Решетка (дискретная подгруппа)

Часть дискретной группы Гейзенберга , дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Цвет и края предназначены только для наглядности.)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории Ли и смежных областях математики решетка в локально компактной группе - это дискретная подгруппа, обладающая тем свойством, что фактор-пространство имеет конечную инвариантную меру . В частном случае подгрупп в R ⁿ это составляет обычное геометрическое понятие решетки как периодического подмножества точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо изучены.

Теория особенно богата решетками в полупростых группах Ли или, в более общем смысле, в полупростых алгебраических группах над локальными полями . В частности, в этом случае имеется множество результатов о жесткости, и знаменитая теорема Григория Маргулиса утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы .

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, ассоциированных с алгебрами Каца – Муди и группах автоморфизмов регулярных деревьев (последние известны как решетки деревьев ).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: в геометрической теории групп (как особенно хорошие примеры дискретных групп ), в дифференциальной геометрии (путем построения локально однородных многообразий), в теории чисел (через арифметические группы ), в эргодической теории (через изучение однородных потоков на факторпространствах) и комбинаторики (путем построения расширяющихся графов Кэли и других комбинаторных объектов).

Общие сведения о решетках [ править ]

Неформальное обсуждение [ править ]

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные приближения непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно понятно, что подгруппа целочисленных векторов в некотором смысле «похожа» на реальное векторное пространство, в то время как обе группы существенно различны: одна конечно порождена и счетна , а другая нет (как группа) и имеет мощность континуума .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Строгое определение значения выражения «приближение непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце, чтобы получить понятие, обобщающее этот пример, является вопросом того, для чего он предназначен. Возможно, наиболее очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «аппроксимирует» большую группу, состоит в том, что большая группа может быть покрыта трансляциями «малого» подмножества всех элементов в подгруппах. В локально компактной топологической группе есть два непосредственно доступных понятия «малого»: топологическое ( компактное или относительно компактное подмножество ) или теоретико-мерное (подмножество конечной меры Хаара). Заметим, что поскольку мера Хаара является мерой Бореля${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$, в частности придает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, основывается на втором значении (в частности, для включения таких примеров, как ), но первое также имеет свой собственный интерес (такие решетки называются однородными).${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Определение [ править ]

Пусть локально компактная группа и дискретная подгруппа (это означает , что существует окрестность единичного элемента из таких , что ). Тогда называется решеткой в, если, кроме того, существует борелевская мера на фактор-пространстве, которая является конечной (т. Е. ) И -инвариантной (что означает, что для любого и любого открытого подмножества выполняется равенство ).${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e_ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ cap U = \ {e_ {G} \}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle G / \ Gamma}$${\ Displaystyle \ му (G / \ Gamma) <+ \ infty}$${\ displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

Несколько более сложная формулировка выглядит следующим образом: предположим дополнительно, что она унимодулярна, тогда, поскольку она дискретна, она также унимодулярна и по общим теоремам существует единственная -инвариантная борелевская мера с точностью до масштабирования. Тогда является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна.${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с мерой Хаара, и, следовательно, дискретная подгруппа в локально компактной группе, являющейся решеткой, эквивалентна тому, что у нее есть фундаментальная область (для действия левыми сдвигами) конечного объема для мера Хаара.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Решетка называется равномерной, если фактор-пространство компактно (и неоднородной в противном случае). Эквивалентно дискретная подгруппа является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество с . Заметим, что если любая дискретная подгруппа в такая, что компактна, то автоматически является решеткой в .${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle C\subset G}$${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$

Первые примеры [ править ]

Фундаментальный и самый простой пример - подгруппа, которая является решеткой в ​​группе Ли . Несколько более сложный пример - дискретная группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Если - дискретная группа, то решетка в является в точности подгруппой конечного индекса (т. Е. Фактор-множество конечно).${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G/\Gamma }$

Все эти примеры одинаковы. Неоднородный пример дается модулярной группой внутри , а также многомерными аналогами .${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой в ​​той же группе. В более общем смысле подгруппа, соизмеримая с решеткой, является решеткой.

В каких группах есть решетки? [ редактировать ]

Не каждая локально компактная группа содержит решетку, и для этого нет общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, существует множество более конкретных настроек, в которых существуют такие критерии. Например, хорошо изучена тема существования или отсутствия решеток в группах Ли .

