Дициклическая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории групп , в дициклической группе (обозначение Dic _п или Q _{4 п} , ^[1] ⟨ п , 2,2⟩) представляет собой особый вид неабелевой группы из порядка 4 п ( п > 1). Это расширение из циклической группы порядка 2 циклической группой порядка 2 п , давая имя ди-циклический . В обозначениях точных последовательностей групп это расширение можно выразить как:

${\ displaystyle 1 \ to C_ {2n} \ to {\ mbox {Dic}} _ {n} \ to C_ {2} \ to 1. \,}$

В более общем смысле, для любой конечной абелевой группы с элементом порядка 2 можно определить дициклическую группу.

Определение [ править ]

Для каждого целого числа n > 1 дициклическая группа Dic _n может быть определена как подгруппа единичных кватернионов, порожденных

${\ displaystyle {\ begin {align} a & = e ^ {\ frac {i \ pi} {n}} = \ cos {\ frac {\ pi} {n}} + i \ sin {\ frac {\ pi} {п}} \\ x & = j \ end {выровнено}}}$

Более абстрактно, можно определить дициклическую группу Dic _n как группу со следующим представлением ^[2]

${\ displaystyle \ operatorname {Dic} _ {n} = \ left \ langle a, x \ mid a ^ {2n} = 1, \ x ^ {2} = a ^ {n}, \ x ^ {- 1} ax = a ^ {- 1} \ right \ rangle. \, \!}$

Некоторые моменты, которые следует отметить, вытекающие из этого определения:

• х ⁴ = 1
• х ^{2 к} = а ^{K + п} = а ^К х ²
• если j = ± 1, то x ^j a ^k = a ^{- k} x ^j .
• ^к х ^-1 = ^{к - п п} х ^-1 = ^{к - п} х ² х ^-1 = ^{к - п} х .

Таким образом, каждый элемент DIC _п может быть однозначно записано как в ^к х ^J , где 0 ≤ K <2 п и J = 0 или 1. Умножение правила задаются

• ${\ displaystyle a ^ {k} a ^ {m} = a ^ {k + m}}$
• ${\ displaystyle a ^ {k} a ^ {m} x = a ^ {k + m} x}$
• ${\ displaystyle a ^ {k} xa ^ {m} = a ^ {km} x}$
• ${\ displaystyle a ^ {k} xa ^ {m} x = a ^ {k-m + n}}$

Отсюда следует, что Dic _n имеет порядок 4 n . ^[2]

При п = 2, бициклическая группа изоморфна к группе кватернионов Q . В более общем смысле, когда n является степенью 2, дициклическая группа изоморфна обобщенной группе кватернионов . ^[2]

Свойства [ править ]

Для каждого n > 1 дициклическая группа Dic _n является неабелевой группой порядка 4 n . (Для вырожденного случая n = 1 группа Dic ₁ является циклической группой C ₄ , которая не считается дициклической.)

Пусть = ⟨ ⟩ подгруппа DIC _п генерируется с помощью . Тогда A - циклическая группа порядка 2 n , поэтому [Dic _n : A ] = 2. Как подгруппа индекса 2 она автоматически является нормальной подгруппой . Фактор-группа Dic _n / A является циклической группой порядка 2.

Dic _п является разрешимым ; заметим, что A нормальна и, будучи абелевой, сама разрешима.

Бинарная группа диэдра [ править ]

Дициклическая группа является бинарной группой полиэдра - это один из классов подгрупп группы Пина Pin _- (2), которая является подгруппой группы Spin Spin (3) - и в этом контексте известна как бинарный диэдр. группа .

Связь с бинарной циклической группой C _{2 n} , циклической группой C _n и диэдральной группой Dih _n порядка 2 n проиллюстрирована на диаграмме справа и параллельна соответствующей диаграмме для группы Пина. Косетер записывает двоичную двугранную группу , как ⟨2,2, п ⟩ и двоичная циклическая группы с угловыми кронштейнами, ⟨ п ⟩.

Между дициклическими группами и диэдральными группами есть внешнее сходство ; оба являются своего рода «зеркалом» лежащей в основе циклической группы. Но представление группы диэдра будет иметь x ² = 1 вместо x ² = a ⁿ ; и это дает другую структуру. В частности, DIC _п не полупрямое произведение из А и ⟨ х ⟩, так как  ∩ ⟨ х ⟩ не является тривиальным.

Дициклическая группа имеет единственную инволюцию (т.е. элемент порядка 2), а именно x ² = a ⁿ . Обратите внимание, что этот элемент находится в центре Dic _n . Действительно, центр состоит исключительно из единицы и x ² . Если мы добавим отношение x ² = 1 к представлению Dic _n, мы получим представление группы диэдра Dih _{2 n} , так что фактор-группа Dic _n / < x ² > изоморфна Dih _n .

Существует естественный гомоморфизм 2 к 1 от группы единичных кватернионов к группе 3-мерного вращения, описанной в кватернионах и пространственных вращениях . Поскольку дициклическая группа может быть вложена внутрь единичных кватернионов, можно спросить, каков ее образ при этом гомоморфизме. Ответ - просто группа симметрии диэдра Dih _n . По этой причине дициклическая группа также известна как бинарная группа диэдра . Обратите внимание, что дициклическая группа не содержит подгруппы, изоморфной Dih _n .

Аналогичная конструкция прообраза с использованием Pin ₊ (2) вместо Pin _- (2) дает другую группу диэдра Dih _{2 n} , а не дициклическую группу.

Обобщения [ править ]

Пусть A - абелева группа , имеющая конкретный элемент y в A с порядком 2. Группа G называется обобщенной дициклической группой , записываемой как Dic ( A , y ) , если она порождается A и дополнительным элементом x , и кроме того , что мы имеем [ G : ] = 2, х ² = у , и для всех а в а , х ^-1 ах = ^-1 .

Поскольку для циклической группы четного порядка всегда существует единственный элемент порядка 2, мы можем видеть, что дициклические группы - это просто особый тип обобщенной дициклической группы.

См. Также [ править ]

• бинарная полиэдральная группа
• двоичная циклическая группа , ⟨ п ⟩, порядок 2 н
• бинарная тетраэдрическая группа , 2T = ⟨2,3,3⟩, порядок 24
• бинарная октаэдрическая группа , 2O = ⟨2,3,4⟩, порядок 48
• бинарная группа икосаэдра , 2I = ⟨2,3,5⟩, порядок 120

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Дициклические группы на GroupNames