Теория хаоса

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = 8/3

Анимация двухстержневого маятника при промежуточной энергии, демонстрирующая хаотическое поведение. Запуск маятника из немного другого начального состояния приведет к совершенно другой траектории . Двухстержневой маятник - одна из простейших динамических систем с хаотическими решениями.

Теория хаоса - это раздел математики, сфокусированный на изучении хаоса - динамических систем, чьи явно случайные состояния беспорядка и нерегулярности на самом деле управляются лежащими в основе паттернами и детерминированными законами, которые очень чувствительны к начальным условиям . ^{[1] [2]} Теория хаоса - это междисциплинарная теория, утверждающая, что в пределах очевидной случайности хаотических сложных систем есть лежащие в основе закономерности, взаимосвязанность, постоянные петли обратной связи , повторение, самоподобие , фракталы и самоорганизация . ^[3]Эффект бабочки , лежащий в основе принципа хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (что означает чувствительную зависимость от начальных условий). ^[4] Метафора этого поведения заключается в том, что хлопающая крыльями бабочка в Техасе может вызвать ураган в Китае . ^[5]

Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в численных вычислениях, могут привести к сильно различающимся результатам для таких динамических систем, делая долгосрочное прогнозирование их поведения в целом невозможным. ^[6] Это может произойти, даже если эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущее поведение следует уникальной эволюции ^[7] и полностью определяется их начальными условиями, без каких-либо случайных элементов. ^[8] Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. ^{[9] [10]} Такое поведение известно как детерминированный хаос или простохаос . Эдвард Лоренц резюмировал теорию следующим образом : ^[11]

Хаос: когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет будущее приблизительно.

Хаотическое поведение существует во многих природных системах, включая поток жидкости, нарушения сердечного ритма, погоду и климат . ^{[12] [13] [7]} Это также происходит спонтанно в некоторых системах с искусственными компонентами, таких как фондовый рынок и дорожное движение . ^{[14] [3]} Это поведение можно изучить с помощью анализа хаотической математической модели или с помощью аналитических методов, таких как графики повторяемости и карты Пуанкаре . Теория хаоса имеет применение в различных областях, включая метеорологии , ^[7] антропология , ^[15] социология , физика , ^[16] наука об окружающей среде , компьютерные науки , инженерия , экономика , биология , экология , пандемия кризис управления , ^{[17] [18]} и философии . Теория легла в основу таких областей исследования, как сложные динамические системы , край теории хаоса и процессы самосборки .

Введение [ править ]

Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых в принципе можно предсказать. Хаотические системы какое-то время предсказуемы, а затем «кажутся» случайными. Время, в течение которого поведение хаотической системы может быть эффективно предсказано, зависит от трех вещей: насколько неопределенности можно допустить в прогнозе, насколько точно ее текущее состояние может быть измерено, и временного масштаба, зависящего от динамики системы. , назвали время Ляпунова . Некоторые примеры времен Ляпунова: хаотические электрические цепи, около 1 миллисекунды; погодные системы, несколько дней (бездоказательно); внутренняя солнечная система - от 4 до 5 миллионов лет. ^[19] В хаотических системах неопределенность прогноза увеличивается экспоненциально.с истекшим временем. Следовательно, математически удвоение времени прогноза более чем возводит в квадрат пропорциональную неопределенность прогноза. Это означает, что на практике осмысленный прогноз не может быть сделан на интервале более чем в два или три раза превышающем время Ляпунова. Когда невозможно сделать значимые прогнозы, система кажется случайной. ^[20]

Хаотическая динамика [ править ]

В обиходе «хаос» означает «состояние беспорядка». ^{[21] [22]} Однако в теории хаоса этот термин определяется более точно. Хотя общепринятого математического определения хаоса не существует, обычно используемое определение, первоначально сформулированное Робертом Л. Девани , гласит, что для классификации динамической системы как хаотической она должна обладать следующими свойствами: ^[23]

1. он должен быть чувствителен к начальным условиям ,
2. он должен быть топологически транзитивным ,
3. он должен иметь плотные периодические орбиты .

В некоторых случаях было показано, что последние два свойства выше фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям. ^{[24] [25]} В случае дискретного времени это верно для всех непрерывных отображений на метрических пространствах. ^[26] В этих случаях, хотя это часто является наиболее значимым с практической точки зрения свойством, в определении нет необходимости указывать «чувствительность к начальным условиям».

Если внимание ограничивается интервалами , второе свойство подразумевает два других. ^[27] Альтернативное и обычно более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из приведенного выше списка. ^[28]

Хаос как спонтанное нарушение топологической суперсимметрии [ править ]

В динамических системах с непрерывным временем хаос - это явление спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, которое является внутренним свойством операторов эволюции всех стохастических и детерминированных (частных) дифференциальных уравнений. ^{[29] [30]} Эта картина динамического хаоса работает не только для детерминированных моделей, но и для моделей с внешним шумом, что является важным обобщением с физической точки зрения, поскольку в действительности все динамические системы испытывают влияние их стохастической среды. . На этой картинке дальнодействующее динамическое поведение, связанное с хаотической динамикой (например, эффект бабочки ), является следствием теоремы Голдстоуна.- в приложении к спонтанному нарушению топологической суперсимметрии.

