Группа Гейзенберга

В математике , то группа Гейзенберга , названный в честь Вернера Гейзенберга , является группа из 3 × 3 верхних треугольных матриц вида${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

при операции умножения матриц . Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (приводящее к «непрерывной группе Гейзенберга») или кольцо целых чисел (приводящее к «дискретной группе Гейзенберга») .

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна – фон Неймана . В более общем смысле можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n -мерными системами и, в большинстве случаев, с любым симплектическим векторным пространством .

Трехмерный корпус [ править ]

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга имеет вид:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & a '& c' \\ 0 & 1 & b '\\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & a + a '& c + ab' + c '\\ 0 & 1 & b + b' \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ ,.}$

Как видно из члена ab ' , группа неабелева .

Нейтральный элемент группы Гейзенберга - единичная матрица , а обратные - равны

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & -a & ab-c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \ \\ конец {pmatrix}} \ ,.}$

Группа является подгруппой 2-мерной аффинной группы Aff (2): действие на соответствует аффинному преобразованию .${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle ({\ vec {x}}, 1)}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$

Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга [ править ]

Если a, b, c - действительные числа (в кольце R ), то имеется непрерывная группа Гейзенберга H ₃ ( R ).

Это нильпотентная вещественная группа Ли размерности 3.

В дополнение к представлению в виде вещественных матриц 3x3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств . По теореме Стоуна – фон Неймана существует, с точностью до изоморфизма, единственное неприводимое унитарное представление H, в котором его центр действует с заданным нетривиальным характером . Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует на пространстве функций, интегрируемых с квадратом . В тета-представлении он действует в пространстве голоморфных функций на верхней полуплоскости; он назван так из-за его связи с тета-функциями .

Дискретная группа Гейзенберга [ править ]

Если a, b, c - целые числа (в кольце Z ), то имеется дискретная группа Гейзенберга H ₃ ( Z ). Это неабелева нильпотентная группа . Он имеет два генератора,

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

и отношения

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$,

куда

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

является образующей центра H ₃ . (Обратите внимание, что обратные значения x , y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)

По теореме Басса он имеет полиномиальную скорость роста порядка 4.

Любой элемент можно сгенерировать через

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числа p [ править ]

Если взять a, b, c в Z / p Z в качестве нечетного простого числа p , то получится группа Гейзенберга по модулю p . Это группа порядка p ³ с образующими x, y и соотношениями:

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, точнее, дополнительными специальными группами экспоненты p . В более общем смысле, если производная подгруппа группы G содержится в центре Z группы G , то отображение из G / Z × G / Z → Z является кососимметрическим билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требование, чтобы G / Z было конечным векторным пространством, требует, чтобы подгруппа Фраттини группы G содержалась в центре, а требование, чтобы Z было одномерным векторным пространством над Z / p Z, требует, чтобы Z имел порядок p , поэтому если G неабелева, то G является дополнительным специальным. Если G является дополнительным специальным , но не имеет показатель степени р , то общую конструкцию ниже применительно к симплектическому векторного пространства G / Z не дает группу , изоморфную G .

Группа Гейзенберга по модулю 2 [ править ]

Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе диэдра D ₄ (симметрии квадрата). Обратите внимание, что если

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

потом

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Элементы x и y соответствуют отражениям (с 45 ° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90 °. Остальные отражения - xyx и yxy , а поворот на 180 ° - xyxy (= yxyx ).

Алгебра Гейзенберга [ править ]

Алгебра Ли группы Гейзенберга (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. ^[1] Он представлен с помощью пространства матриц вида ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$,

с . Следующие три элемента составляют основу :${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$.

Базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими соотношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I;\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0;\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0}$,

где - оператор положения, - оператор импульса, - постоянная Планка.${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle \hbar }$

Группа Гейзенберга обладает тем особенным свойством, что экспоненциальное отображение взаимно однозначно и на отображение из алгебры Ли в группу . ^[3]${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$

Высшие измерения [ править ]

Более общие группы Гейзенберга могут быть определены для более высоких размерностей в евклидовом пространстве и, в более общем плане, на симплектических векторных пространствах . Самый простой общий случай - это вещественная группа Гейзенберга размерности для любого целого числа . Как группа матриц (или, чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем действительных чисел) определяется как групповые матрицы с записями в и имеющими форму:${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

куда

a - вектор-строка длины n ,

b - вектор-столбец длины n ,

I _n - единичная матрица размера n .

Структура группы [ править ]

Это действительно группа, как показывает умножение:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Алгебра Ли [ править ]

Группа Гейзенберга - это односвязная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

куда

a - вектор-строка длины n ,

b - вектор-столбец длины n ,

0 _n - нулевая матрица размера n .

Допуская e ₁ , ..., e _n канонический базис R ⁿ и полагая

${\displaystyle p_{i}={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle q_{j}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{i},q_{j}\end{bmatrix}}=\delta _{ij}z,\qquad {\begin{bmatrix}p_{i},z\end{bmatrix}}=0,\qquad {\begin{bmatrix}q_{j},z\end{bmatrix}}=0~,}$

(1)

где p ₁ , ...,  p _n , q ₁ , ...,  q _n , z - образующие алгебры.

