В математике и теоретической физика , то Стоун-фон Нейман теорема относится к любому из ряда различных формулировок единственности из канонических коммутационных соотношений между позиционными и импульсами операторами . Он назван в честь Маршалла Стоуна и Джона фон Неймана . [1] [2] [3] [4]
Вопросы представления коммутационных отношений
В квантовой механике физические наблюдаемые математически представлены линейными операторами в гильбертовых пространствах .
Для одиночной частицы, движущейся по реальной прямой , есть две важные наблюдаемые: позиция и импульс . В квантовом описании такой частицы в представлении Шредингера оператор положения x и оператор импульса соответственно даются
на домене бесконечно дифференцируемых функций компактного носителя на . Предполагатьбыть фиксированным ненулевым действительным числом - в квантовой теории- это приведенная постоянная Планка , которая содержит единицы действия (энергия, умноженная на время).
Операторы , удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению алгебры Ли,
Уже в своей классической книге [5] Герман Вейль заметил, что этот закон коммутации невозможно удовлетворить для линейных операторов p , x, действующих в конечномерных пространствах, если ℏ не обращается в нуль. Это становится очевидным, если взять след по обеим сторонам последнего уравнения и использовать соотношение Trace ( AB ) = Trace ( BA ) ; левая часть равна нулю, правая ненулевая. Дальнейший анализ [примечание 1] показывает, что на самом деле любые два самосопряженных оператора, удовлетворяющие вышеуказанному коммутационному соотношению, не могут быть одновременно ограниченными . Для удобства записи неисчезающее квадратный корень из ℏ может всасываться в нормализации р и х , так что, по сути, оно заменяется на 1. Предположим , эта нормализация в дальнейшем.
Идея теоремы Стоуна – фон Неймана состоит в том, что любые два неприводимых представления канонических коммутационных соотношений унитарно эквивалентны. Однако, поскольку задействованные операторы обязательно неограниченны (как отмечалось выше), возникают сложные проблемы домена, которые позволяют создавать контрпримеры. [6] : Пример 14.5. Чтобы получить строгий результат, нужно потребовать, чтобы операторы удовлетворяли экспоненциальной форме канонических коммутационных соотношений, известных как отношения Вейля. Возведенные в степень операторы ограничены и унитарны. Хотя, как отмечено ниже, эти соотношения формально эквивалентны стандартным каноническим коммутационным соотношениям, эта эквивалентность не является строгой из-за (опять же) неограниченной природы операторов. (Существует также дискретный аналог соотношений Вейля, который может содержать в конечномерном пространстве, [6] : Глава 14, упражнение 5 , а именно Сильвестра «ы часы и сдвига матрицы в конечной группе Гейзенберга, обсуждается ниже.)
Уникальность представления
Хотелось бы классифицировать представления канонического коммутационного отношения двумя самосопряженными операторами, действующими в сепарабельных гильбертовых пространствах, с точностью до унитарной эквивалентности . По теореме Стоуна существует взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами и (сильно непрерывными) однопараметрическими унитарными группами.
Пусть Q и P - два самосопряженных оператора, удовлетворяющих каноническому коммутационному соотношению, [ Q , P ] = i , а s и t - два вещественных параметра. Введем e itQ и e isP , соответствующие унитарные группы, заданные функциональным исчислением . (Для явных операторов x и p, определенных выше, это умножение на e itx и возврат путем перевода x → x + s .) Формальное вычисление [6] : раздел 14.2 (с использованием частного случая формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа ) легко дает
Наоборот, если даны две однопараметрические унитарные группы U ( t ) и V ( s ), удовлетворяющие соотношению плетения
( E1 )
формальное дифференцирование в 0 показывает, что два бесконечно малых образующих удовлетворяют вышеупомянутому каноническому коммутационному соотношению. Эта формулировка канонических коммутационных соотношений (CCR) для однопараметрических унитарных групп называется формой Вейля для CCR .
Важно отметить, что предыдущий вывод носит чисто формальный характер. Поскольку задействованные операторы не ограничены, технические проблемы препятствуют применению формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа без дополнительных предположений об области. Действительно, существуют операторы, удовлетворяющие соотношению канонической коммутации, но не соотношениям Вейля ( E1 ). [6] : Пример 14.5 Тем не менее, в «хороших» случаях мы ожидаем, что операторы, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению, также будут удовлетворять соотношениям Вейля.