Чувствительность к начальным условиям [ править ]

Уравнения Лоренца используются для построения графиков для переменной y. Начальные условия для x и z остались прежними, но условия для y были изменены между 1.001 , 1.0001 и 1.00001 . Значения , и были 45,92 , 16 и 4 соответственно. Как видно из графика, даже малейшая разница в начальных значениях вызывает значительные изменения примерно через 12 секунд эволюции в трех случаях. Это пример чувствительной зависимости от начальных условий.${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ beta}$

Чувствительность к начальным условиям означает, что каждая точка в хаотической системе произвольно близко аппроксимируется другими точками, которые имеют существенно разные будущие пути или траектории. Таким образом, сколь угодно малое изменение или возмущение текущей траектории может привести к значительно иному поведению в будущем. ^[3]

Чувствительность к начальным условиям широко известна как « эффект бабочки », названный так из-за названия статьи, представленной Эдвардом Лоренцем в 1972 году Американской ассоциации развития науки в Вашингтоне, округ Колумбия, под названием « Предсказуемость: не так ли? Крылья бабочки в Бразилии вызвали торнадо в Техасе? . ^[31] Хлопающее крыло представляет собой небольшое изменение начального состояния системы, которое вызывает цепочку событий, препятствующих предсказуемости крупномасштабных явлений. Если бы бабочка не махала крыльями, траектория всей системы могла бы быть совершенно иной.

Следствием чувствительности к начальным условиям является то, что если мы начнем с ограниченного количества информации о системе (как это обычно бывает на практике), то по истечении определенного времени система больше не будет предсказуемой. Это наиболее распространено в случае погоды, которая обычно предсказуема только на неделю вперед. ^[32] Это не означает, что нельзя утверждать что-либо о событиях в далеком будущем - только то, что существуют некоторые ограничения для системы. Например, мы знаем с помощью погоды, что температура на Земле естественным образом не достигнет 100 ° C или упадет до -130 ° C (в текущую геологическую эпоху ), но это не означает, что мы можем точно предсказать, в какой день будет самая жаркая температура года.

Говоря более математически, показатель Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям в виде скорости экспоненциального отклонения от возмущенных начальных условий. ^[33] Более конкретно, учитывая две начальные траектории в фазовом пространстве , которые бесконечно близки, с начальным разделением , две траектории в конечном итоге расходятся со скоростью, определяемой${\ displaystyle \ delta \ mathbf {Z} _ {0}}$

${\ displaystyle | \ delta \ mathbf {Z} (t) | \ приблизительно e ^ {\ lambda t} | \ delta \ mathbf {Z} _ {0} |,}$

где - время, - показатель Ляпунова. Скорость разделения зависит от ориентации исходного вектора разделения, поэтому может существовать целый спектр показателей Ляпунова. Число показателей Ляпунова равно количеству измерений фазового пространства, хотя принято относиться к самому большому из них. Например, наиболее часто используется максимальный показатель Ляпунова (MLE), поскольку он определяет общую предсказуемость системы. Положительный MLE обычно считается признаком хаотичности системы. ^[7]${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ lambda}$

В дополнение к указанному выше свойству существуют и другие свойства, связанные с чувствительностью начальных условий. К ним относятся, например, смешение в теории меры (как обсуждается в эргодической теории) и свойства K-системы . ^[10]

Непериодичность [ править ]

Хаотическая система может иметь последовательности значений для развивающейся переменной, которые точно повторяются, обеспечивая периодическое поведение, начиная с любой точки этой последовательности. Однако такие периодические последовательности скорее отталкивают, чем привлекают, а это означает, что если развивающаяся переменная находится вне последовательности, даже если она близка, она не войдет в последовательность и фактически будет отклоняться от нее. Таким образом, почти для всех начальных условий переменная эволюционирует хаотично с непериодическим поведением.

Топологическое смешение [ править ]

Через логистическую карту прошли шесть итераций набора состояний . Первая итерация (синий цвет) - это начальное условие, которое по сути образует круг. Анимация показывает с первой по шестую итерацию круговых начальных условий. Видно, что смешивание происходит по мере продвижения итераций. Шестая итерация показывает, что точки практически полностью разбросаны в фазовом пространстве. Если бы мы продвинулись дальше в итерациях, перемешивание было бы однородным и необратимым. Логистическая карта имеет уравнение . Чтобы расширить пространство состояний логистической карты до двух измерений, было создано второе состояние , как если бы и иначе.${\ Displaystyle [х, у]}$${\ displaystyle x_ {k + 1} = 4x_ {k} (1-x_ {k})}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y_ {k + 1} = x_ {k} + y_ {k}}$${\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} <1}$${\ displaystyle y_ {k + 1} = x_ {k} + y_ {k} -1}$

Топологическое перемешивание (или более слабое условие топологической транзитивности) означает, что система со временем развивается так, что любая заданная область или открытое множество ее фазового пространства в конечном итоге перекрывается с любой другой заданной областью. Эта математическая концепция «смешивания» соответствует стандартной интуиции, а смешивание цветных красителей или жидкостей является примером хаотической системы.

Топологическое смешение часто не упоминается в популярных описаниях хаоса, которые приравнивают хаос только к чувствительности к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость только от начальных условий не дает хаоса. Например, рассмотрим простую динамическую систему, полученную путем многократного удвоения начального значения. Эта система повсюду чувствительно зависит от начальных условий, так как любая пара близлежащих точек со временем оказывается далеко разнесенной. Однако в этом примере нет топологического перемешивания и, следовательно, нет хаоса. В самом деле, его поведение чрезвычайно простое: все точки, кроме 0, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности.

Топологическая транзитивность [ править ]

Отображение называется топологически транзитивным, если для любой пары открытых множеств существует такое, что . Топологическая транзитивность - это более слабая версия топологического перемешивания . Интуитивно, если отображение топологически транзитивно тогда дали точку х и область V , существует точка у вблизи х , орбита проходит через V . Это означает, что невозможно разложить систему на два открытых множества. ^[34]${\ displaystyle f: X \ to X}$ ${\ Displaystyle U, V \ подмножество X}$${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle f ^ {k} (U) \ cap V \ neq \ emptyset}$

Важной связанной теоремой является теорема Биркгофа о транзитивности. Легко видеть, что существование плотной орбиты влечет за собой топологическую транзитивность. Биркгоф транзитивность теорема утверждает , что если X является вторым счетным , полным метрическим пространством , то топологическая транзитивность предполагает существование плотного множества точек в X , которые имеют плотные орбиты. ^[35]

