Дельта-функция Дирака

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Дельта-функция Дирака как предел (в смысле распределений ) последовательности нормальных распределений с нулевым центром${\ displaystyle a \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ delta _ {a} (x) = {\ frac {1} {\ left | a \ right | {\ sqrt {\ pi}}}}} \ mathrm {e} ^ {- (x / a) ^ {2}}}$

В математике , то дельта - функции Дирака ( δ функция ) является обобщенная функция или распределение введено физика Поля Дирака . Он используется для моделирования плотности идеализированной точечной массы или точечного заряда как функции, равной нулю везде, кроме нуля, и чей интеграл по всей действительной прямой равен единице. ^{[1] [2] [3]} Поскольку не существует функции, обладающей такими свойствами, вычисления, сделанные физиками-теоретиками, казались математикам бессмысленными до тех пор, пока не были введены распределенияЛорану Шварцу формализовать и проверить вычисления. Как распределение, дельта-функция Дирака - это линейный функционал, который отображает каждую функцию в ее нулевое значение. ^{[4] [5]} Кронекера функция, которая обычно определяется на дискретной области и принимает значения 0 и 1, представляет собой дискретный аналог дельта - функции Дирака.

В технике и обработке сигналов дельта-функция, также известная как символ единичного импульса ^[6], может рассматриваться через ее преобразование Лапласа , как исходящая от граничных значений комплексной аналитической функции комплексной переменной. Формальные правила, которым подчиняется эта функция, являются частью операционного исчисления , стандартного набора инструментов физики и инженерии. Во многих приложениях дельта Дирака рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) последовательностифункций, имеющих высокий пик в начале координат (в теории распределений это истинный предел). Таким образом, аппроксимирующие функции последовательности являются «приближенными» или «возникающими» дельта-функциями.

Мотивация и обзор [ править ]

График дельта - функции, как правило , думают как после целого х оси х и положительный у оси х. ^{[7] : 174} Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого пика ( импульса ) и других подобных абстракций, таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, для вычисления динамики на более бильярдный шаре удара, можно аппроксимировать силу воздействия на дельта - функции. При этом можно не только упростить уравнения, но и вычислитьдвижение мяча с учетом только полного импульса столкновения без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например).

Чтобы быть конкретным, предположим, что бильярдный шар покоится. В момент удара по нему другой шар, сообщающий ему импульс P , in . Обмен импульсом на самом деле не является мгновенным, поскольку он опосредован упругими процессами на молекулярном и субатомном уровнях, но для практических целей удобно рассматривать эту передачу энергии как фактически мгновенную. Следовательно, сила есть . (Единицы измерения - ар .)${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle {\ text {кг м}} / {\ text {s}}}$${\ displaystyle P \ delta (t)}$${\ Displaystyle \ дельта (т)}$${\ displaystyle s ^ {- 1}}$

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого промежутка времени . То есть,${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq \Delta t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Тогда импульс в любой момент времени t находится интегрированием:

${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t>\Delta t\\Pt/\Delta t&0<t\leq \Delta t\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела как , давая${\displaystyle \Delta t\to 0}$

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t\leq 0.\end{cases}}}$

Здесь функции рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса.${\displaystyle F_{\Delta t}}$

Дельта-функция позволяет построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, реальный предел функций (в смысле поточечной сходимости ) равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы понять дельта-функцию, мы должны вместо этого настаивать на том, чтобы свойство${\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$

который справедлив для всех , должен и дальше удерживаться в пределах. Итак, в уравнении подразумевается, что предел всегда выносится за пределы интеграла .${\displaystyle \Delta t>0}$${\displaystyle F(t)=P\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функцией часто манипулируют как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций, каждый член которой имеет высокий пик в начале координат: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат с отклонением, стремящимся к нулю.

Несмотря на свое название, дельта-функция на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с диапазоном действительных чисел . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны везде, кроме точки x = 0, но имеют разные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g такие функции, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда gинтегрируема и интегралы от f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как самостоятельного математического объекта требует теории меры или теории распределений .

