В математике , алгебра Каца-Муди (названный в честь Виктора Каца и Роберта Муди , который независимо открывшего их) является алгеброй Ли , как правило , бесконечномерным, которые могут быть определены образующими и соотношениями через обобщенной матрицы Картана . Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли , и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система , неприводимые представления и связь с многообразиями флагов, имеют естественные аналоги в системе Каца – Муди.
Класс алгебр Каца – Муди, называемый аффинными алгебрами Ли, имеет особое значение в математике и теоретической физике , особенно в двумерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди. Говард Гарланд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что идентичность Роджерса – Рамануджана может быть получена аналогичным образом. [1]
История алгебр Каца – Муди.
Первоначальная конструкция Эли Картана и Вильгельма Киллинга конечномерных простых алгебр Ли на основе целых чисел Картана зависела от типа. В 1966 годе Жан-Пьер Серр показал , что отношения Шевалла и Хариш-Чандры , [2] с упрощениями по Джекобсон , [3] дают определяющее представление для алгебры Ли . [4] Таким образом, можно было бы описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и отношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая естественно положительно определена .
«Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца – Муди. Кац и Муди заметили, что даже если условия Вильгельма Киллинга были ослаблены, все еще можно было связать матрицу Картана алгебра Ли, которая обязательно была бы бесконечномерной ". - Эй Джей Коулман [5]
В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. [6] [7] Это все еще привело к появлению алгебры Ли, но уже бесконечномерной. Одновременно, Z - градуированные алгебры Ли были изучены в Москве , где IL Кантор введен и изучен общий класс алгебр Ли , включая то , что в конечном итоге стало известно как Кац-Муди . [8] Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Возникла богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание предмета, которое также включает работы многих других, дано в (Kac 1990). [9] См. Также (Селигман, 1987). [10]
Определение
Алгебру Каца – Муди можно определить, предварительно задав следующее:
- П × п обобщенная матрица Картана С = ( с IJ ) из ранга г .
- Векторное пространство над комплексными числами размерности 2 n - r .
- Набор из n линейно независимых элементов из и набор из n линейно независимых элементовиз сопряженного пространства , так что . Вявляются аналогами простых корней полупростой алгебры Ли, а к простым корням.
Алгебра Каца – Муди тогда является алгеброй Ли определяется генераторами а также и элементы и отношения
- для ;
- , для ;
- , для ;
- , где - дельта Кронекера;
- Если (так ) тогда а также , где это присоединенное представление о.
Реальной (возможно , бесконечномерным) алгебра Ли также рассматривается алгебра Каца-Муди , если ее усложнение является алгеброй Каца-Муди.
Разложение в корневом пространстве алгебры Каца – Муди
является аналогом подалгебры Картана для алгебры Каца – Муди.
Если является элементом такой, что
для некоторых , тогда называется корневым вектором иявляется корнем из. (Нулевой функционал не считается корнем по соглашению.) Множество всех корней часто обозначается как а иногда . Для данного корня, обозначается через корневое пространство из; это,
- .
Из определяющих соотношений что а также . Кроме того, если а также , тогда по тождеству Якоби .
Фундаментальный результат теории является то , что любая алгебра Каца-Муди можно разложить в прямую сумму из и его корневые пространства, то есть
- ,
и что каждый корень можно записать как со всеми быть целыми числами одного знака .
Типы алгебр Каца – Муди.
Свойства алгебры Каца-Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицей Картана С . Для классификации алгебр Каца – Муди достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C , т. Е. Предположить, что не существует разложения множества индексов I в несвязное объединение непустых подмножеств I 1 и I 2 такой, что C ij = 0 для всех i в I 1 и j в I 2 . Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца – Муди:
где две алгебры Каца – Муди в правой части связаны с подматрицами C, соответствующими индексным множествам I 1 и I 2 .
Важный подкласс алгебр Каца – Муди соответствует симметризуемым обобщенным матрицам Картана C , которые можно разложить как DS , где D - диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S - симметричная матрица . В предположении симметризуемости и неразложимости C алгебры Каца – Муди делятся на три класса:
- Положительно определенная матрица S приводит к конечномерной простой алгебре Ли .