Плотность периодических орбит [ править ]

Для хаотической системы наличие плотных периодических орбит означает, что к каждой точке пространства сколь угодно близко подходят периодические орбиты. ^[34] Одномерное логистическое отображение, определяемое как x → 4 x (1 - x ), является одной из простейших систем с плотностью периодических орбит. Например,  →  → (или приблизительно 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) является (нестабильной) орбитой периода 2, и аналогичные орбиты существуют для периодов 4, 8, 16 и т. Д. (Действительно, для всех периодов, указанных теоремой Шарковского ) . ^[36]${\ displaystyle {\ tfrac {5 - {\ sqrt {5}}} {8}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {5 + {\ sqrt {5}}} {8}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {5 - {\ sqrt {5}}} {8}}}$

Теорема Шарковского лежит в основе доказательства Ли и Йорка ^[37] (1975), что любая непрерывная одномерная система, которая демонстрирует регулярный цикл периода три, также будет отображать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.

Странные аттракторы [ править ]

Некоторые динамические системы, такие как одномерное логистическое отображение, определяемое как x → 4 x (1 - x ), хаотичны везде, но во многих случаях хаотическое поведение обнаруживается только в подмножестве фазового пространства. Наибольший интерес возникают случаи, когда хаотическое поведение имеет место на аттракторе , поскольку тогда большой набор начальных условий приводит к орбитам, сходящимся к этой хаотической области. ^[38]

Простой способ визуализировать хаотический аттрактор - начать с точки в области притяжения аттрактора, а затем просто построить ее следующую орбиту. Из-за условия топологической транзитивности это, вероятно, даст картину всего конечного аттрактора, и действительно, обе орбиты, показанные на рисунке справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели погодной системы Лоренца . Аттрактор Лоренца, возможно, является одной из самых известных диаграмм хаотической системы, вероятно, потому, что он не только один из первых, но и один из самых сложных и, как таковой, дает начало очень интересной схеме, которая с учетом немного воображения, похоже на крылья бабочки.

В отличие от аттракторов с неподвижной точкой и предельных циклов , аттракторы, возникающие из хаотических систем, известные как странные аттракторы , имеют большую детализацию и сложность. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких как отображение Энона ). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую множеством Жюлиа , которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Наборы Julia можно рассматривать как странные отпугиватели. И странные аттракторы, и множества Жюлиа обычно имеют фрактальную структуру, а фрактальную размерность на них можно рассчитать.

Минимальная сложность хаотической системы [ править ]

Дискретные хаотические системы, такие как логистическая карта, могут проявлять странные аттракторы независимо от их размерности . Универсальность одномерных отображений с параболическими максимумами и Фейгенбаумом константами , ^{[39] [40]} хорошо виден с картой , предложенной в качестве игрушечной модели для дискретных лазерных динамики: , где обозначает амплитуды электрического поля, ^[41] является усилением лазера бифуркации параметр. Постепенное увеличение интервала at изменяет динамику с регулярной на хаотическую ^[42] с качественно такой же бифуркационной диаграммой, как и для логистической карты .${\ displaystyle \ delta = 4,664201 ...}$${\ displaystyle \ alpha = 2,502907 ...}$${\ Displaystyle х \ rightarrow Gx (1- \ mathrm {tanh} (x))}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$

Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре – Бендиксона показывает, что странный аттрактор может возникать только в трех или более измерениях. Конечномерные линейные системы никогда не бывают хаотическими; Чтобы динамическая система демонстрировала хаотическое поведение, она должна быть либо нелинейной, либо бесконечномерной.

Теорема Пуанкаре – Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, порождается системой трех дифференциальных уравнений, таких как:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

где , и составляет состояние системы , время, и , , являются системными параметрами . Пять членов в правой части являются линейными, а два - квадратичными; всего семь сроков. Другой хорошо известный хаотический аттрактор порождается уравнениями Рёсслера , которые имеют только один нелинейный член из семи. Спротт ^[43] нашел трехмерную систему всего с пятью членами, в которой был только один нелинейный член, который демонстрирует хаос для определенных значений параметров. Чжан и Хайдель ^{[44] [45]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$показал, что, по крайней мере, для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя членами в правой части не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем асимптотичны по отношению к двумерной поверхности и, следовательно, решения имеют хорошее поведение.

В то время как теорема Пуанкаре-Бендиксона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотической, двумерные непрерывные системы с неевклидовой геометрией могут демонстрировать хаотическое поведение. ^{[46] [ самостоятельно опубликованный источник? ]} Удивительно, но хаос может возникать и в линейных системах, если они бесконечномерны. ^[47] Теория линейного хаоса развивается в области математического анализа, известной как функциональный анализ .

Бесконечные карты [ править ]

Прямое обобщение связанных дискретных отображений ^[48] основано на интеграле свертки , который опосредует взаимодействие между пространственно распределенных картами: ,${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$

где ядро - это пропагатор, полученный как функция Грина соответствующей физической системы, ^[49] может быть как логистической картой, так и сложной картой . В качестве примеров сложных карт может служить множество Джулии или карта Икеда . Когда рассматриваются проблемы распространения волн на расстоянии с длиной волны , ядро может иметь форму функции Грина для уравнения Шредингера :. ^{[50] [51]}${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$ ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$ ${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$${\displaystyle L=ct}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

Системы рывков [ править ]

В физике , рывок является третьей производной позиции по отношению ко времени. Таким образом, дифференциальные уравнения вида

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

иногда называют уравнениями Джерка . Было показано, что уравнение рывка, которое эквивалентно системе трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в определенном смысле является минимальным параметром для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к рывковым системам. Системы, включающие четвертую или более высокую производную, соответственно называются системами гиперджерка. ^[52]

Поведение системы рывков описывается уравнением рывков, и для некоторых уравнений рывков простые электронные схемы могут моделировать решения. Эти схемы известны как схемы рывков.