История [ править ]

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате Théorie analytique de la chaleur в форме: ^[8]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$

что равносильно введению δ- функции в виде: ^[9]

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$

Позже Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент: ^{[10] [11]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.}$

Коши указал, что в некоторых случаях порядок интегрирования в этом результате имеет значение (в отличие от теоремы Фубини ). ^{[12] [13]}

Как это оправдано с помощью теории распределений , уравнение Коши можно переформулировать так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представим δ- функцию как

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}}$

где δ- функция выражается как

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .}$

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения функции f, необходимые для ее применения, длились несколько столетий. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом: ^[14]

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро убывали до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начиная с новаторской L ² -теории Планшереля (1910 г.), продолжая работами Винера и Бохнера (около 1930 г.) и завершаясь объединением в теорию распределений Л. Шварца (1945 г.) ... ", ^[15] и привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.

Бесконечно малая формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте Огюстена Луи Коши 1827 года . ^[16] Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссианов , что также соответствовало представлению лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце 19 века Оливер Хевисайд использовал формальные ряды Фурье.манипулировать единичным импульсом. ^[17] Дельта-функция Дирака как таковая была введена как «удобное обозначение» Полем Дираком в его влиятельной книге 1930 года «Принципы квантовой механики» . ^[2] Он назвал это «дельта-функцией», поскольку он использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения [ править ]

Дельта Дирака можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна,

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

и который также должен удовлетворять тождеству

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$^[18]

Это просто эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна функция, определенная на действительных числах, не имеет этих свойств. ^[2] Дельта-функцию Дирака можно строго определить либо как распределение, либо как меру .

В качестве меры [ править ]

Один из способов строго уловить понятие дельта-функции Дирака - определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A действительной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1, если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. ^[19] Если функция дельты задумана как моделирование идеализированных масс точки при 0, то δ ( ) представляет масса содержится в множестве A . Тогда можно определить интеграл от δкак интеграл функции от этого массового распределения. Формально интеграл Лебега обеспечивает необходимый аналитический прием. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)}$

для всех непрерывных функций f с компактным носителем . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега - фактически, это особая мера . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона – Никодима (по мере Лебега) - нет истинной функции, для которой свойство

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)}$

держит. ^[20] В результате последнее обозначение является удобным злоупотреблением обозначением , а не стандартным интегралом ( Римана или Лебега ).

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая является функцией единичного шага ^[21]

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 _{(−∞, x ]} по мере δ , т. Е.

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x],}$

последний является мерой этого интервала; более формально, δ ((−∞, x ]) . Таким образом, в частности, интеграл от дельта-функции относительно непрерывной функции можно правильно понимать как интеграл Римана – Стилтьеса : ^[22]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$

Все высшие моменты из б равны нулю. В частности, характеристическая функция и производящая функция момента равны одному.

Как распространение [ править ]

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только в отношении того, как она влияет на другие функции, будучи «интегрированной» против них. ^{[23] : 41} В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, каков «интеграл» дельта-функции против достаточно «хорошей» тестовой функции  φ . Функции тестирования также известны как функции удара . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство пробных функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем, которые имеют столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака является линейным функционалом на пространстве пробных функций и определяется формулой ^[24]

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

для каждой тестовой функции .${\displaystyle \varphi }$

Чтобы δ было правильным распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем случае, чтобы линейный функционал S на пространстве пробных функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M _N и константа C _N такие, что для каждой пробной функции φ , выполняется неравенство ^[25]

${\displaystyle |S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.}$

С б распределения, один имеет такое неравенство (с C _N = 1) с М _N = 0 для всех N . Таким образом, δ - распределение нулевого порядка. Кроме того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( поддержка - {0}).

Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Так , например, она является дистрибутивный производной от ступенчатой функции Хевисайда . Это означает, что для каждой пробной функции φ выполняется

${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx.}$

Интуитивно понятно, что если интеграция по частям разрешена, то последний интеграл должен упроститься до

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,dx,}$

и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля на пространстве всех непрерывных функций φ с компактным носителем, который, согласно теореме Рисса о представлении , может быть представлен как интеграл Лебега функции φ относительно некоторой меры Радона .