В частности, z - центральный элемент алгебры Ли Гейзенберга. Отметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта [ править ]

Позволять

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

который выполняет . Экспоненциальное отображение имеет значение${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизмом между алгеброй Ли и уникальной связанной подключен , односвязной группы Ли.

Это обсуждение (кроме заявлений , относящихся к измерению и группе Ли) , дополнительно применяется , если заменить R любого коммутативного кольца A . Соответствующая группа обозначается H _n ( A ).

При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A , экспоненциальное отображение также определено, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет вид, указанный выше (т.е. A может быть кольцом Z / p Z с нечетным простым числом p или любое поле по характеристике 0).

Теория представлений [ править ]

Унитарная теория представлений группы Гейзенберга довольно проста - позже обобщенная теорией Макки - и послужила мотивацией для ее введения в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа , мы можем определить неприводимое унитарное представление о действующих в гильбертовом пространстве по формуле: ^[4]${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$${\displaystyle H_{2n+1}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

Это представление известно как представление Шредингера . Мотивом для этого представления является действие экспоненциальных операторов положения и импульса в квантовой механике. Параметр описывает переводы в пространстве позиций, параметр описывает переводы в импульсном пространстве, а параметр дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку трансляции в пространстве позиций и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

Ключевым результатом является теорема Стоуна – фон Неймана , которая утверждает, что любое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно для некоторого . ^{[5] С} другой стороны, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) на симплектическом пространстве размерности 2 n .${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$${\displaystyle \hbar }$

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением группы , ее неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления группы . Концептуально, представленное выше представление представляет собой квантово-механический аналог группе трансляционных симметрий на классическом фазовом пространстве . То, что квантовая версия является только проективным представлением, предполагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами трансляций в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Однако оболочка этих функций не образует алгебру Ли под скобкой Пуассона , поскольку${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle R^{2n}}$${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$Скорее, диапазон функций положения и импульса, а также констант образует алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли , изоморфной алгебре Ли группы Гейзенберга.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

О симплектических векторных пространствах [ править ]

Общая абстракция группы Гейзенберга строится из любого симплектического векторного пространства . ^[6] Например, пусть ( V , ω) - конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω - невырожденная кососимметрическая билинейная форма на V ). Группа Гейзенберга H ( V ) на ( V , ω) (или просто V для краткости) - это множество V × R, наделенное групповым законом

${\displaystyle (v,t)\cdot (v',t')=\left(v+v',t+t'+{\tfrac {1}{2}}\omega (v,v')\right).}$

Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной группы V . Таким образом, существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n,} удовлетворяющий ω ( e _j , f ^k ) = δ _j ^k, и где 2 n - размерность V (размерность V равна обязательно даже). В терминах этого базиса каждый вектор распадается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

Д и р являются канонически сопряженные координаты .

Если { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} - базис Дарбу для V , то пусть { E } будет базисом для R , и { e _j , f ^k , E } _{1 ≤ j , k ≤ n} является соответствующим основанием для V × R . Тогда вектор в H ( V ) задается формулой

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

и групповой закон становится

${\displaystyle (p,q,t)\cdot (p',q',t')=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Поскольку основное многообразие группы Гейзенберга является линейным пространством, векторы в алгебре Ли можно канонически отождествлять с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

или написано в терминах базиса Дарбу

${\displaystyle [\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}]=\delta _{a}^{b}}$

а все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, но который дает группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать u вместо t , поэтому вектор задается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

и групповой закон

${\displaystyle (p,q,u)\cdot (p',q',u')=(p+p',q+q',u+u'+pq').}$

Элемент группы

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

затем можно представить в виде матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ ,

что дает точное матричное представление H ( V ). У в этой формулировке связано с т в предыдущей постановке на , так что т значение для продукта приходит${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle u+u'+pq'-{\tfrac {1}{2}}(p+p')(q+q')}$

${\displaystyle =t+{\tfrac {1}{2}}pq+t'+{\tfrac {1}{2}}p'q'+pq'-{\tfrac {1}{2}}(p+p')(q+q')}$

${\displaystyle =t+t'+{\tfrac {1}{2}}(pq'-p'q)}$ ,

как прежде.

Изоморфизм к группе с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что сводится к выбору изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную указанной выше, группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга в качестве напоминания о том, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выборе лагранжевого подпространства из V является поляризация ).

Для любой алгебры Ли, существует единственная связная , односвязная группа Ли G . Все остальные подключенные группы Ли с одной и той же алгебры Ли как G имеют вид G / N , где N является центральной дискретной группы в G . В этом случае в центре H ( V ) является R и только дискретные подгруппы изоморфны Z . Таким образом, H ( V ) / Zявляется другой группой Ли, которая разделяет эту алгебру Ли. Следует отметить, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; она не изоморфна какой-либо матричной группе. Однако у него есть хорошо известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля [ править ]

Алгебра Ли группы Гейзенберга была описана выше (1) как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта применяется для определения универсальной обертывающей алгебры . Помимо других свойств, универсальная обертывающая алгебра является ассоциативной алгеброй, в которую встраивается инъективно.${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

Таким образом, по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта это свободное векторное пространство, порожденное мономами

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

где все показатели неотрицательны.