Одно из наиболее интересных свойств рывковых схем - возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые хорошо известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Ресслера , условно описываются как система трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть объединены в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Нелинейные рывковые системы - это в некотором смысле минимально сложные системы, демонстрирующие хаотическое поведение; не существует хаотической системы, включающей только два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка (система, приводящая к уравнению только второго порядка).

Примером уравнения рывка с нелинейностью по величине является:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

Здесь A - регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение для A = 3/5 и может быть реализовано с помощью следующей схемы рывка; требуемая нелинейность обеспечивается двумя диодами:

В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковую номинальную стоимость, за исключением конденсаторов одинакового размера. Доминирующая частота . Выходной сигнал операционного усилителя 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной.${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$${\displaystyle 1/2\pi RC}$

Подобные схемы требуют только одного диода ^[53] или вообще не требуют диодов. ^[54]

См. Также хорошо известную схему Чуа , основу для хаотических генераторов истинных случайных чисел. ^[55] Простота построения схемы сделала ее повсеместным реальным примером хаотической системы.

Спонтанный порядок [ править ]

При правильных условиях хаос спонтанно превращается в последовательность шагов. В модели Курамото четырех условий достаточно, чтобы произвести синхронизацию в хаотической системе. Примеры включают в сочетании колебания от Христианом Гюйгенсом 'маятников, светлячков, нейронов , в Лондоне Мост Тысячелетия резонанса, а также больших массивов Джозефсона . ^[56]

История [ править ]

Одним из первых сторонников теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая задачу трех тел , он обнаружил, что могут быть непериодические орбиты, которые, тем не менее, не постоянно увеличиваются и не приближаются к фиксированной точке. ^{[57] [58] [59]} В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны, названное « биллиардом Адамара ». ^[60] Адамару удалось показать, что все траектории нестабильны, поскольку все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова .

Теория хаоса началась в области эргодической теории . Более поздние исследования, также посвященные нелинейным дифференциальным уравнениям , были выполнены Джорджем Дэвидом Биркоффом , ^[61] Андреем Николаевичем Колмогоровым , ^{[62] [63] [64]} Мэри Люси Картрайт и Джоном Эденсором Литтлвудом , ^[65] и Стивеном Смейлом. . ^[66] За исключением Смейла, все эти исследования были непосредственно вдохновлены физикой: проблема трех тел в случае Биркгофа, турбулентность и астрономические проблемы в случае Колмогорова и радиотехника в случае Картрайта и Литтлвуда. ^{[необходима цитата ]}Хотя хаотическое движение планет не наблюдалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью в движении жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах без теории, объясняющей то, что они видели.

Несмотря на первоначальные открытия, сделанные в первой половине двадцатого века, теория хаоса формализовалась как таковая только после середины века, когда некоторым ученым впервые стало очевидно, что линейная теория , преобладающая в то время теория систем, просто не могла объяснить наблюдаемые явления. поведение определенных экспериментов, подобных логистической карте . То, что приписывалось неточности измерений и простому « шуму », рассматривалось теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем.

Основным катализатором развития теории хаоса была электронная вычислительная машина. Многое из математики теории хаоса предполагает неоднократное повторение простых математических формул, которые были бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторяющиеся вычисления практичными, а рисунки и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом лаборатории Тихиро Хаяси в университете Киото, Ёсисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и 27 ноября 1961 года заметил то, что он назвал «случайным переходным феноменом». Однако его советник не согласился с его выводами в то время и не разрешил ему сообщить о своих выводах до 1970 года. ^{[67] [68]}

Эдвард Лоренц был пионером этой теории. Его интерес к хаосу возник случайно в результате его работы по предсказанию погоды в 1961 году. ^[12] Лоренц использовал простой цифровой компьютер Royal McBee LGP-30., чтобы запустить симуляцию погоды. Он хотел снова увидеть последовательность данных и, чтобы сэкономить время, начал симуляцию в середине ее хода. Он сделал это, распечатав данные, которые соответствовали условиям в середине исходного моделирования. К его удивлению, погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от предыдущего расчета. Лоренц отследил это до компьютерной распечатки. Компьютер работал с 6-значной точностью, но в распечатке переменные округлялись до 3-значного числа, поэтому значение вроде 0,506127 напечатано как 0,506. Это различие крошечное, и в то время считалось, что оно не должно иметь практического эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения начальных условий приводят к большим изменениям в долгосрочных результатах. ^[69]Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца , показало, что даже подробное атмосферное моделирование, как правило, не может дать точных долгосрочных прогнозов погоды.

В 1963 году Бенуа Мандельброт обнаружил повторяющиеся закономерности во всех масштабах данных о ценах на хлопок. ^[70] Предварительно он изучил теорию информации и пришел к выводу, что шум имеет структуру, подобную канторовскому множеству : на любой шкале отношение периодов, содержащих шум, к периодам без ошибок было постоянным - таким образом, ошибки были неизбежны и должны планироваться путем включения избыточности. . ^[71] Мандельброт описал как «эффект Ноя» (при котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Джозефа» (при котором значение может сохраняться в течение некоторого времени, но затем внезапно измениться). ^{[72] [73]} Это поставило под сомнение идею о нормальном распределении изменений цен.. В 1967 году он опубликовал статью « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробное измерение », в котором показано, что длина береговой линии зависит от масштаба измерительного прибора, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна по длине в течение бесконечно маленький измерительный прибор. ^[74] Утверждая, что клубок шпагата выглядит как точка при взгляде издалека (0-мерный), шар при взгляде достаточно близко (3-мерный) или изогнутый прядь (1-мерный), он утверждал, что размеры объекта относятся к наблюдателю и могут быть дробными. Объект, неоднородность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом (например, губка Менгера, прокладка Серпинского и кривая Коха или снежинка , которая бесконечно длинна, но охватывает конечное пространство и имеет фрактальную размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал «Фрактальную геометрию природы» , ставшую классикой теории хаоса. ^[75] Биологические системы, такие как разветвление кровеносной и бронхиальной систем, оказались подходящими для фрактальной модели. ^[76]

