Дробное исчисление

Дробное исчисление является филиалом математического анализа , изучающих несколько различных возможностей определения действительного числа полномочий или комплексного чисел полномочия оператора дифференцирования D

${\ Displaystyle Df (х) = {\ гидроразрыва {d} {dx}} е (х) \ ,,}$

и оператора интегрирования J ^{[Примечание 1]}

${\ Displaystyle Jf (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (s) \, ds \ ,,}$

и разработать исчисление таких операторов, обобщающее классическое.

В этом контексте термин мощности относится к итеративному применению линейного оператора D к функции f , то есть многократному составлению D с самим собой, как в .${\ Displaystyle D ^ {n} (е) = (\ underbrace {D \ circ D \ circ D \ circ \ cdots D} _ {n}) (f) = \ underbrace {D (D (D (\ cdots}) _ {п} (е) \ cdots)))}$

Например, можно попросить содержательную интерпретацию

${\ displaystyle {\ sqrt {D}} = D ^ {\ frac {1} {2}}}$

в качестве аналога функционального квадратного корня для дифференцирования оператора , то есть выражение для некоторых линейного оператора , который при нанесении в два раза к любой функции будет иметь тот же эффект, что и дифференциации . В более общем плане можно взглянуть на вопрос об определении линейного оператора

${\ displaystyle D ^ {a}}$

для любого действительного числа a таким образом, что, когда a принимает целое значение n ∈ ℤ , оно совпадает с обычным n -кратным дифференцированием D, если n > 0 , и с −n -й степенью J, когда n <0 .

Одна из причин введения и изучения такого рода расширений оператора дифференцирования D состоит в том, что множества операторных степеней { D ^a | a ∈ ℝ}, определенные таким образом, являются непрерывными полугруппами с параметром a , из которых исходная дискретная полугруппа группы { D ⁿ | n ∈ ℤ} для целого n является счетной подгруппой: поскольку непрерывные полугруппы имеют хорошо развитую математическую теорию, они могут быть применены к другим разделам математики.

Дробные дифференциальные уравнения, также известные как экстраординарные дифференциальные уравнения ^[1], являются обобщением дифференциальных уравнений посредством применения дробного исчисления.

Исторические заметки [ править ]

В прикладной математики и математического анализа , А дробная производная является производной от любого произвольного порядка, действительной или комплексной. Его первое появление в письме к Лопиталь по Лейбниц в 1695 году ^[2] Примерно в то же время, Лейбниц писал одному из братьев Бернулли , описывающих сходство между биномиальной теоремы и правила Лейбница для дробная производная произведения двух функций. ^{[ необходимая цитата ]} Дробное исчисление было введено в одной из ранних работ Нильса Хенрика Абеля ^[3]где могут быть найдены все элементы: идея интегрирования и дифференцирования дробного порядка, взаимно обратная связь между ними, понимание того, что дифференцирование и интегрирование дробного порядка могут рассматриваться как одна и та же обобщенная операция, и даже единое обозначение для дифференцирования и интеграция произвольного реального порядка. ^[4] Независимо друг от друга основы предмета были заложены Лиувиллем в статье из 1832. ^[5] автодидакт Оливер Хевисайд ввел практическое использование дробных дифференциальных операторов в анализе электрической линии передачи около 1890. ^[6]Теория и приложения дробного исчисления значительно расширились в XIX и XX веках, и многочисленные участники дали определения дробных производных и интегралов. ^[7]

Природа дробной производной [ править ]

Й производной функции F  ( х ) в точке х является локальным свойством только тогда , когда представляет собой целое число; это не относится к нецелым производным по степени. Другими словами, нецелая дробная производная функции f  ( x ) при x = a зависит от всех значений f , даже тех, которые находятся далеко от a . Следовательно, ожидается, что операция дробной производной включает в себя какие-то граничные условия , включающие информацию о функции дальше. ^[8]

Дробная производная функции порядка a часто теперь определяется с помощью интегральных преобразований Фурье или Меллина .

Эвристика [ править ]

Возникает вполне естественный вопрос: существует ли линейный оператор H или полупроизводная, такой что

${\ Displaystyle H ^ {2} f (x) = Df (x) = {\ dfrac {d} {dx}} f (x) = f '(x) \ ,.}$

Оказывается, такой оператор существует, и действительно, для любого a > 0 существует оператор P такой, что

${\ displaystyle \ left (P ^ {a} f \ right) (x) = f '(x),}$

или, другими словами, определение д ^н г/dx ⁿможно распространить на все действительные значения n .

