Ступенчатая функция Хевисайда

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Функция шага Хевисайда»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Ступенчатая функция Хевисайда с использованием соглашения о половине максимума

Функция Хевисайда , или функциональный блок шаг , обычно обозначается H или & thetas (но иногда у , 1 или 𝟙 ), является ступенчатой функцией , названный в честь Оливера Хевисайда (1850-1925), значение которого является нулевым для отрицательного аргументы и один для положительных аргументов. Это пример общего класса ступенчатых функций , все из которых могут быть представлены как линейные комбинации переводов этой функции.

Эта функция была первоначально разработана в операционном исчислении для решения дифференциальных уравнений , где она представляет собой сигнал, который включается в определенное время и остается включенным неопределенное время. Оливер Хевисайд , который разработал операционное исчисление как инструмент анализа телеграфных сообщений, представил функцию как 1 .

Функцию Хевисайда можно определить как производную от линейной функции :

${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0}$

Дельта - функция Дирака является производной функции Хевисайда

${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)}$

Следовательно, функцию Хевисайда можно рассматривать как интеграл дельта-функции Дирака. Иногда это записывается как

${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds}$

хотя это разложение может не выполняться (или даже иметь смысл) для x = 0 , в зависимости от того, какой формализм используется для придания значения интегралам, содержащим δ . В этом контексте Heaviside функция является кумулятивной функцией распределения из случайной величины , которая почти наверняка 0. (См постоянной случайной величины .)

В операционном исчислении полезные ответы редко зависят от того, какое значение используется для H (0) , поскольку H в основном используется как распределение . Однако этот выбор может иметь важные последствия для функционального анализа и теории игр, где рассматриваются более общие формы непрерывности. Некоторые варианты распространенных можно увидеть ниже .

Аппроксимации ступенчатой ​​функции Хевисайда используются в биохимии и нейробиологии , где логистические аппроксимации ступенчатых функций (такие как уравнения Хилла и Михаэлиса-Ментен ) могут использоваться для аппроксимации бинарных клеточных переключателей в ответ на химические сигналы.

Аналитические приближения [ править ]

Для гладкого приближения к ступенчатой ​​функции можно использовать логистическую функцию

${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$

где большее k соответствует более резкому переходу при x = 0 . Если взять H (0) =1/2, равенство выполняется в пределе:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$

Есть много других гладких аналитических приближений ступенчатой ​​функции. ^[1] Среди возможностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$

Эти пределы выполняются поточечно и в смысле распределений . В общем, однако, поточечная сходимость не обязательно подразумевает сходимость по распределению, и наоборот, сходимость по распределению не обязательно означает поточечную сходимость. (Однако, если все члены поточечно сходящейся последовательности функций равномерно ограничены некоторой "хорошей" функцией, то сходимость сохраняется и в смысле распределений .)

В общем, любая интегральная функция распределения из непрерывного распределения вероятностей , которая достигла максимума около нуля и имеет параметр , который управляет для дисперсии может служить в качестве аппроксимации, в пределе дисперсии приближается к нулю. Например, все три из перечисленных выше приближений являются кумулятивными функциями распределения общих вероятностных распределений: логистические , Коши и нормальными распределениями, соответственно.

Интегральные представления [ править ]

Часто бывает полезно интегральное представление ступенчатой ​​функции Хевисайда:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}}$

где второе представление легко вывести из первого, учитывая, что ступенчатая функция действительна и, следовательно, является собственной комплексно сопряженной.

Нулевой аргумент [ править ]

Поскольку H обычно используется при интегрировании, а значение функции в одной точке не влияет на ее интеграл, редко имеет значение, какое конкретное значение выбрано для H (0) . Действительно, когда H рассматривается как распределение или элемент L ^∞ (см. Пространство L p ), даже не имеет смысла говорить о нулевом значении, поскольку такие объекты определены только почти везде . При использовании некоторого аналитического приближения (как в приведенных выше примерах ) часто используется то, что оказывается соответствующим пределом в нуле.

Существуют разные причины для выбора того или иного значения.

• H (0) =1/2часто используется, поскольку в этом случае граф имеет вращательную симметрию; Другими словами, H -1/2тогда является нечетной функцией . В этом случае для всех x выполняется следующее соотношение со знаковой функцией :

${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x).}$

• H (0) = 1 используется, когда H должна быть непрерывной справа . Например, кумулятивные функции распределения обычно считаются непрерывными справа, как и функции, интегрированные по сравнению с интегрированием Лебега – Стилтьеса . В этом случае Н является функцией индикатора из замкнутого полубесконечный интервала:

${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$

Соответствующее распределение вероятностей является вырожденным распределением .

• H (0) = 0 используется, когда H необходимо непрерывно слева . В этом случае H - индикаторная функция открытого полубесконечного интервала:

${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$

• В контексте функционального анализа из оптимизации и теории игр часто бывает полезно определить функцию Хевисайда как многозначную функцию, чтобы сохранить непрерывность предельных функций и гарантировать существование определенных решений. В этих случаях функция Хевисайда возвращает полный интервал возможных решений H (0) = [0,1] .

Дискретная форма [ править ]

Альтернативная форма единичного шага, определяемая вместо этого как функция (т.е. принимающая дискретную переменную n ), следующая:${\displaystyle H:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$

или используя соглашение о половине максимума: ^[2]

${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$

где n - целое число . В отличие от непрерывного случая, определение H [0] важно.

Единичный импульс дискретного времени является первой разницей дискретного временного шага.

${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$

Эта функция представляет собой совокупное суммирование дельты Кронекера :

${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]}$

куда

${\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$

- дискретная единичная импульсная функция .

Первообразная и производная [ править ]

Функция линейного изменения является первообразной ступенчатой ​​функции Хевисайда:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$

Производная по распределению ступенчатой ​​функции Хевисайда - это дельта-функция Дирака :

${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$

Преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Фурье ступенчатой ​​функции Хевисайда является распределением. Используя один выбор констант для определения преобразования Фурье, мы имеем

${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$

Здесь pv1/sэто распределение , которая принимает функцию тест ф к главному значению Коши из ∫^∞
_−∞ φ ( с )/s ds . Предел, фигурирующий в интеграле, также берется в смысле (умеренных) распределений.

Одностороннее преобразование Лапласа [ править ]

Преобразование Лапласа ступенчатой ​​функции Хевисайда является мероморфной функцией. Используя одностороннее преобразование Лапласа, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$

При использовании двустороннего преобразования интеграл можно разделить на две части, и результат будет таким же.

Другие выражения [ править ]

Ступенчатую функцию Хевисайда можно представить в виде гиперфункции как

${\displaystyle H(x)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\log(z),\,{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right).}$

Это также может быть выражено через функцию абсолютного значения как${\displaystyle x\neq 0}$

$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.}$$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с функцией Хевисайда .

• Электронная библиотека математических функций, NIST, [1] .
• Берг, Эрнст Юлиус (1936). «Единичная функция». Операционное исчисление Хевисайда в применении к инженерии и физике . McGraw-Hill Education . п. 5.
• Калверт, Джеймс Б. (2002). «Хевисайд, Лаплас и инверсионный интеграл» . Денверский университет .
• Дэвис, Брайан (2002). «Ступенчатая функция Хевисайда». Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.). Springer. п. 28.
• Дафф, Джордж FD ; Нейлор, Д. (1966). «Функция единицы Хевисайда». Дифференциальные уравнения прикладной математики . Джон Вили и сыновья . п. 42.