Кусочно

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Piecewise»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

График кусочно-линейной функции ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {array} {lll} -3-x & {\ text {if}} & x \ leq -3 \\ x + 3 & {\ text {if}} & -3 \ leq x \ leq 0 \\ 3-2x & {\ text {if}} & 0 \ leq x \ leq 3 \\ 0.5x-4.5 & {\ text {if}} & 3 \ leq x \\\ end { массив}} \ right.}$

В математике , А кусочно-определенная функция (также называемая функцию кусочно , а гибридную функцию , или определение, случаев ) является функцией определяется несколькими суб-функций, где каждая подфункция относится к другому интервалу в домене. ^{[1] [2] [3]} Кусочное определение на самом деле является способом выражения функции, а не характеристикой самой функции.

Отдельным, но связанным понятием является понятие свойства, сохраняющееся кусочно для функции, используемое, когда область может быть разделена на интервалы, на которых это свойство сохраняется. В отличие от приведенного выше понятия, это фактически свойство самой функции. В качестве примера изображена кусочно-линейная функция (которая также бывает непрерывной).

Обозначения и интерпретация [ править ]

График функции абсолютного значения y  = | х |.

Функции Кусочно могут быть определены с использованием общего функционального обозначения , ^[4] , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними субдоменов. Эти поддомены вместе должны охватывать весь домен ; часто также требуется, чтобы они попарно не пересекались, т.е. образовывали разбиение области. ^[5] Для того чтобы общую функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, то есть одиночными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение абсолютного значенияфункция: ^[2]

$${\ displaystyle | x | = {\ begin {cases} -x, & {\ text {if}} x <0 \\ + x, & {\ text {if}} x \ geq 0. \ end {cases} }}$$

Для всех значений x меньше нуля используется первая функция (- x ), которая отменяет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений x, больших или равных нулю, используется вторая функция ( x ), которая тривиально оценивает само входное значение.

Следующая таблица документирует функцию абсолютного значения при определенных значениях x :

Здесь обратите внимание, что для оценки кусочной функции при заданном входном значении необходимо выбрать соответствующий субдомен, чтобы выбрать правильную функцию и получить правильное выходное значение.

Непрерывность и дифференцируемость кусочных функций [ править ]

Кусочная функция, состоящая из различных квадратичных функций по обе стороны от .${\ displaystyle x_ {0}}$

Кусочная функция непрерывна на заданном интервале в своей области определения, если выполняются следующие условия:

• составляющие его функции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
• в каждой конечной точке субдоменов в пределах этого интервала нет разрывов.

Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не является непрерывной во всей области, так как она содержит скачок в точке . Закрашенный кружок указывает, что значение правой функциональной части используется в этой позиции.${\ displaystyle x_ {0}}$

Чтобы кусочная функция была дифференцируемой на данном интервале в ее области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:

• составляющие его функции дифференцируемы на соответствующих открытых интервалах,
• односторонние производные существуют на всех концах интервалов,
• в точках соприкосновения двух подынтервалов совпадают соответствующие односторонние производные двух соседних подынтервалов.

Приложения [ править ]

При прикладном математическом анализе было обнаружено, что кусочные функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения воспринимаются на первом этапе как состоящие из гладких областей, разделенных краями. ^[6] В частности, shearlets использовались в качестве системы представления для обеспечения разреженных приближений этого класса моделей в 2D и 3D.

Общие примеры [ править ]

• Кусочно-линейная функция , кусочная функция, состоящая из отрезков прямой
  • Шаговая функция , кусочная функция, состоящая из постоянных функций
    • Функция крытого вагона ,
    • Ступенчатая функция Хевисайда ^[2]
    • Функция знака
  • Абсолютное значение ^[2]
  • Треугольная функция
• Нарушенный степенной закон , кусочная функция, составленная из степенных законов
• Сплайн , кусочная функция, составленная из полиномиальных функций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения частей полинома
  • B-шлиц
• PDIFF
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$и некоторые другие общие функции Bump . Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность сохраняется только кусочно.
• Непрерывные функции в вещественных числах не обязательно должны быть ограниченными или равномерно непрерывными, они всегда кусочно ограничены и кусочно равномерно непрерывны.

См. Также [ править ]

• Кусочно-линейное продолжение

В Wikibooks есть книга на тему: Gnuplot # кусочно-определенные функции

Ссылки [ править ]