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, на котором присутствовали Дэвид Рюэлль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос» в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард. Лоренц. В следующем году Пьер Кулле и Чарльз Трессер опубликовали «Итерации эндоморфизмов и группу перенормировок», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для одного класса нелинейных преобразований» наконец появилась в журнале после трехлетнего отказа рецензентов. ^{[40] [77]} Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулле и Трессер (1978) открыли универсальность в хаосе, что позволяет применять теорию хаоса ко многим различным явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либхабер во время симпозиума, организованного Пьером Хоэнбергом в Аспене , представил свое экспериментальное наблюдение бифуркационного каскада, который приводит к хаосу и турбулентности в конвективных системах Рэлея – Бенара . Он был награжден премией Вольфа по физике в 1986 году вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения. ^[78]

В 1986 году Нью-Йоркская академия наук совместно с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований организовала первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Хуберман представил математическую модель нарушения слежения за глазами у шизофреников . ^[79] Это привело к обновлению физиологии в 1980-х годах за счет применения теории хаоса, например, при изучении патологических сердечных циклов .

В 1987 году Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали статью в Physical Review Letters ^[80], в которой впервые описали самоорганизованную критичность (SOC), считающуюся одним из механизмов возникновения сложности в природе.

Наряду с в основном лабораторными подходами, такими как куча песка Бак-Танга-Визенфельда , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных природных или социальных системах, которые, как известно (или подозреваются), демонстрируют масштабно-инвариантное поведение. Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, первоначально) специалистами по изучаемым предметам, SOC, тем не менее, зарекомендовал себя как сильный кандидат для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые задолго до открытия SOC были известны. как источник масштабно-инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга – Рихтера, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений, и закон Омори ^[81]описывая частоту афтершоков), солнечные вспышки , колебания в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC распространены в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическая эволюция (где, например, упоминается SOC. , как динамический механизм, лежащий в основе теории « прерывистого равновесия », предложенной Найлзом Элдриджем и Стивеном Джеем Гулдом.). Учитывая последствия безмасштабного распределения размеров событий, некоторые исследователи предположили, что еще одним явлением, которое следует рассматривать как пример SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (разработка новых моделей или адаптация существующих к специфике данной природной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и / или характеристик естественных законов масштабирования.

В том же году Джеймс Глейк опубликовал книгу « Хаос: создание новой науки» , которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса, а также его историю, хотя в его истории недооценивался важный советский вклад. ^{[ необходима цитата ] [82]} Изначально теория хаоса принадлежала нескольким изолированным людям, но постепенно превратилась в междисциплинарную и институциональную дисциплину, в основном под названием нелинейного системного анализа. Намекая Thomas Kuhn концепции «s в виде сдвига парадигмы открытого в Структуре научных революций(1962), многие «хаологи» (как некоторые описывали себя) утверждали, что эта новая теория была примером такого сдвига, и этот тезис поддержал Глейк.

Доступность более дешевых и более мощных компьютеров расширяет применимость теории хаоса. В настоящее время теория хаоса остается активной областью исследований ^[83], охватывающих множество различных дисциплин, таких как математика , топология , физика , ^[84] социальные системы , ^[85] моделирование населения , биология , метеорология , астрофизика , теория информации , вычислительная нейробиология и др. кризисное управление пандемией , ^{[17] [18]} и т. д.

Приложения [ править ]

Хотя теория хаоса родилась из наблюдений за погодными условиями, она стала применимой к множеству других ситуаций. Некоторые области, которым сегодня приносит пользу теория хаоса, - это геология , математика , микробиология , биология , информатика , экономика , ^{[87] [88] [89]} инженерия , ^{[90] [91]} финансы , ^{[92] [93]} алгоритмическая торговля , ^{[ 94] [95] [96]} метеорология , философия , антропология , ^[15] физика, ^{[97] [98] [99]} политика , ^{[100] [101]} динамика населения , ^[102] психология , ^[14] и робототехника . Несколько категорий перечислены ниже с примерами, но это ни в коем случае не исчерпывающий список, поскольку появляются новые приложения.

Криптография [ править ]

Теория хаоса уже много лет используется в криптографии . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , безопасные генераторы псевдослучайных чисел , потоковые шифры , водяные знаки и стеганографию . ^[103] Большинство этих алгоритмов основаны на одномодальных хаотических картах, и большая часть этих алгоритмов использует параметры управления и начальное состояние хаотических карт в качестве ключей. ^[104]С более широкой точки зрения, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов на основе хаоса. ^[103] Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ , основан на распространении и путанице , что хорошо моделируется теорией хаоса. ^[105] Другой тип вычислений, ДНК-вычисления , в сочетании с теорией хаоса, предлагает способ шифрования изображений и другой информации. ^[106] Доказано, что многие из криптографических алгоритмов DNA-Chaos либо небезопасны, либо применяемая техника считается неэффективной. ^{[107] [108] [109]}

Робототехника [ править ]

Робототехника - еще одна область, в которой теория хаоса недавно извлекла пользу. Вместо того, чтобы роботы действовали методом проб и ошибок, чтобы взаимодействовать с окружающей средой, для построения прогнозной модели использовалась теория хаоса . ^[110] Хаотическая динамика была продемонстрирована пассивными шагающими двуногими роботами. ^[111]

Биология [ править ]

Более ста лет биологи отслеживают популяции разных видов с помощью популяционных моделей . Большинство моделей являются непрерывными , но недавно ученым удалось реализовать хаотические модели в определенных популяциях. ^[112] Например, исследование моделей канадской рыси показало, что рост популяции характеризовался хаотическим поведением. ^[113] Хаос также можно найти в экологических системах, таких как гидрология . Хотя хаотическая гидрологическая модель имеет свои недостатки, еще предстоит многому научиться, глядя на данные через призму теории хаоса. ^[114] Другое биологическое применение - кардиотокография.. Наблюдение за плодами - это тонкий баланс между получением точной информации и максимально неинвазивным действием. Более точные модели предупреждающих признаков гипоксии плода можно получить с помощью хаотического моделирования. ^[115]

