / 2 NH [2]	Число Кокстера h	Заказ	Структура группы [3]	Связанные многогранники
1	А 1	А 1	[]		1	2	2	${\displaystyle S_{2}}$	{}
2	А 2	А 2	[3]		3	3	6	${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}$	{3}
3	А 3	А 3	[3,3]		6	4	24	${\displaystyle S_{4}}$	{3,3}
4	А 4	А 4	[3,3,3]		10	5	120	${\displaystyle S_{5}}$	{3,3,3}
5	А 5	А 5	[3,3,3,3]		15	6	720	${\displaystyle S_{6}}$	{3,3,3,3}
п	А п	А п	[3 n −1 ]	...	п ( п + 1) / 2	п + 1	( п + 1)!	${\displaystyle S_{n+1}}$	n -симплекс
2	В 2	C 2	[4]		4	4	8	${\displaystyle C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)}$	{4}
3	В 3	C 3	[4,3]		9	6	48	${\displaystyle C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	В 4	C 4	[4,3,3]		16	8	384	${\displaystyle C_{2}\wr S_{4}}$	- {4,3,3} / {3,3,4}
5	В 5	С 5	[4,3,3,3]		25	10	3840	${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
п	B n	C n	[4,3 п −2 ]	...	п 2	2 п	2 н н !	${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$	n -куб / n -ортоплекс
4	D 4	В 4	[3 1,1,1 ]		12	6	192	${\displaystyle C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}}$	ч {4,3,3} / {3,3 1,1 }
5	D 5	В 5	[3 2,1,1 ]		20	8	1920 г.	${\displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}$	ч {4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
п	D n	B n	[3 n −3,1,1 ]	...	п ( п - 1)	2 ( п - 1)	2 п - 1 п !	${\displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}$	n -демикуб / n -ортоплекс
6	E 6	E 6	[3 2,2,1 ]		36	12	51840 (72x6!)	${\displaystyle \operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2}$	2 21 , 1 22
7	E 7	E 7	[3 3,2,1 ]		63	18	2903040 (72х8!)	${\displaystyle \operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2}$	3 21 , 2 31 , 1 32
8	E 8	E 8	[3 4,2,1 ]		120	30	696729600 (192x10!)	${\displaystyle 2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}$	4 21 , 2 41 , 1 42
4	П 4	П 4	[3,4,3]		24	12	1152	${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})}$	{3,4,3}
2	G 2	- ( D6 2)	[6]		6	6	12	${\displaystyle D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}$	{6}
2	H 2	G 2	[5]		5	5	10	${\displaystyle D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)}$	{5}
3	H 3	G 3	[3,5]		15	10	120	${\displaystyle 2\times A_{5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H 4	G 4	[3,3,5]		60	30	14400	${\displaystyle 2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2}$[а]	{5,3,3} / {3,3,5}
2	Я 2 ( п )	Dп 2	[ n ]		п	п	2 п	${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}$когда n = p k + 1, p простое, когда n = p k - 1, p простое${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}$	{ p }

Группы симметрий правильных многогранников [ править ]

Все группы симметрии из регулярных многогранников являются конечными группами Кокстера. Обратите внимание, что двойственные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.

Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного п - симплекс является симметрической группой S _{п + 1} , также известный как группа Коксетера типа А _н . Группа симметрии п - куб , а его сопряженный, то п - кроссполитоп , это Б _п , и известна как гипероктаэдральная группа .

Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра , которые являются группами симметрии правильных многоугольников , образуют ряд I ₂ ( p ). В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и двойственного ему, правильного икосаэдра , - это H ₃ , известная как полная группа икосаэдра . В четырех измерениях есть три специальных правильных многогранника: 24-элементный , 120-элементный и 600-элементный . Первый имеет группу симметрии F₄ , а два других двойственны и имеют группу симметрии H ₄ .

Группы Кокстера типа D _n , E ₆ , E ₇ и E ₈ являются группами симметрий некоторых полуправильных многогранников .

Таблица семейств неприводимых многогранников
Семья n	n- симплекс	n- гиперкуб	n- ортоплекс	n- demicube	1 к2	2 к1	к 21	пятиугольный многогранник
Группа	А п	B n		I 2 (p) D n	E 6 E 7 E 8 П 4 G 2			H n
2	Треугольник	Квадрат		p-угольник (пример: p = 7 )	Шестиугольник			Пентагон
3	Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Тетраэдр				Додекаэдр	Икосаэдр
4	5-элементный	Тессеракт	16 ячеек	Demitesseract	24-элементный			120 ячеек	600 ячеек
5	5-симплекс	5-куб	5-ортоплекс	5-полукуб
6	6-симплекс	6-куб	6-ортоплекс	6-полукуб	1 22	2 21
7	7-симплекс	7-куб	7-ортоплекс	7-полукруглый	1 32	2 31	3 21
8	8-симплекс	8-куб	8-ортоплекс	8-полукруглый	1 42	2 41	4 21
9	9-симплекс	9-куб	9-ортоплекс	9-полукруглый
10	10-симплекс	10-куб	10-ортоплекс	10-полукуб

Аффинные группы Кокстера [ править ]

Диаграмма Штифеля для корневой системы${\displaystyle G_{2}}$

В аффинных группах Кокстеровских образуют вторую важную серию кокстеровских групп. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу такую, что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n  ≥ 2 граф, состоящий из n + 1 вершин в окружности, получается из A _n таким образом, а соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля для A _n . Заn  = 2, это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.

