Функциональное исчисление

В математике , функциональное исчисление является теорией позволяющей применять математические функции для математических операторов . Сейчас это отрасль (точнее, несколько смежных областей) области функционального анализа , связанная со спектральной теорией . (Исторически этот термин также использовался как синоним вариационного исчисления ; это использование устарело, за исключением функциональной производной . Иногда он используется в отношении типов функциональных уравнений или в логике для систем исчисления предикатов .)

Если это функция, скажем числовая функция действительного числа , и оператор, то нет особой причины, по которой выражение должно иметь смысл. Если это так, то мы больше не используем его исходную функциональную область . В традициях операционного исчисления алгебраические выражения в операторах обрабатываются независимо от их значения. Это проходит почти незамеченным , если мы говорим о «квадратуре матрицу», хотя, что это случай и матрицы . Идея функционального исчисления состоит в том, чтобы создать принципиальный подход к такого рода перегрузке нотации. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f (M)}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

Самый непосредственный случай - применить полиномиальные функции к квадратной матрице , расширяя то, что только что обсуждалось. В конечномерном случае полиномиальное функциональное исчисление дает довольно много информации об операторе. Например, рассмотрим семейство многочленов, которое аннулирует оператор . Это семейство является идеалом в кольце многочленов. Кроме того, это нетривиальный идеал: пусть будет конечной размерностью алгебры матриц, тогда она линейно зависима. Так что для некоторых скаляров не все равны 0. Это означает, что многочлен лежит в идеале. Поскольку кольцо многочленов является областью главных идеалов${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ {Я, Т, Т ^ {2}, \ ldots, Т ^ {п} \}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} \ альфа _ {я} T ^ {я} = 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} \ альфа _ {я} х ^ {я}}$, этот идеал порождается некоторым многочленом . Если необходимо, умножив на единицу, мы можем выбрать моническое число. Когда это будет сделано, многочлен будет в точности минимальным многочленом от . Этот многочлен дает глубокую информацию о . Например, скаляр является собственным значением тогда и только тогда, когда является корнем . Кроме того , иногда можно использовать для вычисления экспоненты из эффективно. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T}$

Полиномиальное исчисление не так информативно в бесконечномерном случае. Рассмотрим односторонний сдвиг с исчислением многочленов; идеал, определенный выше, теперь тривиален. Таким образом, нас интересуют более общие функциональные исчисления, чем полиномы. Предмет тесно связан со спектральной теорией , поскольку для диагональной матрицы или оператора умножения довольно ясно, какими должны быть определения.

См. Также [ править ]

• Голоморфное функциональное исчисление
• Непрерывное функциональное исчисление
• Функциональное исчисление Бореля

Ссылки [ править ]

• "Функциональное исчисление" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с функциональным исчислением на Викискладе?