В математике , то домен или набор вылета из в функции есть множество , в котором все вход функции ограничен падать. [1] Это множество X в обозначении f : X → Y , которое также обозначается как. [2] Поскольку (полная) функция определена на всей своей области определения, ее область определения совпадает с областью определения . [3] Однако это совпадение больше не верно для частичной функции , поскольку область определения частичной функции может быть надлежащим подмножеством области.
Домен является частью функции ф , если F определяется как тройной ( X , Y , G ) , где Х называется доменом из F , Y ее области значений , а G его график . [4]
Область не является частью функции f, если f определяется как просто граф. [5] [6] Например, в теории множеств иногда удобно разрешить области определения функции быть надлежащим классом X , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функция не имеет домена, хотя некоторые авторы до сих пор используют его неофициально после введения функции в виде F : X → Y . [7]
Например, область определения косинуса - это набор всех действительных чисел , а область определения квадратного корня состоит только из чисел, больших или равных 0 (без учета комплексных чисел в обоих случаях).
Если область определения функции является подмножеством действительных чисел и функция представлена в декартовой системе координат , то область представлена на оси x .
Примеры
Четко определенная функция должна отображать каждый элемент своего домена на элемент своего кодомена. Например, функция определяется
не имеет значения для . Таким образом, набор всех действительных чисел ,, не может быть его доменом. В таких случаях функция либо определена на, или «пробел заполнен» путем определения явно. Например. если расширить определениек кусочной функции
тогда определен для всех действительных чисел, а его область определения .
Любая функция может быть ограничена подмножеством своего домена. Ограничение на к , где , записывается как .
Естественный домен
Естественная область функции (иногда укороченная , как домен) является максимальным множеством значений , для которых определяются функция, как правило , в пределах чисел , но иногда среди целых чисел или комплексных чисел , а также. Например, естественная область квадратного корня - это неотрицательные действительные числа, если рассматривать их как функцию действительного числа. При рассмотрении естественного домена набор возможных значений функции обычно называется ее диапазоном . [8] Кроме того, в комплексном анализе, особенно нескольких комплексных переменных , когда функция f голоморфна в областии не может напрямую подключаться к домену за пределами D , включая точку границы доменаДругими словами, такая область D является естественной областью в смысле аналитического продолжения , область D называется областью голоморфности из е и граница называется урочищем е .
Теория категорий
Теория категорий занимается морфизмами вместо функций. Морфизмы - это стрелки от одного объекта к другому. Область любого морфизма - это объект, с которого начинается стрелка. В этом контексте следует отказаться от многих теоретико-множественных идей о предметных областях - или, по крайней мере, сформулировать их более абстрактно. Например, понятие ограничения морфизма подмножеством его домена должно быть изменено. Подробнее см. Подобъект .
Другое использование
Слово «область» используется с другими связанными значениями в некоторых областях математики. В топологии домен - это подключенный открытый набор . [9] В реальном и сложном анализе область представляет собой открытое связное подмножество реального или комплексного векторного пространства. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных область - это открытое связное подмножество евклидова пространства. где поставлена проблема (т. е. где определены неизвестные функции).
Более общие примеры
Как частичная функция от действительных чисел к действительным числам функция есть домен . Однако, если определить квадратный корень из отрицательного числа x как комплексное число z с положительной мнимой частью, такое что z 2 = x , тогда функцияимеет целую реальную строку в качестве своего домена (но теперь с большим codomain). Область определения тригонометрической функции это набор всех (действительных или комплексных) чисел, которые не имеют формы .
Смотрите также
- Домен атрибута
- Биекция, инъекция и сюръекция
- Codomain
- Декомпозиция домена
- Действующий домен
- Изображение (математика)
- Липшицевский домен
- Наивная теория множеств
- Поддержка (математика)
Заметки
- ↑ Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970 г.). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF) . Коммуникации ACM . 13 (6): 377–387. DOI : 10.1145 / 362384.362685 . Проверено 29 апреля 2020 .
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ Пейли, Хирам ; Вайксель, Пол М. (1966). Первый курс абстрактной алгебры . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 16 .
- Перейти ↑ Bourbaki 1970 , p. 76
- Перейти ↑ Bourbaki 1970 , p. 77
- ^ Форстер 2003 , стр. 10–11
- Перейти ↑ Eccles 1997 , п. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Mac Lane 1998 , стр. 8 ; Мак-Лейн, в Scott & Jech 1967 , стр. 232 ; Шарма 2004 , стр. 91 ; Стюарт и Толл 1977 , стр. 89
- ^ Розенбаум, Роберт А .; Джонсон, Дж. Филип (1984). Исчисление: основные понятия и приложения . Издательство Кембриджского университета. п. 60 . ISBN 0-521-25012-9.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Домен» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 .
Рекомендации
- Бурбаки, Николас (1970). Теория ансамблей . Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.