Как правило, когда используется термин « дельта-функция Дирака », это скорее в смысле распределений, чем мер, причем мера Дирака является одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения [ править ]

Дельта-функцию можно определить в n- мерном евклидовом пространстве R ⁿ как такую ​​меру, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} )}$

для любой непрерывной функции f с компактным носителем . В качестве меры n- мерная дельта-функция является мерой произведения одномерных дельта-функций по каждой переменной отдельно. Таким образом, формально при x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) имеем ^[6]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как выше в одномерном случае. ^[26] Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, с ( 2 ) следует обращаться осторожно, поскольку продукт распределений может быть определен только в довольно узких обстоятельствах. ^[27]

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. ^[19] Таким образом, если X - множество, x ₀ ∈ X - отмеченная точка и Σ - любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ формулой

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$

- дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x ₀ .

Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие, где большая часть его свойств как распределения также может быть использована из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x ₀ ∈ M определяется как следующее распределение:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

для всех финитных гладких вещественных функций ф на М . ^[28] Частным частным случаем этой конструкции является случай, когда M - открытое множество в евклидовом пространстве R ⁿ .

На локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона, ассоциированной с интегралом Даниэля ( 3 ) на непрерывных функциях φ с компактным носителем . ^[29] На этом уровне обобщения исчисление как таковое больше невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение - это непрерывное вложение X в пространство конечных радоновских мер на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$при этом вложении является плотным в пространстве вероятностных мер на X . ^[30]

Свойства [ править ]

Масштабирование и симметрия [ править ]

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α: ^[31]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

и так

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

Доказательство:

${\displaystyle \delta (\alpha x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{|a|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/a)^{2}}\qquad {\text{since }}a{\text{ is a dummy variable, we set }}a=\alpha b}$

${\displaystyle =\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|\alpha b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/(\alpha b))^{2}}}$

${\displaystyle =\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|\alpha |}}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)}$

В частности, дельта-функция является четным распределением в том смысле, что

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$

которая однородна степени −1.

Алгебраические свойства [ править ]

Дистрибутивный продукт из б с й равен нулем:

${\displaystyle x\delta (x)=0.}$

Наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g - распределения, то

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$

для некоторой постоянной c . ^[32]

Перевод [ править ]

Интеграл от запаздывающей дельты Дирака равен ^{[33] : 276}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,dt=f(T).}$

Иногда это называют свойством просеивания ^[34] или свойством выборки . ^{[35] : 15} Дельта - функция называется «отсеивать» значения при т = Т . ^{[36] : 40}

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с запаздывающей по времени дельтой Дирака приводит к временной задержке f ( t ) на ту же величину:${\displaystyle \delta _{T}(t)=\delta (t-T)}$

${\displaystyle (f*\delta _{T})(t)}$	${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-T-\tau )\,d\tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau -(t-T))\,d\tau }$       ( с использованием ( 4 ): )${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$
	${\displaystyle =f(t-T).}$

Это выполняется при точном условии, что f - умеренное распределение (см. Обсуждение преобразования Фурье ниже ). В качестве частного случая, например, у нас есть тождество (понимаемое в смысле распределения)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$

Композиция с функцией [ править ]

В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы выполнялась известная формула замены переменных:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}|g'(x)|\,dx=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,du}$

при условии, что g - непрерывно дифференцируемая функция, у которой g ′ нигде не равен нулю. ^[37] То есть существует уникальный способ придать значение распределению, чтобы это тождество выполнялось для всех тестовых функций f с компактным носителем . Следовательно, область должна быть разбита, чтобы исключить точку g ′ = 0. Это распределение удовлетворяет δ ( g ( x )) = 0, если g нигде не равно нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в x ₀ , то${\displaystyle \delta \circ g}$

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g формулой

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

где сумма распространяется на все корни g ( x ), которые считаются простыми . ^[37] Так, например,

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$

В интегральной форме свойство обобщенного масштабирования можно записать как

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$

Свойства в n измерениях [ править ]

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования:

${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,}$

так что δ - однородное распределение степени - n .

При любом отражении или повороте ρ дельта-функция инвариантна,

${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.}$

Как и в случае одной переменной, можно однозначно определить композицию δ с билипшицевой функцией ^[38] g : R ⁿ → R ^n, так что тождество

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u} }$

для всех функций f с компактным носителем .