Экономика [ править ]

Возможно, что экономические модели также могут быть улучшены путем применения теории хаоса, но прогнозирование состояния экономической системы и того, какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. ^[116] Экономические и финансовые системы фундаментально отличаются от систем классического естествознания, поскольку первые по своей природе являются стохастическими по своей природе, поскольку они возникают в результате взаимодействия людей, и, таким образом, чисто детерминированные модели вряд ли обеспечат точное представление данных. Эмпирическая литература, которая проверяет хаос в экономике и финансах, дает очень неоднозначные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения. ^[117]

Хаос можно найти в экономике с помощью количественного анализа повторяемости . Фактически, Орландо и др. ^[118] с помощью так называемого индекса корреляции количественной повторяемости смогли обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем тот же метод был использован для обнаружения переходов от ламинарных (т.е. регулярных) к турбулентным (т.е. хаотическим) фазам, а также различий между макроэкономическими переменными и выявления скрытых особенностей экономической динамики. ^[119] Наконец, хаос может помочь в моделировании функционирования экономики, а также в создании шоков, вызванных внешними событиями, такими как COVID-19. ^[120]

Другие области [ править ]

В химии предсказание растворимости газа важно для производства полимеров , но модели, использующие оптимизацию роя частиц (PSO), имеют тенденцию сходиться к неверным точкам. Улучшенная версия PSO была создана путем введения хаоса, который предотвращает застревание моделирования. ^[121] В небесной механике , особенно при наблюдении за астероидами, применение теории хаоса позволяет лучше предсказывать, когда эти объекты приблизятся к Земле и другим планетам. ^[122] Четыре из пяти спутников Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов джозефсоновских контактовизвлекла большую пользу из теории хаоса. ^[123] Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа приводят к гибели многих людей. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотические тенденции, которые при правильном моделировании можно довольно точно предсказать. ^[124]

Теорию хаоса можно применять вне естественных наук, но исторически почти все такие исследования страдали от недостатка воспроизводимости; плохая внешняя валидность; и / или невнимание к перекрестной проверке, что приводит к плохой точности прогнозирования (если даже предпринималась попытка прогнозирования вне выборки). Гласс ^[125], Манделл и Зельц ^[126] обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ еще не показало наличие странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.

Исследователи продолжали применять теорию хаоса к психологии. Например, при моделировании группового поведения, в котором разнородные члены могут вести себя так, как если бы они в разной степени разделяли то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что групповая динамика является результатом индивидуальной динамики членов: каждый индивид воспроизводит групповую динамику в разном масштабе, и хаотическое поведение группы отражается в каждом члене. ^[127]

Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может проявлять хаотические черты. Они отслеживали изменения в интервалах между ударами сердца для одного пациента психотерапевта, когда она проходила через периоды различной эмоциональной интенсивности во время сеанса терапии. По общему признанию, результаты были неубедительными. Не только были неоднозначности в различных графиках, которые авторы создали, чтобы якобы показать доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовая траектория и графики автокорреляции), но и когда они попытались вычислить показатель Ляпунова как более окончательное подтверждение хаотического поведения, авторы обнаружили, что они не могут этого сделать. ^[128]

В своей статье 1995 года Меткалф и Аллен ^[129] утверждали, что они обнаружили в поведении животных образец удвоения периода, ведущего к хаосу. Авторы исследовали хорошо известную реакцию, называемую полидипсией, вызванной расписанием, при которой животное, лишенное пищи в течение определенного периода времени, будет пить необычное количество воды, когда пищу, наконец, принесут. Действующим здесь контрольным параметром (r) была длина интервала между кормлениями после возобновления. Авторы тщательно протестировали большое количество животных и включили множество повторений, и они спланировали свой эксперимент так, чтобы исключить вероятность того, что изменения в образцах ответов были вызваны разными начальными точками для r.

Временные ряды и графики первых задержек лучше всего подтверждают сделанные заявления, демонстрируя довольно четкий переход от периодичности к нерегулярности по мере увеличения времени кормления. С другой стороны, различные графики фазовых траекторий и спектральный анализ недостаточно хорошо согласуются с другими графиками или с общей теорией, чтобы неумолимо вести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не показывают определенной прогрессии в сторону все большей и большей сложности (и от периодичности); процесс кажется довольно запутанным. Кроме того, там, где Меткалф и Аллен видели периоды два и шесть на своих спектральных графиках, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта двусмысленность требует некоторого извилистого, апостериорного объяснения, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотической модели.

Адаптировав модель консультирования по вопросам карьеры, чтобы включить хаотическую интерпретацию отношений между сотрудниками и рынком труда, Аниундсон и Брайт обнаружили, что лучшие предложения можно делать людям, которые борются с карьерными решениями. ^[130] Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами, подверженные действию внутренних и внешних сил, которые могут способствовать хаосу. Например, построение команды и групповое развитие все чаще исследуются как изначально непредсказуемая система, поскольку неопределенность различных людей, встречающихся впервые, делает непознаваемой траекторию команды. ^[131]

Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в вербальных теориях, основанная на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения, дает полезные сведения для описания сложности небольших рабочих групп, выходящие за рамки самой метафоры. ^[132]

Для прогнозирования трафика может быть полезно применение теории хаоса. Более точные прогнозы того, когда возникнет трафик, позволят принять меры по его рассредоточению до того, как это произойдет. Сочетание принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. График модели трафика BML справа). ^[133]