Пусть f  ( x ) - функция, определенная для x > 0 . Сформируйте определенный интеграл от 0 до x . Назовите это

${\ displaystyle (Jf) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt \ ,.}$

Повторение этого процесса дает

${\ displaystyle \ left (J ^ {2} f \ right) (x) = \ int _ {0} ^ {x} (Jf) (t) \, dt = \ int _ {0} ^ {x} \ left (\ int _ {0} ^ {t} f (s) \, ds \ right) dt \ ,,}$

и это можно продлить произвольно.

Формула Коши для повторного интегрирования , а именно

${\ displaystyle \ left (J ^ {n} f \ right) (x) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {0} ^ {x} \ left (xt \ right ) ^ {п-1} f (t) \, dt \ ,,}$

прямо приводит к обобщению для действительного n .

Использование гамма-функции для устранения дискретности факториальной функции дает нам естественного кандидата для дробных приложений интегрального оператора.

${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$

На самом деле это четко определенный оператор.

Несложно показать, что оператор J удовлетворяет

${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}\left(J^{\beta }f\right)(t)\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{t}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}f(s)\,ds\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}\,dt\right)\,ds\end{aligned}}}$ где на последнем шаге мы поменяли порядок интегрирования и вытащили фактор f  ( s ) из t интегрирования. Замена переменных на r определяется как t = s + ( x - s ) r , ${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr\right)\,ds}$ Внутренний интеграл - это бета-функция, которая удовлетворяет следующему свойству: ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr=B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ Подставляя обратно в уравнение ${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\,ds=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)}$ Замена α и β местами показывает, что порядок применения оператора J не имеет значения, и завершает доказательство.

Это отношение называется полугрупповым свойством дробно- дифференциальных интегральных операторов. К сожалению, сопоставимый процесс для оператора производной D значительно сложнее, но можно показать, что D в общем случае не является ни коммутативным, ни аддитивным . ^[9]

Дробная производная основной степенной функции [ править ]

Предположим, что f  ( x ) - моном вида

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

Первая производная, как обычно

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Повторение этого дает более общий результат:

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}$

который, после замены факториалов с гамма - функции , приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\qquad k>0.}$

Для k = 1 и a =1/2, получим полупроизводную функции x как

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}$

Чтобы продемонстрировать, что это на самом деле «полупроизводная» (где H ² f  ( x ) = Df  ( x ) ), мы повторяем процесс, чтобы получить:

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}$

(потому что и Γ (1) = 1 ), что действительно является ожидаемым результатом${\textstyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}$

Для отрицательной целой степени k гамма-функция не определена, и мы должны использовать следующее соотношение: ^[10]

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}$

Это расширение описанного выше дифференциального оператора не обязательно должно ограничиваться только действительными степенями. Например, (1 + i ) -я производная от (1 - i ) -й производной дает вторую производную. Также установка отрицательных значений через Урожайность интегралы.

Для общей функции f  ( x ) и 0 < α <1 полная дробная производная равна

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}$

Для произвольного α , поскольку гамма-функция не определена для аргументов, действительная часть которых является отрицательным целым числом, а мнимая часть равна нулю ^{[ сомнительно - обсудить ]} , необходимо применять дробную производную после того, как была выполнена целочисленная производная. Например,

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Преобразование Лапласа [ править ]

Мы также можем ответить на этот вопрос с помощью преобразования Лапласа . Знаю это

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

и

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

и так далее, мы утверждаем

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$.

Например,

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$

как и ожидалось. Действительно, учитывая правило свертки

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$

и сокращая p ( x ) = x ^{α - 1} для ясности, находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$

что Коши дал нам выше.

Преобразования Лапласа «работа» на относительно небольшое число функций, но они являются часто полезными при решении дробных дифференциальных уравнений.

Дробные интегралы [ править ]

Дробный интеграл Римана – Лиувилля [ править ]

Классическая форма дробного исчисления дается интегралом Римана – Лиувилля , который по сути является тем, что было описано выше. Теория периодических функций (включая «граничное условие» повторения через период) - это интеграл Вейля . Он определен на рядах Фурье и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обращался в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичной окружности , интегралы которых равны нулю). Интеграл Римана-Лиувилля существует в двух формах: верхней и нижней. Рассматривая интервал [ a , b ] , интегралы определяются как

${\displaystyle _{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle _{t}D_{b}^{-\alpha }f(t)={}_{t}I_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

Если первое верно для t > a, а второе верно для t < b . ^[11]

В отличие от этого производная Грюнвальда – Летникова начинается с производной вместо интеграла.