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить композицию дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое с другой размерностью; результат - это тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g : R ⁿ → R такой, что градиент функции g нигде не равен нулю, выполняется следующее тождество ^[39]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

где интеграл справа берется по g ⁻¹ (0), ( n - 1) -мерной поверхности, определяемой формулой g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как простой интеграл слоев .

В более общем смысле, если S - гладкая гиперповерхность R ⁿ , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию g с компактным носителем над S :

${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )}$

где σ является мерой гиперповерхности , связанная с S . Это обобщение связано с потенциальной теории о простых потенциалов слоя на S . Если D является доменом в R ^п с гладкой границей S , то δ _S равна нормальной производной от функции индикатора из D в том смысле , распределение,

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;d\sigma (\mathbf {s} ),}$

где n - внешняя нормаль. ^{[40] [41]} Для доказательства см., Например, статью о поверхностной дельта-функции .

Преобразование Фурье [ править ]

Дельта-функция является умеренным распределением и поэтому имеет четко определенное преобразование Фурье . Формально можно найти ^[42]

${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.}$

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженности преобразования Фурье при двойном спаривании умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом определяется как единственное умеренное распределение, удовлетворяющее${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$

для всех функций Шварца . И действительно из этого следует, что${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S будет просто S :

${\displaystyle S*\delta =S.}$

Другими словами, δ является тождественным элементом для свертки умеренных распределений, и на самом деле пространство распределений с компактным носителем при свертке является ассоциативной алгеброй с тождеством дельта-функцией. Это свойство является фундаментальным при обработке сигналов , так как свертка с умеренным распределением является линейной инвариантной во времени системой , и применение линейной инвариантной во времени системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и, как только оно известно, оно полностью характеризует систему. ВидетьТеория систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье умеренного распределения f ( ξ ) = 1 является дельта-функцией. Формально это выражается

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$

и более строго, так как

${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

для всех функций Шварца f .

В этих условиях, дельта - функция обеспечивает наводящее утверждение свойства ортогональности ядра Фурье на R . Формально

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$

Это, конечно, сокращение от утверждения, что преобразование Фурье умеренного распределения

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$

является

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$

что снова следует из наложения самосопряженности преобразования Фурье.

Путем аналитического продолжения преобразования Фурье преобразование Лапласа дельта-функции оказывается равным ^[43]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$

Распределительные производные [ править ]

Производная по распределению дельта-распределения Дирака - это распределение δ ′, определенное на гладких пробных функциях φ с компактным носителем ^[44]

${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$

Первое равенство здесь представляет собой своего рода интегрирование по частям, так как если бы δ было истинной функцией, то

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.}$

К -й производной от б определяется аналогично как распределение заданной на тестовых функций

${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$

В частности, δ - бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции - это предел распределения разностных коэффициентов: ^[45]

${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$

Точнее, есть

${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$

где τ _h - оператор сдвига, определенный на функциях как τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) , а на распределении S - как

${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь, расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют дипольной или дублетной функцией . ^[46]

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, включая:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}$^[47]

Последнее из этих свойств можно легко продемонстрировать, применив определение распределительной производной, теорему Либница и линейность внутреннего продукта:

${\textstyle \langle x\delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)}$ ${\textstyle =\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle }$${\textstyle \Longrightarrow x(t)\delta '(t)=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)}$^[48]

Кроме того, свертка δ ′ с гладкой функцией f с компактным носителем имеет вид

${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$

которое следует из свойств распределительной производной свертки.

