E 6 (математика)

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , Е ₆ это название некоторых тесно связанных групп Ли , линейных алгебраических групп или их алгебры Ли , все из которых имеют размерность 78; то же обозначение E ₆ используется для соответствующей решетки корней , имеющей ранг  6. Обозначение E ₆ происходит из классификации Картана – Киллинга сложных простых алгебр Ли (см. § Работа Эли Картана ). Это классифицирует алгебры Ли на четыре бесконечные серии, обозначенные A _n , B _n , C _n , D _n и${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$пять исключительных случаев, обозначенных E ₆ , E 7 , E 8 , F 4 и G 2 . Таким образом, алгебра E ₆ является одним из пяти исключительных случаев.

Фундаментальная группа сложной формы, компактной вещественной форме, или любой алгебраической версии E ₆ является циклической группой Z / 3 Z , а ее внешний автоморфизм группы является циклической группой Z / 2 Z . Его фундаментальное представление - 27-мерное (комплексное), а основу составляют 27 линий на кубической поверхности . Двойное представление , которое неэквивалентное, также 27-мерное.

В физике элементарных частиц E ₆ играет роль в некоторых теориях великого объединения .

Реальные и сложные формы [ править ]

Существует уникальная комплексная алгебра Ли типа Й ₆ , что соответствует комплексной группе комплексной размерности 78. Комплекс присоединенной группы Ли Е ₆ из комплексной размерности 78 можно рассматривать как простую группу Ли вещественную размерность 156. Это имеет фундаментальное группа Z / 3 Z , имеет максимальную компактную подгруппу, компактную форму (см. ниже) группы E ₆ , и имеет нециклическую группу внешних автоморфизмов порядка 4, порожденную комплексным сопряжением и внешним автоморфизмом, который уже существует как комплексный автоморфизм.

Помимо комплексной группы Ли типа E ₆ , существует пять действительных форм алгебры Ли и, соответственно, пять действительных форм группы с тривиальным центром (все из которых имеют алгебраическое двойное покрытие, а три из которых дополнительно не имеют -алгебраические накрытия, дающие дополнительные действительные формы), все действительной размерности 78, а именно:

• Компактной форме (который, как правило, один имел в виду , если никакой другой информации не дается), которая имеет фундаментальную группу Z / 3 Z и внешний автоморфизм группы Z / 2 Z .
• Расщепленная форма EI (или E _{6 (6)} ), которая имеет максимальную компактную подгруппу Sp (4) / (± 1), фундаментальную группу порядка 2 и группу внешних автоморфизмов порядка 2.
• Квазирасщепленная форма EII (или E _{6 (2)} ), которая имеет максимальную компактную подгруппу SU (2) × SU (6) / (центр), фундаментальную циклическую группу порядка 6 и группу внешних автоморфизмов порядка 2.
• EIII (или E _{6 (-14)} ), который имеет максимальную компактную подгруппу SO (2) × Spin (10) / (центр), фундаментальную группу Z и тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• EIV (или E _{6 (-26)} ), который имеет максимальную компактную подгруппу F ₄ , тривиальную фундаментальную циклическую группу и группу внешних автоморфизмов порядка 2.

Форма EIV E ₆ - это группа коллинеаций (сохраняющих линию преобразований) октонионной проективной плоскости OP ² . ^[1] Это также группа сохраняющих детерминант линейных преобразований исключительной йордановой алгебры . Исключительная йорданова алгебра 27-мерна, что объясняет, почему компактная вещественная форма E ₆ имеет 27-мерное комплексное представление. Компактная вещественная форма E ₆ - это группа изометрий 32-мерного риманова многообразия, известного как «биоктонионная проективная плоскость»; аналогичные конструкции для E ₇ и E ₈ известны какПроективные плоскости Розенфельда и являются частью магического квадрата Фрейденталя .