Таким образом, проблема сводится к классификации двух совместно неприводимых однопараметрических унитарных групп U ( t ) и V ( s ), которые удовлетворяют соотношению Вейля на сепарабельных гильбертовых пространствах. Ответ заключается в содержании теоремы Стоуна – фон Неймана : все такие пары однопараметрических унитарных групп унитарно эквивалентны . [6] : Теорема 14.8 Другими словами, для любых двух таких U ( t ) и V ( s ), действующих совместно неприводимо в гильбертовом пространстве H , существует унитарный оператор W : L 2 ( R ) → H, так что
где p и x - явные операторы положения и импульса, представленные ранее. Когда W является U в этом уравнении, тогда в x -представлении очевидно, что P унитарно эквивалентно e - itQ P e itQ = P + t , а спектр P должен простираться вдоль всей действительной линии . Аналоговый аргумент имеет место для Q .
Существует также прямое расширение теоремы Стоуна – фон Неймана на n степеней свободы. [6] : Теорема 14.8.
Исторически сложилось, что этот результат был значительным, потому что это было ключевым шагом в доказательстве , что Гейзенберга «s матричная механика , которая представляет квантовые наблюдаемые и динамика в терминах бесконечных матриц, унитарно эквивалентно Шредингера » с волновой механической композиции (см Шредингера картину ) ,
Формулировка теории представлений
С точки зрения теории представлений теорема Стоуна – фон Неймана классифицирует некоторые унитарные представления группы Гейзенберга . Это обсуждается более подробно в разделе о группе Гейзенберга ниже.
Неформально сформулировано, с некоторыми техническими предположениями, каждое представление группы Гейзенберга H 2 n + 1 эквивалентно операторам положения и операторам импульса на R n . С другой стороны, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) на симплектическом пространстве размерности 2 n .
Более формально существует единственное (с точностью до масштаба) нетривиальное центральное сильно непрерывное унитарное представление.
Позже это было обобщено теорией Макки и послужило мотивацией для введения группы Гейзенберга в квантовую физику.
В деталях:
- Непрерывная группа Гейзенберга является центральным расширением абелевой группы Ли R 2 n копией R ,
- соответствующая алгебра Гейзенберга является центральным расширением абелевой алгебры Ли R 2 n (с тривиальной скобкой ) копией R ,
- дискретная группа Гейзенберга является центральным расширением свободной абелевой группы Z 2 n с помощью копии Z , и
- дискретная группа Гейзенберга по модулю р является центральным расширением свободной абелевой р -группы ( Z / р Z ) 2 п копией Z / р Z .
Во всех случаях, если у кого-то есть представление H 2 n + 1 → A , где A - алгебра [ требуется пояснение ], а центр отображается в ноль, то у него просто есть представление соответствующей абелевой группы или алгебры, которое является фурье-структурой. теория . [ требуется разъяснение ]
Если центр не отображается в ноль, у человека более интересная теория, особенно если ограничиваться центральными представлениями.
Конкретно, под центральным представлением понимается такое представление, что центр группы Гейзенберга отображается в центр алгебры : например, если кто-то изучает представления матриц или представления операторами в гильбертовом пространстве, то центр матрицы алгебра или операторная алгебра - это скалярные матрицы . Таким образом, представление центра группы Гейзенберга определяется значением масштаба, называемым значением квантования (с точки зрения физики, постоянной Планка), и если оно стремится к нулю, получается представление абелевой группы (с точки зрения физики, это классический предел).
Более формально групповая алгебра группы Гейзенберга над ее полем скаляров K , записанная K [ H ] , имеет центр K [ R ] , поэтому вместо того, чтобы просто думать о групповой алгебре как об алгебре над полем K , можно подумать его как алгебру над коммутативной алгеброй K [ R ] . Поскольку центром матричной алгебры или операторной алгебры являются скалярные матрицы, K [ R ] -структура матричной алгебры - это выбор скалярной матрицы - выбор масштаба. При таком выборе масштаба центральное представление группы Гейзенберга является отображением K [ R ] -алгебр K [ H ] → A , что является формальным способом сказать, что оно переводит центр в выбранный масштаб.
Тогда теорема Стоуна – фон Неймана состоит в том, что, учитывая стандартную квантово-механическую шкалу (фактически, значение ħ), каждое сильно непрерывное унитарное представление унитарно эквивалентно стандартному представлению с положением и импульсом.
Переформулировка с помощью преобразования Фурье
Пусть G локально компактная абелева группа G ^ будет Понтрягина двойной из G . Преобразование Фурье – Планшереля, определяемое формулой
продолжается до С * -изоморфизм из группы С * -алгебра С * ( G ) из G и C 0 ( G ^ ) , т.е. спектра из C * ( G ) является именно G ^ . Когда G - вещественная прямая R , это теорема Стоуна, характеризующая унитарные группы с одним параметром. Теорема Стоуна – фон Неймана также может быть переформулирована с использованием аналогичного языка.
