Полупростая алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , алгебра Ли является полупростой , если она является прямой суммой из простых алгебр Ли (неабелевы алгебры Ли без ненулевых собственных идеалов ).

На протяжении всей статьи, если не указано иное, алгебра Ли - это конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Для такой алгебры Ли , если она не равна нулю, следующие условия эквивалентны:${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ полупростой;
• форма Киллинга , κ (х, у) = тр (объявление ( х ) объявления ( у )), является невырожденной ;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ не имеет ненулевых абелевых идеалов;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$не имеет ненулевых разрешимых идеалов;
• радикал (максимальный разрешимый идеал) равен нулю.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Значение [ править ]

Значение полупростоты исходит в первую очередь из разложения Леви , которое утверждает, что всякая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимого идеала (его радикала) и полупростой алгебры. В частности, не существует ненулевой алгебры Ли, одновременно разрешимой и полупростой.

Полупростые алгебры Ли имеют очень элегантную классификацию, резко контрастирующую с разрешимыми алгебрами Ли . Полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики полностью классифицируются по их корневой системе , которые, в свою очередь, классифицируются диаграммами Дынкина . Полупростые алгебры над неалгебраически замкнутыми полями могут быть поняты в терминах алгебры над алгебраическим замыканием, хотя классификация несколько сложнее; см. вещественную форму для случая вещественных полупростых алгебр Ли, классифицированных Эли Картаном .

Кроме того, теория представлений полупростых алгебр Ли намного чище, чем теория представлений общих алгебр Ли. Например, разложение Жордана в полупростой алгебре Ли совпадает с разложением Жордана в ее представлении; для алгебр Ли это не так.

Если полупросто, то . В частности, всякая линейная полупростая алгебра Ли является подалгебра , то специальная линейная алгебра Ли . Изучение структуры представляет собой важную часть теории представлений полупростых алгебр Ли.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

История [ править ]

Полупростые алгебры Ли над комплексными числами впервые были классифицированы Вильгельмом Киллингом (1888–90), хотя его доказательству не хватало строгости. Его доказательство было сделано Эли Картаном (1894 г.) в его докторской диссертации. докторскую диссертацию, который также классифицировал полупростые вещественные алгебры Ли. Впоследствии это было уточнено, и нынешняя классификация диаграмм Дынкина была дана 22-летним Юджином Дынкиным в 1947 году. Были внесены некоторые незначительные изменения (в частности, Дж. П. Серром), но доказательство не изменилось по сути и может быть можно найти в любой стандартной ссылке, такой как ( Humphreys 1972 ).

Основные свойства [ править ]

• Каждый идеал, фактор и произведение полупростых алгебр Ли снова полупросты. ^[1]
• Центр полупростой алгебры Ли тривиален (поскольку центр - абелев идеал). Другими словами, присоединенное представление инъективно. Кроме того, изображение получается ^[2] , чтобы быть из выводов на . Следовательно, является изоморфизмом. ^[3] (Это частный случай леммы Уайтхеда .)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• Поскольку присоединенное представление инъективно, полупростая алгебра Ли является линейной алгеброй Ли относительно присоединенного представления. Это может привести к некоторой двусмысленности, поскольку каждая алгебра Ли уже линейна относительно некоторого другого векторного пространства ( теорема Адо ), хотя и не обязательно через присоединенное представление. Но на практике такая двусмысленность встречается редко.
• Если - полупростая алгебра Ли, то (потому что полупроста и абелева). ^[4]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• Конечномерная алгебра Ли над полем k нулевой характеристики полупроста тогда и только тогда, когда базовое расширение полупросто для каждого расширения поля . ^[5] Так, например, конечномерная вещественная алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее комплексификация полупроста.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$${\displaystyle F\supset k}$

Разложение Джордана [ править ]

Каждый эндоморфизм x конечномерного векторного пространства над полем нулевой характеристики можно однозначно разложить на полупростую (т. Е. Диагонализуемую над алгебраическим замыканием) и нильпотентную части

${\displaystyle x=s+n\ }$

такие, что s и n коммутируют друг с другом. Более того, каждое из s и n является многочленом от x . Это разложение Жордана из х .

Сказанное выше относится к присоединенному представлению полупростой алгебры Ли . Элемент x из называется полупростым (соответственно нильпотентным), если является полупростым (соответственно нильпотентным) оператором. ^[6] Если , то абстрактное разложение Жордана утверждает, что x можно однозначно записать как:${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

где полупросто, нильпотентно и . ^[7] Более того, если коммутирует с x , то коммутирует и с обоими .${\displaystyle s}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [s,n]=0}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle s,n}$

Абстрактное разложение Жордана пропускает через любое представление в том смысле, что для любого представления ρ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

- это разложение Жордана ρ ( x ) в алгебре эндоморфизмов пространства представления. ^[8] (Это доказано как следствие теоремы Вейля о полной сводимости ; см . Теорему Вейля о полной сводимости # Применение: сохранение разложения Жордана .)