E ₆ как алгебраическая группа [ править ]

С помощью базиса Шевалле для алгебры Ли можно определить E ₆ как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемое расщепление (иногда также известное как «раскрученная») присоединенная форма E ₆ . Над алгебраически замкнутым полем это и его тройное покрытие являются единственными формами; однако, помимо других полей, часто существует множество других форм или «скручиваний» E ₆ , которые классифицируются в общих рамках когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H ¹ ( k , Aut (E ₆)) который, поскольку диаграмма Дынкина E ₆ (см. ниже ) имеет группу автоморфизмов Z / 2 Z , отображается в H ¹ ( k , Z / 2 Z ) = Hom (Gal ( k ), Z / 2 Z ) с ядром H ¹ ( k , E _{6, ad} ). ^[2]

Над полем действительных чисел действительная составляющая тождества этих алгебраически скрученных форм E ₆ совпадает с тремя упомянутыми выше действительными группами Ли , но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все присоединенные формы E ₆ имеют фундаментальную группу Z / 3 Z в смысле алгебраической геометрии с действием Галуа как на третьих корнях из единицы; это означает, что они допускают ровно одно тройное покрытие (которое может быть тривиальным в реальных точках); дальнейшие некомпактные вещественные групповые формы Ли E _{6 не} являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений. Компактная вещественная форма E _6, а также некомпактные формы EI = E_{6 (6)} и EIV = E _{6 (-26)} называются внутренними или имеют тип ¹ E _6, что означает, что их класс лежит в H ¹ ( k , E _{6, ad} ) или что комплексное сопряжение индуцирует тривиальный автоморфизм на Диаграмма Дынкина, а две другие действительные формы называются внешними или имеют тип ² E ₆ .

Над конечными полями теорема Лэнга – Стейнберга влечет, что H ¹ ( k , E ₆ ) = 0, что означает, что E ₆ имеет ровно одну скрученную форму, известную как ² E ₆ : см. Ниже .

Автоморфизмы алгебры Альберта [ править ]

Подобно тому, как алгебраическая группа G ₂ является группой автоморфизмов октонионов, а алгебраическая группа F ₄ является группой автоморфизмов алгебры Альберта , исключительной йордановой алгебры , алгебраическая группа E ₆ является группой линейных автоморфизмов алгебры Альберта. сохраняющие определенную кубическую форму, называемую «определителем». ^[3]

Алгебра [ править ]

Диаграмма Дынкина [ править ]

Диаграмма Дынкина для E ₆ задается, который также можно нарисовать как .

Корни E ₆ [ править ]

72 вершины многогранника 1 22 представляют собой корневые векторы E ₆ , как показано в этой проекции на плоскость Кокстера . В этой проекции оранжевые вершины удвоены.
Диаграмма Кокстера-Дынкина :

Хотя они охватывают шестимерное пространство, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в шестимерном подпространстве девятимерного пространства. Тогда можно пустить корни в

(1, −1,0; 0,0,0; 0,0,0), (−1,1,0; 0,0,0; 0,0,0),

(-1,0,1; 0,0,0; 0,0,0), (1,0, -1; 0,0,0; 0,0,0),

(0,1, −1; 0,0,0; 0,0,0), (0, −1,1; 0,0,0; 0,0,0),

(0,0,0; 1, −1,0; 0,0,0), (0,0,0; −1,1,0; 0,0,0),

(0,0,0; −1,0,1; 0,0,0), (0,0,0; 1,0, −1; 0,0,0),

(0,0,0; 0,1, −1; 0,0,0), (0,0,0; 0, −1,1; 0,0,0),

(0,0,0; 0,0,0; 1, −1,0), (0,0,0; 0,0,0; −1,1,0),

(0,0,0; 0,0,0; −1,0,1), (0,0,0; 0,0,0; 1,0, −1),

(0,0,0; 0,0,0; 0,1, −1), (0,0,0; 0,0,0; 0, −1,1),

плюс все 27 комбинаций где является одним из плюс все 27 комбинаций где является одним из${\ Displaystyle (\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3})}$${\ displaystyle \ mathbf {3}}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- { \ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- {\ frac {1} {3} }, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}} \ right),}$${\ displaystyle ({\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}})}$${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {3}}}}$${\displaystyle \left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right).}$

Простые корни

Один из возможных вариантов простых корней E6:

(0,0,0; 0,0,0; 0,1, −1)

(0,0,0; 0,0,0; 1, −1,0)

(0,0,0; 0,1, −1; 0,0,0)

(0,0,0; 1, −1,0; 0,0,0)

(0,1, −1; 0,0,0; 0,0,0)

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)}$

Корни E6, полученные от корней E8 [ править ]

E ₆ - это подмножество E _8, где согласованный набор трех координат равны (например, первая или последняя). Это облегчает четкое определение E ₇ и E ₆ как:

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z + ½) ⁷  : ∑ α _i ² + α ₁ ² = 2, ∑ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z + ½) ⁶  : ∑ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, ∑ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Следующие 72 корня E6 получаются таким образом из разбитых вещественных четных корней E8 . Обратите внимание, что последние 3 измерения совпадают с обязательными:

Альтернативное описание [ править ]

Альтернативное (6-мерное) описание корневой системы, которое полезно при рассмотрении E ₆ × SU (3) как подгруппы E ₈ , следующее:

Все перестановки${\displaystyle 4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,0,0)}$ сохраняя ноль в последней записи,

и все следующие корни с нечетным числом знаков плюс

${\displaystyle \left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {{\sqrt {3}} \over 2}\right).}$

Таким образом, 78 образующих состоят из следующих подалгебр:

45-мерная подалгебра SO (10), включая вышеуказанные генераторы плюс пять генераторов Картана, соответствующих первым пяти элементам.${\displaystyle 4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

Два 16-мерные подалгебры , которые трансформируют как вейлевского спинором из и комплексно сопряженное. Они имеют ненулевую последнюю запись.${\displaystyle \operatorname {spin} (10)}$

1, который является их генератором хиральности, и является шестым генератором Картана .

Один из вариантов выбора простых корней для E ₆ задается строками следующей матрицы, индексированными в следующем порядке :

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Группа Вейля [ править ]

Группа Вейля E ₆ имеет порядок 51840: это группа автоморфизмов единственной простой группы порядка 25920 (которая может быть описана как любое из: PSU ₄ (2), PSΩ ₆ ^- (2), PSp ₄ (3 ) или PSΩ ₅ (3)). ^[4]

Матрица Картана [ править ]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Важные подалгебры и представления [ править ]

Алгебра Ли E ₆ имеет подалгебру F ₄ , которая является фиксированной подалгеброй внешнего автоморфизма, и подалгебру SU (3) × SU (3) × SU (3). Другие максимальные подалгебры, которые имеют важное значение в физике (см. Ниже) и могут быть прочитаны с диаграммы Дынкина, - это алгебры SO (10) × U (1) и SU (6) × SU (2).

В дополнение к 78-мерному присоединенному представлению существуют два двойных 27-мерных «векторных» представления .

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121737 в OEIS ):

1 , 27 (дважды), 78 , 351 (четыре раза), 650 , 1728 (дважды), 2430 , 2925 , 3003 (дважды) , 5824 (дважды) , 7371 (дважды), 7722 (дважды), 17550 (дважды) , 19305 (четыре раза), 34398 (дважды), 34749 , 43758 , 46332 (дважды), 51975 (дважды), 54054 (дважды), 61425 (дважды), 70070 , 78975 (дважды) , 85293 , 100386 (дважды), 105600 , 112320 (дважды), 146432 (дважды) , 252252 (дважды) , 314496 (дважды), 359424 (четыре раза), 371800 (дважды), 386100 (дважды), 393822 (дважды), 412776 (дважды), 442442 (дважды) …

Подчеркнутые члены в приведенной выше последовательности являются размерностями тех неприводимых представлений, которыми обладает присоединенная форма E ₆ (эквивалентно, те, чьи веса принадлежат корневой решетке E ₆ ), тогда как полная последовательность дает размерности неприводимых представлений E _6. односвязная форма E ₆ .

Симметрия диаграммы Дынкина E ₆ объясняет, почему многие измерения встречаются дважды, причем соответствующие представления связаны нетривиальным внешним автоморфизмом; однако иногда существует даже больше представлений, чем это, например, четыре размера 351, два из которых являются фундаментальными, а два - нет.

В фундаментальные представления имеют размеры 27, 351, 2925, 351, 27 и 78 (соответствующие шесть узлов в диаграмме Дынкина в порядке , выбранном для матрицы Картана выше, то есть, узлы считываются в цепи пять узлов первого, с последним узлом, подключенным к среднему).

Многогранник E6 [ править ]

Е 6 многогранник является выпуклой оболочкой из корней Е ₆ . Следовательно, он существует в шести измерениях; его группа симметрии содержит группу Кокстера для E ₆ как подгруппу индекса 2.

Группы Шевалле и Стейнберга типа E ₆ и ² E ₆ [ править ]

Группы типа E ₆ над произвольными полями (в частности, конечными полями) были введены Диксоном ( 1901 , 1908 ).