Высшие измерения [ править ]

В более общем смысле, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве R ⁿ дельта-распределение Дирака с центром в точке a ∈ U определяется формулой ^[49]

${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$

для всех ф ∈ S ( U ) , пространство всех гладких финитных функций на U . Если & alpha ; = ( & alpha ; ₁ , ..., & alpha ; _п ) является любой многоиндексной и ∂ ^{& alpha} ; обозначает связанный с ним смешанным частным производным оператором, то & alpha ; й производной ∂ ^{& alpha} ; & delta ; из б _в задаются ^[49]

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}{\text{ for all }}\varphi \in S(U).}$

То есть α- ая производная от δ _a - это распределение, значение которого на любой пробной функции φ является α- ой производной φ в a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле нормальная производная простого слоя, нанесенного на поверхность, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной опорой. Если S - любое распределение на U, поддерживаемое на множестве { a }, состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c _α такие, что ^[50]

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

Представления дельта-функции [ править ]

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$

где η _ε ( x ) иногда называют возникающей дельта-функцией. Этот предел подразумевается в слабом смысле: либо то, что

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)}$

( 5 )

для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел выполняется для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя несколько разными способами слабой сходимости часто бывает тонкой: первый - это сходимость в нечеткой топологии мер, а второй - сходимость в смысле распределений .

Приближение к личности [ править ]

Обычно возникающая дельта-функция η _ε может быть построена следующим образом. Пусть η - абсолютно интегрируемая функция полного интеграла 1 на R , и определим

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

В n измерениях вместо этого используется масштабирование

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

Тогда простое изменение переменных показывает , что п & _epsi также имеет интеграл 1. Можно показать , что ( 5 ) имеет место для всех непрерывных функций с компактным носителем F , ^[51] и т п & _epsi ; слабо сходится к δ в смысле мер.

П & _epsi ; Построенный таким образом , как известно , в качестве приближения к идентичности . ^[52] Эта терминология связана с тем, что пространство L ¹ ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ), если f и g принадлежат L ¹ ( R ). Однако в L ¹ ( R ) нет тождества для продукта свертки: нет элементаh такой, что f ∗ h = f для всех f . Тем не менее последовательность η _ε аппроксимирует такое тождество в том смысле, что

${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$

Этот предел имеет место в смысле сходимости в среднем (сходимости в L ¹ ). Для обеспечения поточечной сходимости почти всюду необходимы дополнительные условия на η _ε , например, что это успокаивающее средство, ассоциированное с функцией с компактным носителем ^[53] .

Если исходное η = η ₁ само гладкое и имеет компактный носитель, то последовательность называется успокаивающей . Стандартный смягчающий эффект получается путем выбора η в качестве подходящей нормализованной функции выпуклости , например

${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к идентичности. Это можно получить, взяв η ₁ в качестве шляпной функции . При таком выборе η ₁ имеем

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$

которые все сплошные и компактно поддерживаются, хотя и не гладкие и, следовательно, не успокаивают.

Вероятностные соображения [ править ]

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, что начальное значение η ₁ в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда бывает благоприятной, потому что она не приводит к перерегулированию или недорегулированию, поскольку выходной сигнал представляет собой выпуклую комбинацию входных значений и, таким образом, находится между максимумом и минимумом входной функции. Взяв η ₁ как любое распределение вероятностей и положив η _ε ( x ) = η ₁ (x / ε ) / ε, как указано выше, приведет к приближению к тождеству. В общем, это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и небольшие высшие моменты. Например, если η ₁ - равномерное распределение на [−1/2, 1/2] , также известное как прямоугольная функция , то: ^[54]

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Другой пример - полукруглое распределение Вигнера

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Он непрерывный и компактно закреплен, но не успокаивает, потому что он негладкий.

Полугруппы [ править ]

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . ^{[55] : 748} Это составляет дополнительное ограничение, согласно которому свертка η _ε с η _δ должна удовлетворять

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$

для всех ε , δ > 0 . Полугруппы свертки в L ^1, которые образуют возникающую дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, приближающие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как результат линейной инвариантной во времени системы . Абстрактно, если A - линейный оператор, действующий на функции от x , то полугруппа свертки возникает при решении задачи начального значения

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Положив η _ε ( x ) = η ( ε , x ), мы получим соответствующую возникающую дельта-функцию.

Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих из такого фундаментального решения, включают следующее.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяется

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$

представляет собой температуру в бесконечном проводе в момент времени t > 0, если единица тепловой энергии хранится в начале провода в момент времени t = 0. Эта полугруппа эволюционирует согласно одномерному уравнению теплопроводности :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

В теории вероятностей , п & _epsi ; ( х ) является нормальным распределением по дисперсии е и среднего 0. Она представляет собой плотность вероятности в момент времени т = е положений частицы , начиная с началом координат следующей стандартным броуновским движением . В этом контексте условие полугруппы является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R ⁿ тепловое ядро ​​имеет вид

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$

и имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Он также представляет собой возникающую дельта-функцию в том смысле, что η _ε → δ в смысле распределения при ε → 0 .

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi }$

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. ^[56] Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой вдоль края удерживается на фиксированном уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . ^{[57] : 81} Эта полугруппа эволюционирует по уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$

где оператор строго определяется как множитель Фурье

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$

Колебательные интегралы [ править ]

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , участвующие уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь более сингулярные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных задач Коши , обычно являются осциллирующими интегралами . Пример, который исходит из решения уравнения Эйлера-Трикомьте из трансзвуковых газовой динамики , ^[58] является перемасштабирована функцией Эйри

${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$

Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу - она ​​не является абсолютно интегрируемой и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие возникающие дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (пример - ядро Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другой пример - задача Коши для волнового уравнения в R ^{1 + 1} : ^[59]

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$

Решение u представляет собой смещение бесконечной упругой струны из положения равновесия с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к идентичности такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях)

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk}$

и функция Бесселя

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$

Разложение плоской волны [ править ]

Один подход к изучению линейного уравнения в частных производных

${\displaystyle L[u]=f,}$

где L - дифференциальный оператор на R ⁿ , состоит в том, чтобы сначала найти фундаментальное решение, которое является решением уравнения

${\displaystyle L[u]=\delta .}$

Когда L особенно прост, эта проблема часто может быть решена с использованием преобразования Фурье напрямую (как в случае ядра Пуассона и ядра тепла, уже упомянутых). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида

${\displaystyle L[u]=h}$

где h - плоская волновая функция, что означает, что она имеет вид

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$

для некоторого вектора ξ. Такое уравнение может быть разрешено (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) по теореме Коши – Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) с помощью квадратуры. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решить линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей техники, впервые введенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном ( 1955 ). ^[60] Выберите k так, чтобы n + k было четным целым числом, а для действительного числа s положите

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$

Тогда δ получается применением степени лапласиана к интегралу относительно меры dω единичной сферы функции g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S ^{n −1} :

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

Лапласиан здесь интерпретируются как слабая производная, так что это уравнение следует понимать , что для любой пробной функции  ф ,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона , потому что она восстанавливает значение φ ( x ) из ее интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int \int _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]={}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$

где Rφ ( ξ , p ) - преобразование Радона функции φ :

${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны из работы Гельфанда и Шилова (1966–1968 , I, § 3.10):

${\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}$

для n даже, и

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}$

для n нечетное.

Ядра Фурье [ править ]

При изучении рядов Фурье главный вопрос состоит в том, чтобы определить, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией, к функции. П - й частичной суммой ряда Фурье функции F периода 2 П определяется сверткой (на интервале [- П , π ]) с ядром Дирихле :

${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

куда

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$

Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье утверждает, что ядро ​​Дирихле стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, что

${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

для любой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$

на интервале [- π , π ].

Несмотря на это, результат не верен для всех непрерывных функций с компактным носителем : то есть D _N не сходится слабо в смысле мер. Отсутствие сходимости рядов Фурье привело к введению множества методов суммирования с целью обеспечения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера ^[61]

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$

Эти ядра фейеровские имеют тенденцию к дельта - функции в более сильном смысле , что ^[62]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

для любой непрерывной функции f с компактным носителем . Подразумевается, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.

Теория гильбертова пространства [ править ]

Распределение дельта является плотно определенным неограниченным линейный функционал на гильбертовом пространстве L 2 из квадратных интегрируемых функций . Действительно, гладкие компактно функция поддержки является плотно в L ² , и действие распределения дельты на таких функциях хорошо определенно. Во многих приложениях, можно определить подпространства L ² и дать более сильную топологию , на которой дельта - функция определяет линейный ограниченный функционал .