Группа G действует на C * -алгебре C 0 ( G ) правым переносом ρ : для s в G и f в C 0 ( G ) ,
При указанном выше изоморфизме это действие становится естественным действием G на С * ( G ^ ) :
Итак, ковариантное представление, соответствующее C * - скрещенному произведению
является унитарное представление U ( ы ) из G и V ( Г ) из G ^ такое , что
Ковариантные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с * -представлением соответствующего скрещенного произведения. С другой стороны, все неприводимые представления о
унитарно эквивалентны , компактные операторы на L 2 ( G )) . Следовательно, все пары { U ( s ), V ( γ )} унитарно эквивалентны. Специализируясь на случае, когда G = R, получаем теорему Стоуна – фон Неймана.
Группа Гейзенберга
Вышеупомянутые канонические коммутационные соотношения для P , Q идентичны коммутационным соотношениям, которые задают алгебру Ли общей группы Гейзенберга H 2n + 1 для положительного целого числа n . Это группа Ли из ( п + 2) × ( п + 2) квадратные матрицы вида
Фактически, используя группу Гейзенберга, можно переформулировать теорему Стоуна фон Неймана на языке теории представлений.
Отметим, что центр H 2n + 1 состоит из матриц M (0, 0, c ) . Однако этот центр не является тождественным оператором в исходных CCR Гейзенберга. Генераторы алгебры Ли группы Гейзенберга, например, для n = 1 , являются
и центральный образующий z = log M (0, 0, 1) = exp ( z ) - 1 не является тождественным.
- Теорема. Для каждого ненулевого действительного числа h существует неприводимое представление U h, действующее в гильбертовом пространстве L 2 ( R n ) формулой
Все эти представления унитарно неэквивалентны ; и любое неприводимое представление, не являющееся тривиальным в центре H n , унитарно эквивалентно ровно одному из них.
Обратите внимание, что U h является унитарным оператором, потому что это композиция двух операторов, которые, как легко видеть, унитарны: сдвиг влево на ha и умножение на функцию с абсолютным значением 1. Доказать, что U h мультипликативен, несложно. расчет. Сложная часть теоремы показывает ее уникальность; это утверждение, тем не менее, легко следует из сформулированной выше теоремы Стоуна – фон Неймана. Ниже мы сделаем набросок доказательства соответствующей теоремы Стоуна – фон Неймана для некоторых конечных групп Гейзенберга.
В частности, неприводимые представления π , π ′ группы Гейзенберга H n , нетривиальные в центре H n , унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда π ( z ) = π ′ ( z ) для любого z в центре H n .
Одно из представлений группы Гейзенберга, которое важно в теории чисел и теории модулярных форм, - это тэта-представление , названное так потому, что тэта-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга.
Связь с преобразованием Фурье
Для любого ненулевого h отображение
является автоморфизм из Н п , тождественный по центру H н . В частности, представления U h и U h α унитарно эквивалентны. Это означает , что существует унитарный оператор W на L 2 ( R п ) такое , что для любого г в Н н ,
Более того, в силу неприводимости представлений U h следует, что с точностью до скаляра такой оператор W единственен (см . Лемму Шура ). Поскольку W унитарен, это скалярное кратное определяется однозначно и, следовательно, такой оператор W единственен.
Теорема . Оператор W представляет собой преобразование Фурье на L 2 ( R п ) .
Это означает, что без учета множителя (2 π )п/2 в определении преобразования Фурье,
Из этой теоремы сразу следует, что преобразование Фурье унитарно , также известное как теорема Планшереля . Более того,
Теорема . Оператор W 1 такой, что
оператор отражения
Отсюда легко следует формула обращения Фурье .
Пример: пространство Сигала – Баргмана.
Пространство Сигала – Баргмана - это пространство голоморфных функций на C n , интегрируемых с квадратом относительно гауссовской меры. Фок заметил в 1920-х годах, что операторы
действующие на голоморфные функции, удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и обычные операторы уничтожения и рождения, а именно,
В 1961 году Bargmann показал , что а ,∗
jна самом деле является сопряженным к j относительно скалярного произведения, полученного из гауссовской меры. Выбирая подходящие линейные комбинации a j и a∗
j, тогда можно получить операторы «положения» и «импульса», удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Нетрудно показать, что экспоненты этих операторов удовлетворяют соотношениям Вейля и что экспоненциальные операторы действуют неприводимо. [6] : Раздел 14.4 Таким образом, применяется теорема Стоуна – фон Неймана, из которой следует существование унитарного отображения из L 2 ( R n ) в пространство Сигала – Баргмана, которое сплетает обычные операторы уничтожения и рождения с операторами a j и a∗
j. Это унитарное отображение является преобразованием Сигала – Баргмана .