Точки над конечным полем с q элементами (расщепленной) алгебраической группы E ₆ (см. Выше ), будь то присоединенной (бесцентровой) или односвязной формы (ее алгебраическое универсальное покрытие), образуют конечную группу Шевалле . Это тесно связано с группой, написанной E ₆ ( q ), однако в этой записи есть двусмысленность, которая может означать несколько вещей:

• конечная группа, состоящая из точек над F _q односвязной формы E ₆ (для ясности, это может быть написано E _{6, sc} ( q ) или реже и известна как «универсальная» группа Шевалле типа E ₆ над F _q ),${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}(q)}$
• (редко) конечная группа, состоящая из точек над F _q присоединенной формы E ₆ (для ясности, это может быть написано E _{6, ad} ( q ), и известна как «присоединенная» группа Шевалле типа E ₆ над F _q ), или
• конечная группа, которая является образом естественного отображения от первого ко второму: это то, что будет обозначаться E ₆ ( q ) в дальнейшем, как это наиболее часто встречается в текстах, посвященных конечным группам.

С точки зрения конечных групп, отношения между этими тремя группами, которые вполне аналогичны отношениям между SL ( n, q ), PGL ( n, q ) и PSL ( n, q ), можно резюмировать следующим образом: E ₆ ( q ) прост для любого q , E _{6, sc} ( q ) - его покрытие Шура , а E _{6, ad} ( q ) лежит в его группе автоморфизмов; кроме того, когда q −1 не делится на 3, все три совпадают, а в противном случае (когда q сравнимо с 1 mod 3) множитель Шура E ₆ ( q ) равен 3, а E ₆( q ) имеет индекс 3 в E _{6, ad} ( q ), что объясняет, почему E _{6, sc} ( q ) и E _{6, ad} ( q ) часто записываются как 3 · E ₆ ( q ) и E ₆ ( q ) · 3. С точки зрения алгебраической группы, E ₆ ( q ) реже относится к конечной простой группе, поскольку последняя не является естественным образом набором точек алгебраической группы над F _{q, в} отличие от E _{6, sc} ( q ) и E _{6, ad} ( q ).

Помимо этой «расщепленной» (или «раскрученной») формы E ₆ , существует еще одна форма E ₆ над конечным полем F _q , известная как ² E ₆ , которая получается скручиванием нетривиальным автоморфизмом диаграмма Дынкина E ₆ . Конкретно, ² E ₆ ( q ), известная как группа Стейнберга, может рассматриваться как подгруппа E ₆ ( q ² ), фиксированная композицией нетривиального диаграммного автоморфизма и нетривиального полевого автоморфизма F _{q ²}. Скручивание не меняет того факта, что алгебраическая фундаментальная группа ² E _{6, ad} есть Z / 3 Z , но меняет те q, для которых покрытие ² E _{6, ad с} помощью ² E _{6, sc} нетривиально на F _д -точек. А именно: ² E _{6, sc} ( q ) является покрытием ² E ₆ ( q ), а ² E _{6, ad} ( q ) лежит в его группе автоморфизмов; когда q+1 не делится на 3, все три совпадают, и в противном случае (когда q сравнимо с 2 mod 3) степень ² E _{6, sc} ( q ) над ² E ₆ ( q ) равна 3 и ² E ₆ ( q ) имеет индекс 3 в ² E _{6, ad} ( q ), что объясняет, почему ² E _{6, sc} ( q ) и ² E _{6, ad} ( q ) часто записываются как 3 · ² E ₆ ( q ) и ²E ₆ ( q ) · 3.

В отношении групп ² E ₆ ( q ) следует поднять два вопроса об обозначениях . Во-первых, это иногда пишется ² E ₆ ( q ² ), то есть преимущество, заключающееся в том, что его легче транспонировать в группы Сузуки и Ри, но недостатком является отклонение от записи для F _q -точек алгебраической группы. . Другой заключается в том, что в то время как ² E _{6, sc} ( q ) и ² E _{6, ad} ( q ) являются F _q -точками алгебраической группы, рассматриваемая группа также зависит от q(например, точки над F _{q ²} одной и той же группы - это раскрученные E _{6, sc} ( q ² ) и E _{6, ad} ( q ² )).