Теория хаоса была применена к данным о круговороте воды в окружающей среде (также известным как гидрологические данные), таким как количество осадков и речной сток. ^[134] Эти исследования дали противоречивые результаты, потому что методы обнаружения хаотической сигнатуры часто относительно субъективны. Ранние исследования имели тенденцию «преуспевать» в обнаружении хаоса, тогда как последующие исследования и метаанализ ставили эти исследования под сомнение и давали объяснения, почему эти наборы данных вряд ли имеют хаотическую динамику низкой размерности. ^[135]

См. Также [ править ]

Примеры хаотических систем

Другие связанные темы

Люди

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Статьи [ править ]

• Шарковский А Н (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
• Li, TY ; Йорк, Дж. А. (1975). «Третий период подразумевает хаос» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–92. Bibcode : 1975AmMM ... 82..985L . CiteSeerX  10.1.1.329.5038 . DOI : 10.2307 / 2318254 . JSTOR  2318254 .
• Алемансур, Хамед; Миандоаб, Эхсан Маани; Пишкенари, Хоссейн Неджат (март 2017 г.). «Влияние размера на хаотическое поведение нанорезонаторов». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 44 : 495–505. Bibcode : 2017CNSNS..44..495A . DOI : 10.1016 / j.cnsns.2016.09.010 .
• Кратчфилд ; Такер; Моррисон; JD Farmer ; Паккард ; NH; Шоу ; RS (декабрь 1986 г.). "Хаос". Scientific American . 255 (6): 38–49 (библиография с.136). Bibcode : 1986SciAm.255d..38T . DOI : 10.1038 / Scientificamerican1286-46 . Онлайн-версия (Примечание: объем и ссылка на страницу для онлайн-текста отличаются от цитируемого здесь. Цитата здесь взята из фотокопии, которая согласуется с другими цитатами, найденными в Интернете, которые не предоставляют просмотры статей. Онлайн-контент идентичен к печатному тексту. Варианты цитирования зависят от страны публикации).
• Коляда, СФ (2004). «Чувствительность Ли-Йорка и другие концепции хаоса». Украинская математика. Дж . 56 (8): 1242–57. DOI : 10.1007 / s11253-005-0055-4 . S2CID  207251437 .
• День, RH; Павлов, О.В. (2004). «Вычисление экономического хаоса». Вычислительная экономика . 23 (4): 289–301. DOI : 10,1023 / Б: CSEM.0000026787.81469.1f . S2CID  119972392 . SSRN  806124 .
• Strelioff, C .; Хюблер А. (2006). «Среднесрочное предсказание хаоса» (PDF) . Phys. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Bibcode : 2006PhRvL..96d4101S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.044101 . PMID  16486826 . 044101. Архивировано из оригинального (PDF) 26 апреля 2013 года .
• Hübler, A .; Фостер, G .; Фелпс, К. (2007). «Управление хаосом: нестандартное мышление» (PDF) . Сложность . 12 (3): 10–13. Bibcode : 2007Cmplx..12c..10H . DOI : 10.1002 / cplx.20159 . Архивировано из оригинального (PDF) 30 октября 2012 года . Проверено 17 июля 2011 .
• Motter, Adilson E .; Кэмпбелл, Дэвид К. (2013). «Хаос в 50». Физика сегодня . 66 (5): 27. arXiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013PhT .... 66e..27M . DOI : 10.1063 / PT.3.1977 . S2CID  54005470 .

Учебники [ править ]

• Alligood, KT; Зауэр, Т .; Йорк, JA (1997). Хаос: введение в динамические системы . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
• Бейкер, GL (1996). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39511-3.
• Badii, R .; Полити А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66385-4.
• Бунде; Хавлин, Шломо , ред. (1996). Фракталы и неупорядоченные системы . Springer. ISBN 978-3642848704.и Бунде; Хавлин, Шломо , ред. (1994). Фракталы в науке . Springer. ISBN 978-3-540-56220-7.
• Колле, Пьер, и Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Бирхаузер. ISBN 978-0-8176-4926-5.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы (2-е изд.). Westview Press. ISBN 978-0-8133-4085-2.
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос . CRC Press. ISBN 0-8493-8493-1.
• Фельдман, Д.П. (2012). Хаос и фракталы: элементарное введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-956644-0.
• Gollub, JP; Бейкер, GL (1996). Хаотическая динамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-47685-0.
• Гукенхаймер, Джон ; Холмс, Филип (1983). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90819-9.
• Гулик, Денни (1992). Встречи с хаосом . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-025203-5.
• Гуцвиллер, Мартин (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.
• Гувер, Уильям Грэм (2001) [1999]. Обратимость времени, компьютерное моделирование и хаос . World Scientific. ISBN 978-981-02-4073-8.
• Каутц, Ричард (2011). Хаос: наука о предсказуемом случайном движении . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-959458-0.
• Киль, Л. Дуглас; Эллиотт, Юэл В. (1997). Теория хаоса в социальных науках . Издательство "Персей". ISBN 978-0-472-08472-2.
• Луна, Фрэнсис (1990). Хаотическая и фрактальная динамика . Springer-Verlag. ISBN 978-0-471-54571-2.
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01084-9.
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство "Персей". ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Тел, Тамаш; Груис, Мартон (2006). Хаотическая динамика: введение, основанное на классической механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83912-9.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Томпсон Дж. М., Стюарт Х. Б. (2001). Нелинейная динамика и хаос . ISBN компании John Wiley and Sons Ltd. 978-0-471-87645-8.
• Туфилларо ; Рейли (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Американский журнал физики . 61 . Эддисон-Уэсли. п. 958. Bibcode : 1993AmJPh..61..958T . DOI : 10.1119 / 1.17380 . ISBN 978-0-201-55441-0.
• Виггинс, Стивен (2003). Введение в прикладные динамические системы и хаос . Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
• Заславский, Георгий М. (2005). Гамильтонов хаос и дробная динамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-852604-9.