Структура [ править ]

Пусть - (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Строение алгебры может быть описано присоединенным действием на ней некоторой выделенной подалгебры - подалгебры Картана . По определению, ^[9] картановская подалгебры (также называется максимальной тороидальная подалгебра ) из является максимальной подалгеброй таким образом, что, для каждого , является диагонализируемо . Как выясняется, абелева и поэтому все операторы являются одновременно диагонализируемы . Пусть для каждого линейного функционала от${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Обратите внимание , что это центратор из .) Тогда${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(Сложнее всего показать . Все стандартные доказательства используют некоторые факты из теории представлений ; например, Серр использует тот факт, что -модуль с примитивным элементом отрицательного веса бесконечномерен, что противоречит этому .)${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$ s l 2 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

Пусть с коммутационными соотношениями ; т.е. соответствуют стандартной основе .${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Линейные функционалы в называются корни из относительно . Корни охватывают (так как если , то является нулевым оператором, т. Е. Находится в центре, который равен нулю). Более того, из теории представлений можно вывести следующие свойства симметрии и интегральные свойства : для каждого ,${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

Обратите внимание, что имеет свойства (1) и (2) множество неподвижных точек , что означает, что это отражение относительно гиперплоскости, соответствующей . Вышесказанное говорит о том, что это корневая система .${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$

Из общей теории корневой системы , которая содержит основу из таким образом, что каждый корень является линейной комбинацией с целыми коэффициентами одного и того же знака; корни называются простыми корнями . Пусть и т. Д. Тогда элементы (называемые генераторами Шевалле ) порождают как алгебру Ли. Более того, они удовлетворяют отношениям (называемым отношениями Серра ): с ,${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle 3l}$${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

Верно и обратное: то есть алгебра Ли, порожденная генераторами и отношениями, подобными приведенным выше, является (конечномерной) полупростой алгеброй Ли, которая имеет разложение корневого пространства, как указано выше (при условии, что это матрица Картана ). Это теорема Серра . В частности, две полупростые алгебры Ли изоморфны, если у них одна и та же система корней.${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

Из аксиоматической природы корневой системы и теоремы Серра следует, что можно перечислить все возможные корневые системы; отсюда «всевозможные» полупростые алгебры Ли (конечномерные над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики).

Группа Вейля - это группа линейных преобразований, порожденная 's. Группа Вейля - важная симметрия проблемы; например, веса любого конечномерного представления инвариантны относительно группы Вейля. ^[11]${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пример разложения корневого пространства в sl _n (C) [ править ]

Для и подалгебры Картана диагональных матриц, определим как${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

где обозначает диагональную матрицу с по диагонали. Тогда разложение дается формулой${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

куда

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

для вектора в стандартном (матричном) базисе, то есть представляет базисный вектор в -й строке и -й столбце. Это разложение связано с корневой системой:${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

sl ₂ (C) [ править ]

Например, в разложении есть${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

и соответствующая корневая система

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

sl ₃ (C) [ править ]

В разложении есть${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

и соответствующая корневая система определяется как

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

Примеры [ править ]

Как отмечалось в разделе # Структура , полупростые алгебры Ли над (или, в более общем смысле, алгебраически замкнутое поле характеристики нуль) классифицируются по корневой системе, связанной с их подалгебрами Картана, а корневые системы, в свою очередь, классифицируются по их диаграммам Дынкина. Примерами полупростых алгебр Ли, классических алгебр Ли , с обозначениями, взятыми из их диаграмм Дынкина , являются:${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, специальная линейная алгебра Ли .
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли .
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, симплектическая алгебра Ли .
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( ).${\displaystyle n>1}$

Ограничение в семействе необходимо, потому что оно одномерно и коммутативно, а потому непросто.${\displaystyle n>1}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

Эти алгебры Ли пронумерованы так, что n - ранг . Почти все эти полупростые алгебры Ли на самом деле простые, и почти все члены этих семейств различны, за исключением некоторых коллизий малого ранга. Например и . Эти четыре семейства, вместе с пятью исключениями ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 и G 2 ), фактически являются единственными простыми алгебрами Ли над комплексными числами.${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

Классификация [ править ]

Каждая полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является прямой суммой из простых алгебр Ли (по определению), а конечномерные простые алгебры Ли попадают в четырех семей - _п , В _п , С _п и Д _п - за пятью исключениями E 6 , E 7 , E 8 , F 4 и G 2 . Простые алгебры Ли классифицируются связными диаграммами Дынкина, показанный справа, а полупростые алгебры Ли соответствуют необязательно связным диаграммам Дынкина, где каждая компонента диаграммы соответствует слагаемому разложения полупростой алгебры Ли на простые алгебры Ли.