Как мы упоминали, необходимое условие для того, чтобы группа содержала решетку, состоит в том, что группа должна быть унимодулярной . Это позволяет легко создавать группы без решеток, например группу обратимых верхнетреугольных матриц или аффинных групп . Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например, некоторые нильпотентные группы Ли, как описано ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота . Этого достаточно, чтобы влечь за собой существование решетки в группе Ли, но в более общем случае локально компактных групп существуют простые группы без решеток, например «группы Неретина». ^[1]

Решетки в разрешимых группах Ли [ править ]

Нильпотентные группы Ли [ править ]

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается аналогичной случаю абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли однородны, и если - связная односвязная нильпотентная группа Ли (что эквивалентно не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной группе. подгруппа ^[2] (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство).${\displaystyle N}$

Нильпотентная группа Ли содержит решетку тогда и только тогда, когда она может быть определена над рациональными числами, то есть тогда и только тогда, когда ее структурные константы являются рациональными числами. ^[3] Точнее, в нильпотентной группе, удовлетворяющей этому условию, решетки через экспоненциальное отображение соответствуют решеткам (в более элементарном смысле решетки (группы) ) в алгебре Ли.

Решетка в нильпотентной группе Ли всегда конечно порождена (и, следовательно, конечно представима, поскольку сама она нильпотентна); на самом деле он создается не более чем элементами. ^[4]${\displaystyle N}$${\displaystyle \dim(N)}$

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения и конечно порожденную.

Общий случай [ править ]

Приведенный выше критерий наличия решетки нильпотентных групп Ли не применяется к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли равномерна ^[5] и что решетки в разрешимых группах конечно представимы.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий - полицикличность группы . ^[6]

Решетки в полупростых группах Ли [ править ]

Арифметические группы и существование решеток [ править ]

Если -полупростая линейная алгебраическая группа , в которой определена над полем из рациональных чисел (т.е. полиномиальные уравнения , определяющие имеют свои коэффициенты ) , то есть подгруппа . Фундаментальная теорема Арманда Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что всегда есть решетка в ; Самый простой пример - подгруппа .${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Обобщая приведенную выше конструкцию, мы получаем понятие арифметической решетки в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли могут быть определены над, следствием арифметической конструкции является то, что любая полупростая группа Ли содержит решетку.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Несводимость [ править ]

Когда группа Ли расщепляется как произведение, возникает очевидная конструкция решеток из меньших групп: если решетки, то также решетка. Грубо говоря, решетка называется неприводимой, если она не является результатом этой конструкции.${\displaystyle G}$${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

Более формально, если - разложение на простые множители, решетка называется неприводимой, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• Проецирование на любой фактор плотное;${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• Пересечение с любым фактором не является решеткой.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

Пример неприводимой решетки задается подгруппой , который мы рассматриваем в качестве подгруппы посредством отображения , где представляет собой карту Галуа отправки Matric с коэффициентами в .${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

Ранг 1 против ранга более высокого [ править ]

Реальный ранг группы Ли является максимальной размерностью абелевой подгруппы , содержащей только полупростых элементы. Полупростые группы Ли действительного ранга 1 без компактных факторов (с точностью до изогении ) находятся в следующем списке (см. Список простых групп Ли ):

• В ортогональных группах из вещественных квадратичных форм подписи для ;${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• В унитарные группы по эрмитовых форм подписи для ;${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• Группы (группы матриц с кватернионными коэффициентами, которые сохраняют «кватернионную квадратичную форму» сигнатуры ) для ;${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$
• Исключительная группа Ли (вещественная форма 1 -го ранга , соответствующего исключительной алгебры Ли ).${\displaystyle F_{4}^{-20}}$${\displaystyle F_{4}}$

Реальный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток в первых двух семействах групп (и в меньшей степени, чем решеток в последних двух) сильно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Там существует неарифметическая решетка во всех группах , в , ^{[7] [8]} и , возможно, (последний является открытым вопросом ) , но все неразложимые решетки в других арифметически; ^{[9] [10]}${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечные нормальные подгруппы с бесконечным индексом, в то время как все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре; ^{[11] [12]}
• Предположительно, арифметические решетки в группах более высокого ранга обладают свойством конгруэнтной подгруппы ^[13], но есть много решеток, в которых есть неконгруэнтные подгруппы конечного индекса. ^[14]${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Собственность Каждана (Т) [ править ]

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраических структур в некоторых группах Ли, когда классические, более геометрические методы терпели неудачу или, по крайней мере, были не столь эффективны. Основной результат при изучении решеток следующий: ^[15]

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (T).