Следовательно, состоит из действительных многочленов ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

с коммутационными соотношениями

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

Алгебра тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов на ℝ ⁿ с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Эта алгебра называется алгеброй Вейля . Из абстрактной чепухи следует, что алгебра Вейля W _n является фактором . Однако это также легко увидеть непосредственно из представленных выше изображений; а именно отображением${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Приложения [ править ]

Параметризация квантовой механики Вейля [ править ]

Приложение , которое привело Герман Вейль к явной реализации группы Гейзенберга был вопрос о том, почему картина Шредингера и Гейзенберга картина физически эквивалентны. Абстрактно, причиной является теорема Стоуна – фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным действием элемента центральной алгебры Ли z с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычным положению и импульсу операторы.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны - это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.

Тета-представление [ править ]

Тот же самый результат единственности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы многообразия . Это большое обобщение подхода, используемого в эллиптических функциях Якоби , который является случаем группы Гейзенберга по модулю 2, порядка 8. Простейшим случаем является тета-представление группы Гейзенберга, дискретный случай которой дает тета-функцию .

Анализ Фурье [ править ]

Группа Гейзенберга также встречается в анализе Фурье , где она используется в некоторых формулировках теоремы Стоуна – фон Неймана . В этом случае можно понять, что группа Гейзенберга действует на пространстве функций, интегрируемых с квадратом ; результатом является представление групп Гейзенберга, иногда называемое представлением Вейля.

Как субриманово многообразие [ править ]

Трехмерную группу Гейзенберга H ₃ ( R ) на вещественных числах также можно понимать как гладкое многообразие и, в частности, как простой пример субриманова многообразия . ^[7] Для точки p = ( x , y , z ) в R ³ определим дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Это одна форма принадлежит кокасательного расслоения из R ³ ; то есть,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

- отображение на касательном расслоении . Позволять

${\displaystyle H_{p}=\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\}.}$

Видно, что H является подрасслоением касательного расслоения T R ³ . Cometric на H задается путем проецирования векторов для двумерного пространства , натянутого на векторы в х и у направлении. То есть, учитывая векторы и в T R ³ , внутренний продукт определяется как${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается векторными полями Ли

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},}$

${\displaystyle Y={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},}$

${\displaystyle Z={\frac {\partial }{\partial z}},}$

которые подчиняются соотношениям [ X , Y ] = Z и [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. В геодезических на многообразии являются спиралями, выступающий вниз по кругу в двух измерениях. То есть, если

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

является геодезической кривой, то кривая представляет собой дугу окружности и${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, образуемого дугой окружности , что следует из теоремы Стокса .

Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы [ править ]

В более общем случае можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K , снабженной мерой Хаара . ^[8] Такая группа имеет двойственную по Понтрягину группу , состоящую из всех непрерывных -значных характеров на K , которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытой топологией . Группа Гейзенберга, ассоциированная с локально компактной абелевой группой K, является подгруппой унитарной группы в, порожденной переводами из K и умножениями на элементы из .${\displaystyle {\hat {K}}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

Более подробно, гильбертово пространство состоит из квадратично интегрируемых функций на K . Переводы в K образуют унитарное представление о K как операторы :${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

для . То же самое и с умножением на символы:${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

для . Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle (T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

умножение на фиксированное комплексное число единичного модуля.

Таким образом, группа Гейзенберга, связанная с K, является типом центрального расширения группы через точную последовательность групп:${\displaystyle H(K)}$${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группе когомологий . Существование двойственности между и приводит к каноническому коциклу, но обычно существуют и другие.${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

Группа Гейзенберга действует неприводимо на . Действительно, непрерывные символы разделяют точки ^[9], поэтому любой унитарный оператор, который коммутирует с ними, является мультипликатором . Но переключение с переводами подразумевает, что множитель постоянен. ^[10]${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{\infty }}$

Версия теоремы Стоуна – фон Неймана , доказанная Джорджем Макки , верна для группы Гейзенберга . ^{[11] [12]} Преобразование Фурье является уникальным сплетником между представлениями и . См. Обсуждение в теореме Стоуна – фон Неймана # Связь с преобразованием Фурье для подробностей.${\displaystyle H(K)}$${\displaystyle L^{2}(K)}$${\displaystyle L^{2}({\hat {K}})}$

См. Также [ править ]

• Канонические коммутационные соотношения
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Проективное представление

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для выпускников по математике. 222 (второе изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе» . Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–843. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1980-14825-9 . Руководство по ремонту  0578375 .
• Кириллов, Александр А. (2004). "Глава 2:" Представления и орбиты группы Гейзенберга ". Лекции по методу орбит . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3530-0.
• Макки, Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0226500522.

Внешние ссылки [ править ]

• Groupprops, The Group Properties Wiki Группа унитреугольных матриц UT (3, p)