Классификация проводится путем рассмотрения подалгебры Картана (см. Ниже) и присоединенного действия алгебры Ли на этой подалгебре. Тогда корневая система действия определяет исходную алгебру Ли и должна иметь очень ограниченную форму, которую можно классифицировать с помощью диаграмм Дынкина. См. Раздел ниже, описывающий подалгебры Картана и корневые системы для более подробной информации.

Эта классификация широко считается одним из самых элегантных результатов в математике - краткий список аксиом дает через относительно короткое доказательство полную, но нетривиальную классификацию с удивительной структурой. Это следует сравнить с классификацией конечных простых групп , которая значительно сложнее.

Перечисление четырех семейств не является избыточным и состоит только из простых алгебр, если для A _n , для B _n , для C _n и для D _n . Если начать нумерацию ниже, то перечисление будет избыточным и между простыми алгебрами Ли будут исключительные изоморфизмы , которые отражаются в изоморфизмах диаграмм Дынкина ; E _n также может быть расширен вниз, но ниже E ₆ изоморфны другим, неисключительным алгебрам.${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 4}$

Над неалгебраически замкнутым полем классификация более сложна - классифицируются простые алгебры Ли над алгебраическим замыканием, затем для каждой из них классифицируются простые алгебры Ли над исходным полем, которые имеют эту форму (над замыканием). Например, чтобы классифицировать простые вещественные алгебры Ли, нужно классифицировать вещественные алгебры Ли с заданной комплексификацией, которые известны как вещественные формы комплексной алгебры Ли; это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , которые представляют собой диаграммы Дынкина с дополнительными данными («украшения»). ^[12]

Теория представлений полупростых алгебр Ли [ править ]

Пусть - (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Затем, как в #Structure , где находится корневая система. Выберите простые корни в ; корень из тогда называется положительным и обозначается , если она является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными коэффициентами целых чисел. Пусть , что максимальная разрешимая подалгебра , то подалгебра Бореля .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha >0}$${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть V - (возможно, бесконечномерный) простой -модуль. Если V происходит допустить -Вес вектор , ^[13] , то это единственно с точностью до масштабирования и называется самый высокий весовой вектор из V . Это также -вес вектор и -вес из , линейный функционал , называется наибольший вес в V . Основные, но нетривиальные факты ^[14] сводятся к следующему: (1) для каждого линейного функционала существует простой -модуль, имеющий${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{\mu }}$${\displaystyle \mu }$поскольку его наибольший вес и (2) два простых модуля с одинаковым наибольшим весом эквивалентны. Короче говоря, существует биекция между множеством классов эквивалентности простых -модулей, допускающих борелевский вектор.${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В приложениях часто интересует конечномерный простой -модуль (конечномерное неприводимое представление). Это особенно верно в случае, когда является алгеброй Ли группы Ли (или ее комплексификацией), поскольку через соответствие Ли представление алгебры Ли может быть интегрировано в представление группы Ли, когда препятствия преодолены. Следующий критерий удовлетворяет эту потребность: под положительной камерой Вейля мы понимаем выпуклый конус, где - единственный вектор такой, что . Тогда критерий гласит: ^[15]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$тогда и только тогда, когда для каждого положительного корня (1) является целым числом, а (2) лежит в .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C}$

Линейный функционал, удовлетворяющий вышеуказанному эквивалентному условию, называется доминирующим целым весом. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между доминирующими целочисленными весами и классами эквивалентности конечномерных простых -модулей, результат, известный как теорема о старшем весе . Характер конечномерного простого модуля по очереди вычисляется по формуле характера Вейля .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема из - Вейл говорит , что над полем нулевой характеристики, каждый конечномерен модуль полупростой алгебры Ли является вполне приводимым ; т. е. представляет собой прямую сумму простых -модулей. Следовательно, приведенные выше результаты применимы к конечномерным представлениям полупростой алгебры Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Вещественная полупростая алгебра Ли [ править ]

Для полупростой алгебры Ли над полем, которое имеет нулевую характеристику, но не является алгебраически замкнутым, не существует общей структурной теории, подобной той, которая существует для алгебры над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Но над полем действительных чисел все еще есть результаты структуры.