В общем, для данной корневой системы можно построить связанную диаграмму Штифеля , состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми сдвигами этих гиперплоскостей. Тогда аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) - это группа, порожденная (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. ^[4] Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечно много связных компонентов, называемых альковами , и аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же, как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы.${\displaystyle G_{2}}$

Предположим, что это неприводимая корневая система ранга и пусть будет набор простых корней. Пусть также обозначает наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями относительно гиперплоскостей, перпендикулярных к , вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля представляет собой диаграмму Кокстера – Дынкина для вместе с одним дополнительным узлом, связанным с . В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв основную камеру Вейля и разрезав ее смещением гиперплоскости, перпендикулярной к . ^[5]${\displaystyle R}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

Список аффинных групп Кокстера следующий:

Символ группы	Символ Витта	Обозначение скобок	Граф Кокстера	Связанные однородные мозаики
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3 [ n ] ]	... или же ...	Простые соты
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3 n - 3 , 3 1,1 ]	...	Полугиперкубические соты
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3 n −2 , 4]	...	Гиперкубические соты
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[3 1,1 , 3 n −4 , 3 1,1 ]	...	Полугиперкубические соты
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[3 2,2,2 ]	или же	2 22
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[3 3,3,1 ]	или же	3 31 , 1 33
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21 , 2 51 , 1 52
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		16-элементный сотовый 24-элементный сотовый
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		Шестиугольная черепица и Треугольная черепица
${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		Апейрогон

Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.

Гиперболические группы Кокстера [ править ]

Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве , в частности, включая гиперболические треугольные группы.

Частичные заказы [ править ]

Выбор генераторов отражения дает функцию длины ℓ на группе Кокстера, а именно минимальное количество использований генераторов, необходимых для выражения элемента группы; это в точности длина метрики слова в графе Кэли . Выражение для v с использованием генераторов ℓ ( v ) является сокращенным словом . Например, перестановка (13) в S ₃ имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция определяет карту, обобщающую карту знаков для симметричной группы.${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка на группе Кокстера, (правый) слабый порядок , абсолютный порядок и порядок Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) отбрасываются. В слабом порядке v  ≥  u, если некоторое сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для uкак начальный сегмент. Действительно, длина слова превращает это в градуированный набор . На диаграммах Хассы , соответствующие эти заказы , являются объектами исследования, а также связаны с графом Кэли определяются генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.

Например, перестановка (1 2 3) в S ₃ имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в порядке Брюа, но покрывает только (12) в слабом порядке.

Гомология [ править ]

Поскольку группа Кокстера порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой , т. Е. Изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы . Это может быть пересчитано с точки зрения первой группы гомологии с .${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle W}$

Мультипликатор Шуру , равно вторая группа гомологии , был вычислен в ( Ихаре & Yokonuma 1965 ) для конечных групп отражений и в ( Yokonuma +1965 ) для аффинных групп отражений, с более унифицированной учетной записью , приведенной в ( Хоулетте 1988 ). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется при стремлении к бесконечности.${\displaystyle M(W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{W_{n}\}}$${\displaystyle M(W_{n})}$${\displaystyle n}$

См. Также [ править ]

• Группа Артина – Титса
• Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда.
• Комплексная группа отражений
• Элемент Кокстера
• Алгебра Ивахори – Гекке , квантовая деформация групповой алгебры
• Полином Каждана – Люстига
• Самый длинный элемент группы Кокстера
• Сверхрешаемая договоренность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для выпускников по математике , 231 , Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl  1110,05001
• Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 , Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl  0983,17001
• Косетер, ИМП (1934), "Дискретные группы , порожденные отражениями", Анналы математики , 35 (3): 588-621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , DOI : 10,2307 / 1968753 , JSTOR  1968753
• Coxeter, HSM (1935), "Полное перечисление конечных групп формы ", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21-25, DOI : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl  1142,20020
• Grove, Ларри С.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений , выпускные тексты по математике, 99 , Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования в области высшей математики, 29 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl  0725,20028
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов , Книги CMS по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl  0986,20038
• Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера , Research Notes in Mathematics, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl  0483,57002
• Ихара, S .; Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений" (PDF) , Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 155–171, Zbl  0136.28802 , архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2013 г.
• Хоулетт, Роберт Б. (1988), "О множителях Шура групп Кокстера", J. London Math. Soc. , 2, 38 (2): 263-276, DOI : 10,1112 / jlms / s2-38.2.263 , Zbl  +0627,20019

• Винберг, Эрнест Б. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Тр. Моск. Мат. Общ. , 47
• Йоконума, Такео (1965), "О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений", Jour. Фак. Sci. Univ. Токио, секция. 1 , 11 : 173-186, ЛВП : 2261/6049 , Zbl  +0136,28803

Внешние ссылки [ править ]

• "Группа Кокстера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа Кокстера» . MathWorld .
• Программа Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера с использованием до четырех генераторов