Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение может быть однородным в любом из двух отношений.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если оно может быть записано

${\ Displaystyle е (х, у) \, dy = г (х, у) \, dx,}$

где f и g - однородные функции одной степени от x и y . ^[1] В этом случае замена переменной y = ux приводит к уравнению вида

${\ displaystyle {\ frac {dy} {x}} = h (u) \, du,}$

что легко решить путем объединения двух элементов.

В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает отсутствие постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка могут быть выведены интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

История [ править ]

Термин « однородный» был впервые применен к дифференциальным уравнениям Иоганном Бернулли в разделе 9 его статьи 1726 года De integrationionibus aequationum DPF (Об интегрировании дифференциальных уравнений). ^[2]

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка [ править ]

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в виде:

${\ Displaystyle М (х, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0}$

является однородным типом, если обе функции M ( x , y ) и N ( x , y ) являются однородными функциями одной степени n . ^[3] То есть, умножая каждую переменную на параметр λ , находим

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Метод решения [ править ]

В факторе можно положить t =${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/Иксчтобы упростить это частное до функции f единственной переменнойу/Икс:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

То есть

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$

Введем замену переменных y = ux ; дифференцировать с помощью правила продукта :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$

Это преобразует исходное дифференциальное уравнение в отделимую форму

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$

или же

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$

который теперь можно проинтегрировать напрямую: log x равен первообразной правой части (см. обыкновенное дифференциальное уравнение ).

Особый случай [ править ]

Дифференциальное уравнение первого порядка вида ( a , b , c , e , f , g - постоянные)

${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$

где af ≠ be можно преобразовать в однородный тип линейным преобразованием обеих переменных ( α и β - константы):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.}$

Однородные линейные дифференциальные уравнения [ править ]

Линейное дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородным линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных. Отсюда следует , что, если φ ( х ) является решением, так Сф ( х ) , для любого (не ноль) постоянной с . Для того чтобы это условие выполнялось, каждый ненулевой член линейного дифференциального уравнения должен зависеть от неизвестной функции или любой ее производной. Линейное дифференциальное уравнение, не удовлетворяющее этому условию, называется неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде линейного оператора , действующего на у ( х ) где х , как правило , независимой переменной , и у является зависимой переменной. Следовательно, общий вид линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle L(y)=0}$

где L - дифференциальный оператор , сумма производных (определяющая "0-ю производную" как исходную, недифференцированную функцию), каждая из которых умножена на функцию f _i от x :

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$

где f _i может быть постоянным, но не все f _i могут быть нулевыми.

Например, следующее линейное дифференциальное уравнение является однородным:

${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$

в то время как следующие два неоднородны:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$

Существование постоянного члена является достаточным условием для неоднородности уравнения, как в приведенном выше примере.

См. Также [ править ]

• Разделение переменных

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард К. (2012), Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (Это хороший вводный справочник по дифференциальным уравнениям.)
• Инс, Э.Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0486603490. (Это классический справочник по ODE, впервые опубликованный в 1926 году.)
• Андрей Д. Полянин; Валентин Федорович Зайцев (15 ноября 2017 г.). Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения, методы и задачи . CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Мэтью Р. Булкинс; Джек Л. Голдберг; Мерл К. Поттер (5 ноября 2009 г.). Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй . Издательство Оксфордского университета. С. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Однородные дифференциальные уравнения в MathWorld
• Викиучебники: обыкновенные дифференциальные уравнения / Подстановка 1