Используя гармонический анализ, можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они этим свойством или нет. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в не обладают свойством Каждана (T), в то время как неприводимые решетки во всех других простых группах Ли обладают;${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Свойства конечности [ править ]

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно представлены и фактически удовлетворяют более сильным условиям конечности . Для равномерных решеток это прямое следствие кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции. ^[16] Однако для простой конечной представимости гораздо более быстрое доказательство заключается в использовании свойства Каждана (T), когда это возможно.

Римановы многообразия, ассоциированные с решетками в группах Ли [ править ]

Левоинвариантные метрики [ править ]

Если это группа Ли , то из скалярного произведения на касательном пространстве (алгебры Ли ) можно построить риманова метрика на следующим образом : если принадлежат к касательной в точке положить , где указывает на касательную карту (в ) из диффеоморфизм из .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle \gamma \in G}$${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$${\displaystyle G}$

Карты для являются по определению изометриями для этой метрики . В частности, если - любая дискретная подгруппа в (так что она действует свободно и должным образом разрывно посредством левых сдвигов на ), фактор является римановым многообразием, локально изометричным метрике .${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$${\displaystyle \gamma \in G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \backslash G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$

Форма риманова объема , связанный с определяет меру Хаара на и мы видим , что фактор - многообразие конечного объема риманова тогда и только тогда , когда есть решетка.${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$

Интересные примеры в этом классе римановых пространств включают компактные плоские многообразия и нильмногообразия .

Локально-симметричные пространства [ править ]

Естественный внутренний продукт дается формой убийства . Если некомпактный, он не определен и, следовательно, не является внутренним продуктом: однако, когда он полупрост и является максимальной компактной подгруппой, его можно использовать для определения -инвариантной метрики на однородном пространстве : такие римановы многообразия называются симметрическими пространствами не- компактный шрифт без евклидовых факторов.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

Подгруппа действует свободно, правильно прерывно тогда и только тогда, когда она дискретна и не имеет кручения. Факторы называются локально симметричными пространствами. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между полными локально симметричными пространствами, локально изоморфными конечному римановому объему и имеющего конечный риманов объем, и решетками без кручения в . Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды с геометрической стороны.${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma \backslash X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Решетки в p-адических группах Ли [ править ]

Класс групп со свойствами, аналогичными (по отношению к решеткам) вещественным полупростым группам Ли, представляет собой полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например p-адическими полями . Существует арифметическая конструкция, аналогичная действительному случаю, и дихотомия между более высоким рангом и рангом один также сохраняется в этом случае, но в более заметной форме. Пусть алгебраическая группа над из сплит -ранга г . Потом:${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Если r не меньше 2, все неприводимые решетки в являются арифметическими;${\displaystyle G}$
• если r = 1, то существует несчетное количество классов соизмеримости неарифметических решеток. ^[17]

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (с точностью до конечного индекса).

S-арифметические группы [ править ]

В более общем плане можно рассматривать решетки в группах вида

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

где - полупростая алгебраическая группа над . Обычно допускается, и в этом случае это настоящая группа Ли. Пример такой решетки дает${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить, чтобы получить понятие S-арифметической группы . Теорема Маргулиса об арифметичности также применима к этой ситуации. В частности, если хотя бы два множителя некомпактны, то любая неприводимая решетка в является S-арифметической.${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G}$

Решетки в адельных группах [ править ]

Если -полупростая алгебраическая группа над числовым полем и его Adèle кольцо , то группа из Адельных точек хорошо определенно ( по модулю некоторых технических деталей ) , и это является локально компактной группой , которая , естественно , содержит группу из -рациональной точки в качестве дискретной подгруппы. Теорема Бореля – Хариш-Чандры распространяется на этот случай и представляет собой решетку. ^[18]${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Сильная теорема аппроксимации связывает фактор к более классической S-арифметической дробей. Этот факт делает группы аделей очень эффективными инструментами в теории автоморфных форм . В частности, современные формы формулы следов обычно формулируются и доказываются для адельных групп, а не для групп Ли.${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Жесткость [ править ]

Результаты жесткости [ править ]

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна как жесткость . Вот три классических примера результатов в этой категории.