Дробный интеграл Адамара [ править ]

Дробный интеграл Адамара вводится Жака Адамара ^[12] и задается следующей формулой,

${\displaystyle _{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$

Дробный интеграл Атанганы – Балеану [ править ]

Недавно, используя обобщенную функцию Миттаг-Леффлера, Атангана и Балеану предложили новую формулировку дробной производной с нелокальным и невырожденным ядром. Интеграл определяется как:

${\displaystyle _{a}^{AB}D_{t}^{-\alpha }f(t)=_{a}^{AB}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1-\alpha }{AB(\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{AB(\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau ,}$

где AB ( α ) - нормализационная функция такая, что AB (0) = AB (1) = 1 . ^[13]

Дробные производные [ править ]

В отличие от классических производных Ньютона, дробная производная определяется через дробный интеграл.

Дробная производная Римана – Лиувилля [ править ]

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Вычисляя производную n- го порядка по интегралу порядка ( n - α ) , получается производная порядка α . Важно отметить, что n - наименьшее целое число, большее α (то есть n = ⌈ α ⌉ ). Подобно определениям интеграла Римана-Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты. ^[14]

${\displaystyle _{a}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-\alpha }f(t)}$

${\displaystyle _{t}D_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-\alpha }f(t)}$

Дробная производная Капуто [ править ]

Другой вариант вычисления дробных производных - дробная производная Капуто. Он был введен Микеле Капуто в его статье 1967 года. ^[15] В отличие от дробной производной Римана-Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто проиллюстрировано следующим образом, где снова n = ⌈ α ⌉ :

${\displaystyle {}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )\,d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}.}$

Существует дробная производная Капуто, определяемая как:

${\displaystyle {}D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)du\qquad (n-1)<\nu <n}$

который имеет то преимущество, что равен нулю, когда f  ( t ) постоянна, а его преобразование Лапласа выражается через начальные значения функции и ее производной. Кроме того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как

${\displaystyle {}_{a}^{b}D^{\nu }f(t)=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu =\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu }$

где φ ( ν ) - весовая функция, которая используется для математического представления наличия множественных формализмов памяти.

Дробная производная Капуто-Фабрицио [ править ]

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с неособым ядром для функции от :${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$

${\displaystyle _{a}^{CF}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\exp \left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$

где ^[16]${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

Производная Атангана – Балеану [ править ]

Как и интеграл, существует также дробная производная, использующая в качестве ядра общую функцию Миттаг-Леффлера. ^[13] Авторы ввели две версии: производную Атанганы – Балеану в смысле Капуто (ABC), которая представляет собой свертку локальной производной заданной функции с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера, и производную Атанганы – Балеану в смысле Римана – Лиувилля. смысловая производная (ABR), которая является производной свертки данной функции, не дифференцируемой с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера. ^[17] Дробная производная Атангана-Балеану в смысле Капуто определяется как:

${\displaystyle {}_{a}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}$

А дробная производная Атанганы – Балеану в системе Римана – Лиувилля определяется как:

${\displaystyle {}_{a}^{ABR}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}$

Производная Рисса [ править ]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k)}$

где F обозначает преобразование Фурье . ^{[18] [19]}

Другие типы [ править ]

К классическим дробным производным относятся:

• Производная Грюнвальда – Летникова ^{[20] [21]}
• Производная Сонина – Летникова ^[21]
• Производная Лиувилля ^[20]
• Производное Капуто ^[20]
• Производная Адамара ^{[20] [22]}
• Производная Маршо ^[20]
• Производная Рисса ^[21]
• Производная Миллера – Росса ^[20]
• Производная Вейля ^{[23] [24] [20]}
• Производная Эрдейи – Кобера ^[20]

Новые дробные производные включают:

• Производная Коимбры ^[20]
• Производное катугамполы ^[25]
• Производная Гильфера ^[20]
• Производная Дэвидсона ^[20]
• Производная Чена ^[20]
• Производное Капуто Фабрицио ^{[26] [27]}
• Производное Атанганы – Балеану ^{[26] [28]}

Обобщения [ править ]

Оператор Эрдейи-Кобера [ править ]

Оператор Эрдейи – Кобера - это интегральный оператор, введенный Артуром Эрдейи (1940). ^[29] и Герман Кобер (1940) ^[30] и приводится

${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$

который обобщает дробный интеграл Римана – Лиувилля и интеграл Вейля .