Пусть - конечномерная вещественная полупростая алгебра Ли и ее комплексификация (которая снова полупроста). Алгебра реальной Ли называется вещественной формой в . Действительная форма называется компактной, если форма Киллинга на ней отрицательно определена; это обязательно алгебра Ли компактной группы Ли (отсюда и название).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

Компактный футляр [ править ]

Предположим , это компактная форма и максимальное абелево подпространство. Можно показать (например, по факту - это алгебра Ли компактной группы Ли), что она состоит из косоэрмитовых матриц, диагонализируемых над мнимыми собственными значениями. Следовательно, является подалгеброй Картана в и приводит к разложению корневого пространства (см. #Structure )${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

где каждый имеет действительную стоимость ; таким образом, его можно отождествить с вещественно-линейным функционалом в реальном векторном пространстве .${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

Например, пусть и возьмем подпространство всех диагональных матриц. Примечание . Позвольте быть линейным функционалом на заданном для . Тогда для каждого ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

где - матрица, имеющая единицу в -м месте и ноль в другом месте. Следовательно, каждый корень имеет форму, а разложение корневого пространства - это разложение матриц: ^[16]${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

Некомпактный корпус [ править ]

Предположим, это не обязательно компактная форма (т. Е. Подпись формы Киллинга не вся отрицательная). Предположим, кроме того, у него есть инволюция Картана и пусть будет разложение собственного подпространства , где - собственные подпространства для 1 и -1 соответственно. Например, если и отрицательный транспонировать, то .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

Позвольте быть максимальное абелево подпространство. Теперь он состоит из симметричных матриц (относительно подходящего внутреннего произведения), и поэтому операторы в одновременно диагонализуемы с действительными собственными значениями. Повторяя рассуждения для алгебраически замкнутого базового поля, можно получить разложение (называемое разложением в ограниченном корневом пространстве ): ^[17]${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

куда

• элементы в называются ограниченными корнями ,${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$для любого линейного функционала ; в частности ,${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$.

Причем, это корневая система, но не обязательно редуцированная (т. Е. Может случиться , что оба корня).${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

Случай ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$[ править ]

Если , то можно принять диагональную подалгебру в , состоящую из диагональных матриц, сумма диагональных элементов которых равна нулю. Поскольку имеет размерность , мы видим, что он имеет ранг .${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n-1}$

В качестве корневых векторов в этом случае можно взять матрицы с , где - матрица с единицей в месте и нулями в другом месте. ^[18] Если - диагональная матрица с диагональными элементами , то имеем${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Таким образом, корни для являются линейными функционалами, заданными формулой${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

После отождествления со своим двойником корни становятся векторами в пространстве -кортежей, сумма которых равна нулю. Это корневая система, известная как в традиционной маркировке.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle n}$ A n − 1 {\displaystyle A_{n-1}}

Отражение связано с корнем действует на перестановкой и диагональные элементы. Тогда группа Вейля - это просто группа перестановок элементов, действующая путем перестановки диагональных элементов матриц в .${\displaystyle \alpha _{i,j}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Обобщения [ править ]

Полупростые алгебры Ли допускают некоторые обобщения. Во-первых, многие утверждения, которые верны для полупростых алгебр Ли, верны в более общем смысле для редуктивных алгебр Ли . Абстрактно редуктивная алгебра Ли - это такая, чье присоединенное представление вполне приводимо , а конкретно редуктивная алгебра Ли является прямой суммой полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли ; например, полупростой и редуктивный. Многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от сводимости.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Многие свойства комплексных полупростых / редуктивных алгебр Ли верны не только для полупростых / редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями, но в более общем плане для расщепленных полупростых / редуктивных алгебр Ли над другими полями: полупростые / редуктивные алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями всегда расщепляются , но по другим полям это не всегда так. Расщепляемые алгебры Ли имеют по существу ту же теорию представлений, что и полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями, например, расщепляющая подалгебра Картана играет ту же роль, что и подалгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Это подход, использованный в ( Бурбаки 2005), например, который классифицирует представления расщепляемых полупростых / редуктивных алгебр Ли.

Полупростые и редуктивные группы [ править ]

Связная группа Ли называется полупростой, если ее алгебра Ли является полупростой алгеброй Ли, т. Е. Прямой суммой простых алгебр Ли. Он называется редуктивным, если его алгебра Ли представляет собой прямую сумму простых и тривиальных (одномерных) алгебр Ли. Редуктивные группы возникают естественным образом как симметрии ряда математических объектов в алгебре, геометрии и физике. Например, группа симметрий n- мерного вещественного векторного пространства (то есть группа обратимых матриц) редуктивна.${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

См. Также [ править ]

• Алгебра Ли
• Корневая система
• Представление алгебры Ли
• Компактная группа
• Простая группа Ли
• Подалгебра Бореля
• Теорема Якобсона – Морозова.

Ссылки [ править ]