Группы E ₆ ( q ) и ² E ₆ ( q ) просты для любого q , ^{[5] [6]} и составляют два из бесконечных семейств в классификации конечных простых групп . Их порядок определяется следующей формулой (последовательность A008872 в OEIS ):

${\displaystyle |E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q-1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}-1)(q^{2}-1)}$

${\displaystyle |{}^{2}\!E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q+1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}+1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}+1)(q^{2}-1)}$

(последовательность A008916 в OEIS ). Порядок E _{6, sc} ( q ) или E _{6, ad} ( q ) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3, q −1) из первой формулы (последовательность A008871 в OEIS ) , а порядок ² E _{6, sc} ( q ) или ² E _{6, ad} ( q ) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3, q +1) из второго (последовательность A008915 в OEIS ).

Множитель Шура E ₆ ( q ) всегда равен gcd (3, q −1) (т. Е. E _{6, sc} ( q ) - его покрытие Шура). Множитель Шура ² E ₆ ( q ) равен gcd (3, q +1) (т. Е. ² E _{6, sc} ( q ) - его покрытие Шура) вне исключительного случая q = 2, где он равен 2 ² · 3 (т.е. есть 2 дополнительных ^2-х кратных крышки). Группа внешних автоморфизмов E ₆ ( q ) является произведением группы диагональных автоморфизмов Z / gcd (3,q −1) Z (заданный действием E _{6, ad} ( q )), группа Z / 2 Z автоморфизмов диаграмм и группа автоморфизмов поля (т. е. циклических автоморфизмов порядка f, если q = p ^f, где p простое). Группа внешних автоморфизмов ² E ₆ ( q ) является произведением группы диагональных автоморфизмов Z / gcd (3, q +1) Z (заданной действием ² E _{6, ad} ( q)) и группу полевых автоморфизмов (т. е. циклических порядка f, если q = p ^f, где p простое число).

Важность в физике [ править ]

N = 8 супергравитация в пяти измерениях, которая является размерной редукцией по сравнению с 11- мерной супергравитацией, допускаетбозонную глобальную симметрию E ₆ ибозонную локальную симметрию Sp (8) . Фермионы находятся в представлении Sp (8) , калибровочные поля находятся в представлении E ₆ , а скаляры находятся в представлении обоих (гравитоны являются синглетами по отношению к обоим). Физические состояния представлены в виде смежного класса E ₆ / Sp (8) .

В теориях большого объединения , E ₆ выступает как возможной калибровочной группы , которая, после того, как ее разрыва , приводит к возникновению в SU (3) × SU (2) × U (1) калибровочной группы из стандартной модели . Один из способов добиться этого - перейти к SO (10) × U (1) . Присоединенное представление 78 разбивается, как объяснено выше, на присоединенное 45 , спинор 16 и 16, а также синглет подалгебры SO (10) . Включая заряд U (1), мы имеем

${\displaystyle 78\rightarrow 45_{0}\oplus 16_{-3}\oplus {\overline {16}}_{3}+1_{0}.}$

Где нижний индекс обозначает заряд U (1) .

Точно так же фундаментальное представление 27 и сопряженное к нему 27 разбиваются на скаляр 1 , вектор 10 и спинор, либо 16, либо 16 :

${\displaystyle 27\rightarrow 1_{4}\oplus 10_{-2}\oplus 16_{1},}$

${\displaystyle {\bar {27}}\rightarrow 1_{-4}\oplus 10_{2}\oplus {\overline {16}}_{-1}.}$

Таким образом, можно получить элементарные фермионы Стандартной модели и бозон Хиггса.

См. Также [ править ]

• En (алгебра Ли)
• Классификация ADE
• Магический квадрат Фройденталя

Ссылки [ править ]

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR  1428422.
• Баэз, Джон (2002). «Octonions, Раздел 4.4: E 6 » . Бык. Амер. Математика. Soc . 39 (2): 145–205. arXiv : math / 0105155 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . ISSN  0273-0979 . S2CID  586512 .Онлайн-версия HTML по адресу [1] .
• Cremmer, E .; Дж. Шерк; Дж. Х. Шварц (1979). «Спонтанно нарушенная супергравитация N = 8». Phys. Lett. B . 84 (1): 83–86. Bibcode : 1979PhLB ... 84 ... 83C . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (79) 90654-3 .Отсканированная онлайн-версия по адресу [2] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} .
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 33 : 145–173, перепечатанный в томе V его собрания сочинений
• Диксон, Леонард Юджин (1908), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности (вторая статья)» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 39 : 205–209, ISBN 9780828403061, перепечатанный в томе VI его собрания сочинений.
• Ичиро, Йокота (2009). «Исключительные группы Ли». arXiv : 0902.0431 [ math.DG ].