- Неотрицательно матрица S приводит к бесконечномерным Каца-Муди алгебры аффинного типа , или аффинной алгебры Ли .
- Неопределенная матрица S приводит к алгебре Каца-Муди из неопределенного типа .
- Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определенным или отрицательно полуопределенным.
Полностью классифицированы симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечного и аффинного типов. Они соответствуют диаграммам Дынкина и аффинным диаграммам Дынкина . Об алгебрах Каца – Муди неопределенного типа известно немного, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца – Муди, были построены Жаком Титсом над произвольными полями. [11]
Среди алгебр Каца – Муди неопределенного типа большая часть работ сосредоточена на гиперболическом типе , для которого матрица S неопределенна, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица является положительно определенной или положительно полуопределенной. Гиперболические алгебры Каца – Муди имеют ранг не выше 10 и полностью классифицированы. [12] Существует бесконечно много рангов 2 и 238 рангов от 3 до 10 .
Смотрите также
- Формула характера Вейля – Каца
- Обобщенная алгебра Каца – Муди.
- Интегрируемый модуль
Заметки
- ^ (?) Гарланд, H .; Леповский, Дж. (1976). «Гомологии алгебр Ли и формулы Макдональда – Каца». Изобретать. Математика. 34 (1): 37–76. Bibcode : 1976InMat..34 ... 37G . DOI : 10.1007 / BF01418970 .
- ^ Хариш-Чандра (1951). «О некоторых приложениях универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли» . Пер. Амер. Математика. Soc. 70 (1): 28–96. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1951-0044515-0 . JSTOR 1990524 .
- ^ Якобсон, Н. (1962). Алгебры Ли . Международные трактаты по чистой и прикладной математике. 10 . Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers (подразделение John Wiley & Sons).
- ^ Серр, Ж.-П. (1966). Полупростые комплексы Альжебра де Ли (на французском). Нью-Йорк-Амстердам: В. А. Бенджамин.
- ^ Коулман, А. Джон, "Величайшая математическая статья всех времен", The Mathematical Intelligencer , vol. 11, вып. 3. С. 29–38.
- ^ Муди, Р. (1967). «Алгебры Ли, связанные с обобщенными матрицами Картана» (PDF) . Бык. Амер. Математика. Soc . 73 (2): 217–222. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1967-11688-4 .
- ^ Муди 1968, Новый класс алгебр Ли
- ^ Кантор, Иллинойс (1970). «Градуированные алгебры Ли». Труды сем. Вектор. Tenzor. Анальный. (на русском). 15 : 227–266.
- ↑ Кац, 1990
- ^ Селигман, Джордж Б. (1987). «Рецензия на книгу: Бесконечномерные алгебры Ли» . Бык. Амер. Математика. Soc . NS 16 (1): 144–150. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1987-15492-9 .
- ^ Титс, Дж. (1987). «Единственность и представление групп Каца – Муди над полями» . Журнал алгебры . 105 (2): 542–573. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (87) 90214-6 .
- ^ Carbone, L .; Chung, S .; Cobbs, C .; McRae, R .; Nandi, D .; Naqvi, Y .; Пента, Д. (2010). «Классификация гиперболических диаграмм Дынкина, длин корней и орбит групп Вейля». J. Phys. A: Математика. Теор. 43 (15): 155–209. arXiv : 1003.0564 . Bibcode : 2010JPhA ... 43o5209C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 43/15/155209 .
Рекомендации
- Роберт В. Муди , Новый класс алгебр Ли , Журнал алгебры , 10 (1968), 211–230. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90096-3 MR0229687
- Виктор Кац , Бесконечномерные алгебры Ли , 3-е издание, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8 [1]
- Энтони Вассерманн , Конспекты лекций по алгебрам Каца – Муди и Вирасоро
- "Алгебра Каца – Муди" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Виктор Г. Кац, Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста Math. Изв. СССР, 2 (1968) с. 1271–1311, Изв. Акад. АН СССР сер. Матем., 32 (1968) с. 1923–1967
- Шраван Кумар , Группы Каца – Муди, их многообразия флагов и теория представлений , 1-е издание, Биркхойзер (2002). ISBN 3-7643-4227-7 .
Внешние ссылки
- СИГМА: специальный выпуск по алгебрам Каца – Муди и их приложениям