Полтехнические и популярные работы [ править ]

• Кристоф Летелье , Хаос в природе , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2 . 
• Авраам, Ральф; и другие. (2000). Abraham, Ralph H .; Уэда, Ёсисуке (ред.). Авангард Хаоса: Мемуары первых дней теории хаоса . Всемирная научная серия по нелинейным наукам, серия A. 39 . World Scientific. Bibcode : 2000cagm.book ..... . DOI : 10,1142 / 4510 . ISBN 978-981-238-647-2.
• Барнсли, Майкл Ф. (2000). Фракталы везде . Морган Кауфманн. ISBN 978-0-12-079069-2.
• Берд, Ричард Дж. (2003). Хаос и жизнь: сложность и порядок в эволюции и мысли . Издательство Колумбийского университета. ISBN 978-0-231-12662-5.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Turbulent Mirror:: иллюстрированное руководство по теории хаоса и науке целостности , Harper Perennial 1990, 224 стр.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость от науки изменений , Harper Perennial 2000, 224 стр.
• Каннингем, Лоуренс А. (1994). «От случайных блужданий к хаотическим сбоям: линейная генеалогия гипотезы эффективного рынка капитала». Обзор закона Джорджа Вашингтона . 62 : 546.
• Предраг Цвитанович , Универсальность в хаосе , Адам Хильгер, 1989, 648 стр.
• Леон Гласс и Майкл С. Макки, От часов к хаосу: ритмы жизни, Princeton University Press 1988, 272 стр.
• Джеймс Глейк , Хаос: создание новой науки , Нью-Йорк: Пингвин, 1988. 368 с.
• Джон Гриббин. Глубокая простота . Penguin Press Science. Книги пингвинов.
• Л. Дуглас Киль, Юэл Эллиотт (редактор), Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения , University of Michigan Press, 1997, 360 стр.
• Арвинд Кумар, Хаос, фракталы и самоорганизация; Новые взгляды на сложность природы , Национальный книжный фонд, 2003.
• Ханс Лауверьер, фракталы , Princeton University Press, 1991.
• Эдвард Лоренц , Сущность хаоса , Вашингтонский университет, 1996.
• Маршалл, Алан (2002). Единство природы - целостность и дезинтеграция в экологии и науке . DOI : 10.1142 / 9781860949548 . ISBN 9781860949548.
• Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука сложности , Фриман, 1994.
• Хайнц-Отто Пейтген и Дитмар Саупе ( редакторы ), Наука о фрактальных изображениях , Springer 1988, 312 стр.
• Клиффорд А. Пиковер , Компьютеры, узор, хаос и красота: графика из невидимого мира , St Martins Pr 1991.
• Клиффорд А. Пиковер , Хаос в стране чудес: Визуальные приключения во фрактальном мире , Сент-Мартинс, 1994.
• Илья Пригожин и Изабель Стенгерс , « Порядок вне хаоса» , Bantam 1984.
• Пайтген, Хайнц-Отто; Рихтер, Питер Х. (1986). Красота фракталов . DOI : 10.1007 / 978-3-642-61717-1 . ISBN 978-3-642-61719-5.
• Дэвид Рюэлль , шанс и хаос , Princeton University Press 1993.
• Иварс Петерсон , Часы Ньютона: Хаос в Солнечной системе , Фримен, 1993.
• Ян Роулстон; Джон Норбери (2013). Невидимый во время бури: роль математики в понимании погоды . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691152721.
• Руэлль, Д. (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . DOI : 10.1017 / CBO9780511608773 . ISBN 9780521362726.
• Манфред Шредер, Фракталы, хаос и степенные законы , Фриман, 1991.
• Смит, Питер (1998). Объясняя хаос . DOI : 10.1017 / CBO9780511554544 . ISBN 9780511554544.
• Ян Стюарт , Играет ли Бог в кости ?: Математика хаоса , издательство Blackwell Publishers, 1990.
• Стивен Строгац , Синхронизация: развивающаяся наука о спонтанном порядке , Hyperion, 2003.
• Ёсисуке Уэда, Дорога к хаосу , Aerial Pr, 1993.
• М. Митчелл Уолдроп, Сложность: новая наука на грани порядка и хаоса , Саймон и Шустер, 1992.
• Антонио Савая, Анализ финансовых временных рядов: подход хаоса и нейродинамики , Ламберт, 2012.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теории хаоса .

• "Хаос" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Группа исследования нелинейной динамики с анимацией во Flash
• Группа Хаоса в Университете Мэриленда
• Гипертекстовый книгу Хаоса . Введение в хаос и фракталы
• ChaosBook.org Учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
• Общество теории хаоса в психологии и естественных науках
• Группа исследований нелинейной динамики в CSDC , Флоренция, Италия
• Интерактивный эксперимент с хаотическим маятником в реальном времени , позволяет пользователям взаимодействовать и брать образцы данных с реального рабочего хаотического маятника с демпфированием
• Нелинейная динамика: как наука понимает хаос , доклад Санни Ауянг, 1998 г.
• Нелинейная динамика . Модели бифуркации и хаоса Элмера Г. Винса
• Хаос Глейка (отрывок)
• Группа системного анализа, моделирования и прогнозирования Оксфордского университета
• Страница об уравнении Макки-Гласса
• Высокие тревоги - Математика хаоса (2008), документальный фильм BBC, режиссер Дэвид Мэлоун
• Теория эволюции хаоса - статья, опубликованная в Newscientist, демонстрирующая сходство эволюции и нелинейных систем, включая фрактальную природу жизни и хаос.
• Джос Лейс, Этьен Гиз и Орелиен Альварес, Хаос, математическое приключение . Девять фильмов о динамических системах, эффекте бабочки и теории хаоса, рассчитанных на широкий круг зрителей.
• "Теория хаоса" , обсуждение BBC Radio 4 со Сьюзен Гринфилд, Дэвидом Папино и Нилом Джонсоном ( в наше время , 16 мая 2002 г.)