Функциональное исчисление [ править ]

В контексте функционального анализа , функции F  ( D ) более общие , чем полномочия изучаются в функциональном исчислении из спектральной теории . Теория псевдо-дифференциальных операторов также позволяет рассматривать полномочия D . Возникающие операторы являются примерами сингулярных интегральных операторов ; а обобщение классической теории на высшие измерения называется теорией потенциалов Рисса . Итак, существует ряд современных теорий, в рамках которых можно обсуждать дробное исчисление . См. Также оператор Эрдейи – Кобера., важное в теории специальных функций ( Kober 1940 ), ( Erdélyi 1950–51 ).

Приложения [ править ]

Дробное сохранение массы [ править ]

Как описано Wheatcraft and Meerschaert (2008), ^[31], уравнение частичного сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородности и когда поток в контрольном объеме не является линейный. В упомянутой статье уравнение дробного сохранения массы для потока жидкости:

${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$

Электрохимический анализ [ править ]

При изучении окислительно-восстановительного поведения подложки в растворе к поверхности электрода прикладывают напряжение, чтобы вызвать перенос электронов между электродом и подложкой. Результирующий перенос электронов измеряется как ток. Сила тока зависит от концентрации субстрата на поверхности электрода. Когда субстрат израсходован, свежий субстрат диффундирует к электроду в соответствии с законом Фика . Преобразование Лапласа второго закона Фика дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (здесь в безразмерной форме):

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$

решение которого C (x, s) содержит половинную степень зависимости от s. Взяв производную от C (x, s), а затем обратное преобразование Лапласа, получаем следующее соотношение:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dt^{\frac {1}{2}}}}C(x,t)}$

который связывает концентрацию субстрата на поверхности электрода с током. ^[32] Это соотношение применяется в электрохимической кинетике для выяснения механистического поведения. Например, его использовали для изучения скорости димеризации субстратов при электрохимическом восстановлении. ^[33]

Проблема с потоком грунтовых вод [ править ]

В 2013–2014 гг. Атангана и др. описал некоторые проблемы потока грунтовых вод, используя концепцию производной с дробным порядком. ^{[34] [35]} В этих работах классический закон Дарси обобщается путем рассмотрения потока воды как функции производной пьезометрического напора нецелого порядка. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения для потока грунтовых вод.

Уравнение дисперсии дробной адвекции [ править ]

Это уравнение ^{[ необходимо пояснение ]} оказалось полезным для моделирования потока загрязняющих веществ в гетерогенных пористых средах. ^{[36] [37] [38]}

Атангана и Киликман расширили дробное дисперсионное уравнение адвекции до уравнения переменного порядка. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием концепции производной вариационного порядка . Модифицированное уравнение решалось численно методом Кранка – Николсона . Стабильность и сходимость результатов численного моделирования показали, что модифицированное уравнение более надежно при прогнозировании движения загрязнения в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целыми производными ^[39]

Модели уравнения пространственно-временной дробной диффузии [ править ]

Процессы аномальной диффузии в сложных средах можно хорошо охарактеризовать с помощью моделей уравнений диффузии дробного порядка. ^{[40] [41]} Член производной по времени соответствует длительному распаду тяжелого хвоста и пространственной производной для диффузионной нелокальности. Управляющее уравнение пространственно-временной дробной диффузии можно записать как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$

Простым расширением дробной производной является дробная производная переменного порядка, α и β заменяются на α ( x , t ) и β ( x , t ) . Его приложения в моделировании аномальной диффузии можно найти в справочнике. ^{[39] [42] [43]}

Структурные модели демпфирования [ править ]

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругого демпфирования в определенных типах материалов, таких как полимеры. ^[44]

ПИД-регуляторы [ править ]

Обобщение ПИД-регуляторов для использования дробных порядков может увеличить их степень свободы. Новое уравнение, связывающее управляющую переменную u ( t ) с измеренным значением ошибки e ( t ), может быть записано как

${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$

где α и β - положительные дробные порядки, а K _p , K _i и K _d , все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорциональных , интегральных и производных членов соответственно (иногда обозначаются P , I и D ). ^[45]

Акустические волновые уравнения для сложных сред [ править ]

Распространение акустических волн в сложных средах, таких как биологические ткани, обычно подразумевает ослабление, подчиняющееся степенному закону частоты. Этот вид явления можно описать с помощью причинно-следственного волнового уравнения, которое включает дробные производные по времени:

${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$

См. Также Holm & Näsholm (2011) ^[46] и ссылки в нем. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что множественные явления релаксации вызывают затухание, измеряемое в сложных средах. Эта ссылка дополнительно описана в Näsholm & Holm (2011b) ^[47] и в обзорной статье ^[48], а также в статье об акустическом затухании . См. Статью Holm & Nasholm (2013) ^[49], в которой сравниваются дробные волновые уравнения, моделирующие затухание по степенному закону. Эта книга по степенному затуханию также освещает эту тему более подробно. ^[50]

Панди и Холм придали физический смысл дробным дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретируя дробный порядок в терминах параметров акустической среды, например, в насыщенных флюидом гранулированных рыхлых морских отложениях. ^[51] Интересно, что Панди и Холм вывели закон Ломница в сейсмологии и закон Наттинга в неньютоновской реологии, используя структуру дробного исчисления. ^[52] Закон Наттинга использовался для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных. ^[51]

Дробное уравнение Шредингера в квантовой теории [ править ]

Дробное уравнение Шредингера , фундаментальное уравнение дробных квантовой механики , имеет следующий вид: ^{[53] работа [54]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$

где решением уравнения является волновая функция ψ ( r , t ) - квантово-механическая амплитуда вероятности того, что частица будет иметь заданный вектор положения r в любой момент времени t , а ħ - приведенная постоянная Планка . Потенциальная энергия функция V ( г , т ) зависит от системы.

Далее, Δ =∂ ²/∂ r ²- оператор Лапласа , а D _α - масштабная постоянная с физической размерностью [ D _α ] = J ^{1 - α} · m ^α · s ^{- α} = kg ^{1 - α} · m ^{2 - α} · s ^{α - 2} , (при α = 2 , D ₂ =1/2 мес.для частицы массы m ), а оператор (- ħ ² Δ) ^{α / 2} является 3-мерной дробной квантовой производной Рисса, определяемой формулой

${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$

Индекс α в дробном уравнении Шредингера - это индекс Леви, 1 < α ≤ 2 .

Дробное уравнение Шредингера переменного порядка [ править ]

Как естественное обобщение дробного уравнения Шредингера , дробное уравнение Шредингера переменного порядка использовалось для изучения дробных квантовых явлений: ^[55]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$

где Δ =∂ ²/∂ r ²- оператор Лапласа, а оператор (- ħ ² Δ) ^{β ( t ) / 2} - дробная квантовая производная Рисса переменного порядка.

См. Также [ править ]

Другие фракционные теории [ править ]

• Дробная динамика
• Дробное преобразование Фурье
• Дробная квантовая механика

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Килбас Анатолий Александрович; Шривастава, Хари Мохан; Трухильо, Хуан Дж. (2006). Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений . Амстердам, Нидерланды: Эльзевир. ISBN 978-0-444-51832-3.

Дальнейшее чтение [ править ]

Статьи по истории дробного исчисления [ править ]

• Росс, Б. (1975). «Краткая история и изложение фундаментальной теории дробного исчисления». Дробное исчисление и его приложения . Дробное исчисление и его приложения. Конспект лекций по математике . Конспект лекций по математике. 457 . С. 1–36. DOI : 10.1007 / BFb0067096 . ISBN 978-3-540-07161-7.
• Дебнат, Л. (2004). «Краткое историческое введение в дробное исчисление». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 35 (4): 487–501. DOI : 10.1080 / 00207390410001686571 . S2CID  122198977 .
• Tenreiro Machado, J .; Кирякова, В .; Майнарди, Ф. (2011). «Новейшая история дробного исчисления». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 16 (3): 1140–1153. Bibcode : 2011CNSNS..16.1140M . DOI : 10.1016 / j.cnsns.2010.05.027 . ЛВП : 10400,22 / 4149 .
• Tenreiro Machado, JA; Galhano, AM; Трухильо, Дж. Дж. (2013). «Научные метрики по развитию дробного исчисления с 1966 года». Дробное исчисление и прикладной анализ . 16 (2): 479–500. DOI : 10.2478 / s13540-013-0030-у . ЛВП : 10400,22 / 3773 . S2CID  122487513 .
• Tenreiro Machado, JA; Галхано, AMSF; Трухильо, Дж. Дж. (2014). «О развитии дробного исчисления за последние пятьдесят лет». Наукометрия . 98 (1): 577–582. DOI : 10.1007 / s11192-013-1032-6 . ЛВП : 10400,22 / 3769 . S2CID  16501850 .