Результаты о локальной жесткости утверждают, что в большинстве ситуаций каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованном топологией Шабо или топологией на многообразии характеров ), фактически сопряжена с исходной решеткой элементом окружающая группа Ли. Следствием локальной жесткости и теоремы Каждана-Маргулиса является теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любого v> 0 существует только конечное число (с точностью до сопряжения) решеток с коволюмом, ограниченным v .

Теорема о жесткости Мостова утверждает, что для решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных (группа матриц 2 на 2 с определителем 1), любой изоморфизм решеток по существу индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «запоминает» объемлющую группу Ли через ее групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильной жесткостью и принадлежит Джорджу Мостову и Гопалу Прасаду (Мостов доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай).${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Сверхжесткости обеспечивают (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) укрепление как местнаятак и сильной жесткость, имея дело с произвольными гомоморфизмами из решетки в алгебраической группе G в другую алгебраическую группе H . Это было доказано Григорием Маргулисом и является важным элементом доказательства его теоремы об арифметичности.

Нежесткость в малых измерениях [ править ]

Единственные полупростые группы Ли, для которых жесткость Мостова не выполняется, - это все группы, локально изоморфные . В этом случае на самом деле решеток непрерывно много, и они порождают пространства Тейхмюллера .${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Неоднородные решетки в группе не являются локально жесткими. Фактически они являются точками скопления (в топологии Чабо) решеток меньшего кообъема, что продемонстрировано гиперболической хирургией Дена .${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Поскольку решетки в p-адических группах ранга 1 являются практически свободными группами, они очень нежесткие.

Решетки деревьев [ править ]

Определение [ править ]

Пусть - дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; например, может быть обычным или двурегулярным деревом. Группа автоморфизмов из локально компактной группы (когда наделенное компактно-открытой топологии , в которой базис окрестностей единицы задается стабилизаторов конечных поддеревьев, которые являются компактными). Тогда любая группа, которая является решеткой в ​​некотором, называется решеткой деревьев .${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Дискретность в этом случае легко увидеть по действию группы на дереве: подгруппа в дискретна тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами.${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

Из базовой теории действий групп на деревьях легко видеть, что равномерные решетки деревьев являются практически свободными группами. Таким образом, более интересными решетками деревьев являются неоднородные, эквивалентные тем, для которых фактор-граф бесконечен. Существование таких решеток увидеть непросто.${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

Решетки деревьев из алгебраических групп [ править ]

Если это локальное поле положительной характеристики (т.е. завершение функции поля кривой над конечным полем, например поле формальных Laurent степенных рядов ) и алгебраическая группа , определенная над из -Сплит ранга один, то любая решетка в представляет собой решетку деревьев через свое действие на здание Брюа – Титса, которое в данном случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неоднородными, и в этом случае они никогда не будут конечно порожденными.${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Решетки деревьев из теории Басса – Серра [ править ]

Если - фундаментальная группа бесконечного графа групп , все группы вершин которых конечны, и при дополнительных необходимых предположениях на индекс групп ребер и размер групп вершин, то действие группы на дереве Басса-Серра связанный с графом групп, реализует его как решетку деревьев.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

Критерий существования [ править ]

В более общем плане можно задать следующий вопрос: если является замкнутой подгруппой в , при каких условиях действительно существует решетка? Существование равномерной решетки эквивалентно унимодулярности и конечности фактора . Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы быть унимодулярным, и чтобы фактор имел «конечный объем» в подходящем смысле (который может быть выражен комбинаторно через действие ), более общим, чем более сильный условие конечности фактора (что доказано самим существованием неоднородных решеток деревьев).${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\backslash T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\backslash T}$${\displaystyle H}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Решетки деревьев с приложениями Х. Басса, Л. Карбоне, А. Любоцкого, Г. Розенберга и Дж. Титса . Успехи в математике. Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-4120-3.CS1 maint: ref=harv (link)
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . с. x + 388. ISBN 3-540-12179-Х. Руководство по ремонту  1090825 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. ( В переводе с 1991 года русского оригинала Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. 139 . Бостон, Массачусетс: ISBN Academic Press, Inc. 0-12-558180-7. Руководство по ремонту  1278263 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Рагхунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . Руководство по ремонту  0507234 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы . Дедуктивный пресс. п. 492. ISBN. 978-0-9865716-0-2.CS1 maint: ref=harv (link)