Представления конечных групп Гейзенберга
Группа Гейзенберга Н п ( К ) определяется для любого коммутативного кольца K . В этом разделе мы специализируемся на поле K = Z / p Z для простого p . Это поле имеет свойство , что существует вложение ω из K в качестве аддитивной группы в круг группы Т . Отметим, что H n ( K ) конечно с мощностью | K | 2 п + 1 . Для конечной группы Гейзенберга H n ( K ) можно дать простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана, используя простые свойства характерных функций представлений. Эти свойства следуют из соотношений ортогональности характеров представлений конечных групп.
Для любого ненулевого h в K определим представление U h на конечномерном внутреннем пространстве произведения ℓ 2 ( K n ) следующим образом:
- Теорема. При фиксированном ненулевая ч , функция характер χ из U ч определяются по формуле:
Следует, что
В силу соотношений ортогональности характеров представлений конечных групп этот факт влечет соответствующую теорему Стоуна – фон Неймана для групп Гейзенберга H n ( Z / p Z ) , в частности:
- Несводимость U h
- Попарная неэквивалентность всех представлений U h .
Фактически, все неприводимые представления H n ( K ), на которых действует центр, нетривиально возникают таким образом. [6] : Глава 14, Упражнение 5
Обобщения
Теорема Стоуна – фон Неймана допускает множество обобщений. Большая часть ранних работ Джорджа Макки была направлена на получение формулировки [7] теории индуцированных представлений, первоначально разработанной Фробениусом для конечных групп, в контексте унитарных представлений локально компактных топологических групп.
Смотрите также
- Представление осциллятора
- Преобразование Вигнера – Вейля
- CCR и CAR алгебры (для бозонов и фермионов соответственно)
- Пространство Сегала – Баргмана.
- Мойял продукт
- Алгебра Вейля
- Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
- Теорема Хилле – Иосиды
- C0-полугруппа
Заметки
- ^ [ x n , p ] = i ℏ nx n - 1 , следовательно, 2 || p || || х || n ≥ n ℏ || х || n - 1 , так что ∀ n : 2 || p || || х || ≥ п ℏ .
Рекомендации
- ^ Фон Неймана, Дж (1931), "Die Eindeutigkeit дер Schrödingerschen Operatoren", Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 104 : 570-578, DOI : 10.1007 / BF01457956 , ISSN 0025-5831
- ^ фон Неймана, Дж (1932), "Ueber Einen Затц фон Неггп М. Стоун", Анналы математики , второй серии (на немецком языке ), Annals математики, 33 (3): 567-573, DOI : 10,2307 / 1968535 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968535
- ^ Стоун, М. Х. (1930), "Линейные преобразования в гильбертовом пространстве. III. Операционные методы и теория групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , Национальная академия наук, 16 (2): 172–175 , Bibcode : 1930PNAS ... 16..172S , DOI : 10.1073 / pnas.16.2.172 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 85485 , PMC 1075964 , PMID 16587545
- ^ Камень, MH (1932), "О однопараметрическими унитарных групп в гильбертовом пространстве", Annals математики , 33 (3): 643-648, DOI : 10,2307 / 1968538 , JSTOR 1968538
- ^ Вейль, Х. (1927), "Quantenmechanik унд Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik , 46 (1927)стр 1-46,. DOI : 10.1007 / BF02055756 ; Вейль Х. Теория групп и квантовая механика. Dover Publications, 1950. ISBN 978-1-163-18343-4 .
- ^ Б с д е е г ч Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Перейти ↑ Mackey, GW (1976). Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета, 1976.
- Кириллов, А.А. (1976), Элементы теории представлений , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 220 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, Руководство по ремонту 0407202
- Розенберг, Джонатан (2004) «Избирательная история теоремы Стоуна – фон Неймана» Современная математика 365 . Американское математическое общество.
- Саммерс, Стивен Дж. (2001). «О теореме единственности Стоуна – фон Неймана и ее разветвлениях». В книге «Джон фон Нейман и основы квантовой физики» , стр. 135–152. Спрингер, Дордрехт, 2001, онлайн .