Книги [ править ]

• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференцирования и интеграции к произвольному порядку . Математика в науке и технике. В . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-525550-9.
• Miller, Kenneth S .; Росс, Бертрам, ред. (1993). Введение в дробное исчисление и дробно-дифференциальные уравнения . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-58884-9.
• Самко, С .; Килбас, AA; Маричев, О. (1993). Дробные интегралы и производные: теория и приложения . Книги Тейлора и Фрэнсиса. ISBN 978-2-88124-864-1.
• Carpinteri, A .; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошной среды . Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4.
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые из их приложений . Эльзевир. ISBN 978-0-08-053198-4.
• Уэст, Брюс Дж .; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). Физика фрактальных операторов . Физика сегодня . 56 . Springer Verlag. п. 65. Bibcode : 2003PhT .... 56l..65W . DOI : 10.1063 / 1.1650234 . ISBN 978-0-387-95554-4.
• Майнарди, Ф. (2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости: введение в математические модели . Imperial College Press. Архивировано из оригинала на 2012-05-19 . Проверено 31 января 2014 .
• Тарасов, В.Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред . Нелинейная физическая наука. Springer. ISBN 9783642140037.
• Чжоу, Ю. (2010). Основная теория дробных дифференциальных уравнений . Сингапур: World Scientific. DOI : 10,1142 / 9069 . ISBN 978-981-4579-89-6.
• Учайкин, В.В. (2012). Дробные производные для физиков и инженеров . Дробные производные для физиков и инженеров: предпосылки и теория . Нелинейная физическая наука. Пресса о высшем образовании. Bibcode : 2013fdpe.book ..... U . DOI : 10.1007 / 978-3-642-33911-0 . ISBN 9783642339103.
• Дафтардар-гейджи, Варша (2013). Дробное исчисление: теория и приложения . Издательство Нароса. ISBN 978-8184873337.

• Шривастава, Хари М (2014). Специальные функции дробного исчисления и связанные с ним дробно-дифференциальные уравнения . Сингапур: World Scientific. DOI : 10.1142 / 8936 . ISBN 978-981-4551-10-6.
• Ли, CP; Цзэн, FH (2015). Численные методы дробного исчисления . США: CRC Press.

• Умаров, С. (2015). Введение в дробные и псевдодифференциальные уравнения с сингулярными символами . Развитие математики. 41 . Швейцария: Шпрингер. DOI : 10.1007 / 978-3-319-20771-1 . ISBN 978-3-319-20770-4.

• Херрманн, Р. (2018). Дробное исчисление - Введение для физиков (3-е изд.). Сингапур: World Scientific. DOI : 10.1142 / 11107 . ISBN 978-981-3274-57-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн. «Дробное дифференциальное уравнение». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• MathWorld - дробное исчисление
• MathWorld - Дробная производная
• Дробное исчисление на MathPages
• Специализированный журнал: Дробное исчисление и прикладной анализ (1998–2014 гг.) И Дробное исчисление и прикладной анализ (с 2015 г.)
• Специализированный журнал: дробно-дифференциальные уравнения (ДДУ)
• Специализированный журнал: Коммуникации в дробном исчислении ( ISSN 2218-3892 ) 
• Специализированный журнал: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• www.nasatech.com
• Коллекция Игоря Подлубного связанных книг, статей, ссылок, программного обеспечения и т. Д.
• GigaHedron - собрание книг, статей, препринтов Ричарда Херманна и т. Д.
• s.dugowson.free.fr
• История, определения и приложения для инженера ( PDF ), Адам Ловерро, Университет Нотр-Дам
• Моделирование дробного исчисления
• Вводные заметки по дробному исчислению
• Степенной закон и дробная динамика
• CRONE Toolbox, Matlab и Simulink Toolbox, посвященный дробному исчислению, который можно бесплатно загрузить
• Завада, Петр (1998). «Оператор дробной производной на комплексной плоскости». Сообщения по математической физике . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an / 9608002 . Bibcode : 1998CMaPh.192..261Z . DOI : 10.1007 / s002200050299 . S2CID  1201395 .
• Завада, Петр (2002). «Релятивистские волновые уравнения с дробными производными и псевдодифференциальные операторы». Журнал прикладной математики . 2 (4): 163–197. arXiv : hep-th / 0003126 . DOI : 10.1155 / S1110757X02110102 . S2CID  6647936 .