Соболевские пространства

Из теоремы вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R следует, что любая квадратично интегрируемая функция f такая, что

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$

автоматически непрерывно и удовлетворяет, в частности,

${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$

Таким образом, δ - линейный ограниченный функционал на пространстве Соболева H ¹ . Эквивалентно δ является элементом непрерывного сопряженного пространства H ⁻¹ к H ¹ . В более общем случае, в n измерениях δ ∈ H ^{- s} ( R ⁿ ) при  s > n  / 2 .

Пространства голоморфных функций [ править ]

В комплексном анализе дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D является областью на комплексной плоскости с гладкой границей, то

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$

для всех голоморфных функций F в D , непрерывных на замыкании D . В результате дельта-функция δ _z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$

Кроме того, пусть Н ² (∂ D ) является пространство Харди , состоящее из замыкания в L 2 (∂ D ) всех голоморфных функций в D непрерывно вплоть до границы D . Тогда функции из H ² (∂ D ) однозначно продолжаются до голоморфных функций из D , и интегральная формула Коши остается в силе. В частности, для z ∈ D дельта-функция δ _z является непрерывным линейным функционалом на H ² (∂ D). Это частный случай ситуации в нескольких комплексных переменных , в которых, для гладких областей D , то Сег ядро играет роль интеграла Коши. ^{[63] : 357}

Разрешения личности [ править ]

Принимая во внимание полного ортогонального базиса набор функций { φ _п } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормированные собственные векторы оператора А компактного самосопряженного оператора , любой вектор е может быть выражены как

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$

Коэффициенты {α _n } находятся как

${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$

которое может быть представлено обозначениями:

${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$

форма лицевой нотации Дирака. ^[64] Принимая эти обозначения, расширение f принимает диадическую форму: ^[65]

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$

Позволить I обозначим тождественный оператор на гильбертовом пространстве, то выражение

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L ² ( D ) квадратично интегрируемых функций на области D , количество:

${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$

В правой части сходится к F в L ² смысла. Это не обязательно в поточечном смысле, даже если f - непрерывная функция. Тем не менее, часто злоупотребляют обозначениями и пишут

${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$

в результате получается представление дельта-функции: ^[66]

${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$

С подходящим оснащенным гильбертовым пространством (Φ, L ² ( D ), Φ *), где Φ ⊂ L ² ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ * в зависимости от свойств базиса φ _n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения . ^[67]

Бесконечно малые дельта-функции [ править ]

Коши использовал бесконечно малое α, чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ _{α, которой} удовлетворял в ряде статей в 1827 году. ^[68] Коши определил бесконечно малую величину в Cours d'Analyse (1827) в терминах последовательность, стремящаяся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазара Карно .${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте бесконечно обогащенного континуума, обеспечиваемого гиперреалами . Здесь дельта Дирака может быть задана фактической функцией, обладающей тем свойством, которое для каждой действительной функции F есть, как и предполагалось Фурье и Коши.${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Гребень Дирака [ править ]

Так называемая однородная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как гребенка Дирака или распределение Шаха, создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (DSP) и анализе сигналов в дискретном времени. Гребень Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения,

${\displaystyle \operatorname {III} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$

который представляет собой последовательность точечных масс в каждом из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна своему собственному преобразованию Фурье. Это очень важно , потому что если любая функция Шварца , то периодизация из даются свертка${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$

Особенно,

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {III} }}={\widehat {f}}\operatorname {III} }$

это в точности формула суммирования Пуассона . ^{[69] В} более общем плане эта формула остается верной, если это умеренное распределение с быстрым спуском или, что то же самое, если это медленно растущая, обычная функция в пространстве умеренных распределений.${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

Теорема Сохоцкого – Племеля [ править ]

Теорема Сохоцкого – Племеля , важная для квантовой механики, связывает дельта-функцию с распределением pv 1 / x , главным значением Коши функции 1 / x , определяемым формулой

${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$

Формула Сохоцкого утверждает, что ^[70]

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$

Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех финитных гладких функций F ,

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

Связь с дельтой Кронекера [ править ]

Кронекера δ _Ij является величина определяется

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$

для всех целых чисел i , j . Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если - любая дважды бесконечная последовательность , то${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$

Аналогично, для любой вещественной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$