Двойной маятник

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Двойной маятник состоит из двух маятников, прикрепленных встык.

В физике и математике , в области динамических систем , двойной маятник - это маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, и представляет собой простую физическую систему, которая демонстрирует богатое динамическое поведение с сильной чувствительностью к начальным условиям . ^[1] Движение двойного маятника регулируется набором связанных обыкновенных дифференциальных уравнений и является хаотическим .

Анализ и интерпретация [ править ]

Можно рассмотреть несколько вариантов двойного маятника; две конечности могут быть равной или неравной длины и массы, они могут быть простыми маятниками или составными маятниками (также называемыми сложными маятниками), а движение может быть трехмерным или ограничиваться вертикальной плоскостью. В следующем анализе конечности принимаются как идентичные составные маятники длиной $l$ и массой $m$ , а движение ограничено двумя измерениями.

Двойной составной маятник

Движение двойного составного маятника (из численного интегрирования уравнений движения)

Траектории двойного маятника

В составном маятнике масса распределена по его длине. Если масса равномерно распределяются, то центр масс каждой конечности в ее середине, и конечность имеет момент инерции от $I = 1 / 12 мл 2$ примерно в этой точке.

Углы между каждой конечностью и вертикалью удобно использовать в качестве обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы. Эти углы обозначаются $θ 1$ и $θ 2$ . Положение центра масс каждого стержня можно записать в терминах этих двух координат. Если принять начало декартовой системы координат в точке подвешивания первого маятника, то центр масс этого маятника находится в:

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = {\ frac {l} {2}} \ sin \ theta _ {1} \\ y_ {1} & = - {\ frac {l} {2 }} \ cos \ theta _ {1} \ конец {выровнено}}}

а центр масс второго маятника находится в

{\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}

Этой информации достаточно, чтобы выписать лагранжиан.

Лагранжиан [ править ]

Лагранжиан является

{\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

Первый членом является линейной кинетической энергией от центра масс тел , а второй член представляет собой вращательную кинетическая энергия вокруг центра масс каждого стержня. Последний член - это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле. Дот-нотации указывает на производную по времени переменной в вопросе.

Подставляя приведенные выше координаты и переставляя уравнение, получаем

L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

Есть только одна сохраняющаяся величина (энергия) и нет сохраняющихся импульсов. Два обобщенных импульса можно записать как

{\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}

Эти выражения можно инвертировать, чтобы получить

{\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}

Остальные уравнения движения записываются как

{\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}

Эти последние четыре уравнения представляют собой явные формулы для временной эволюции системы с учетом ее текущего состояния. Невозможно ^{[ цитата ]} пойти дальше и интегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для $θ 1$ и $θ 2$ как функций времени. Однако можно выполнить это интегрирование численно, используя метод Рунге-Кутта или аналогичные методы.

Хаотическое движение [ править ]

График времени переворота маятника в зависимости от начальных условий

Длительная выдержка двойного маятника, демонстрирующего хаотическое движение (отслеживается светодиодом )

Двойной маятник совершает хаотическое движение и чувствительно зависит от начальных условий . Изображение справа показывает количество времени, прошедшее до того, как маятник перевернется, в зависимости от исходного положения при отпускании в состоянии покоя. Здесь начальное значение $θ 1$ изменяется в направлении $x$ от −3 до 3. Начальное значение $θ 2$ изменяется в направлении $y$ от −3 до 3. Цвет каждого пикселя указывает, переворачивается ли какой-либо маятник в пределах:

$10 \sqrt л ⁄ г$ (зеленый)
$100 \sqrt л ⁄ г$ (красный)
$1000 \sqrt л ⁄ г$ (фиолетовый) или
$10000 \sqrt л ⁄ г$ (синий).

Три двойных маятника с почти одинаковыми начальными условиями со временем расходятся, показывая хаотический характер системы.

Начальные условия, которые не приводят к перевороту в пределах $10000 \sqrt l ⁄ г,$ показаны белым цветом.

Граница центральной белой области частично определяется законом сохранения энергии следующей кривой:

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.

В пределах области, определяемой этой кривой, то есть, если

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,

тогда ни один из маятников энергетически невозможно перевернуть. За пределами этой области маятник может перевернуться, но определить, когда он перевернется, - сложный вопрос. Аналогичное поведение наблюдается для двойного маятника, состоящего из двух точечных масс, а не из двух стержней с распределенной массой. ^[2]

Отсутствие собственной частоты возбуждения привело к использованию систем двойного маятника в конструкциях сейсмостойкости в зданиях, где само здание является первичным перевернутым маятником, а вторичная масса соединена для завершения двойного маятника.

См. Также [ править ]

Двойной перевернутый маятник
Маятник (математика)
В учебниках физики середины 20-го века термин «двойной маятник» обозначает одиночный боб, подвешенный на веревке, которая, в свою очередь, подвешена на V-образной струне. Этот тип маятника , который создает кривые Лиссажу , теперь называется маятником Блэкберна .

Заметки [ править ]

^ Левиен, РБ; Тан, С.М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики . 61 (11): 1038. Bibcode : 1993AmJPh..61.1038L . DOI : 10.1119 / 1.17335 .
^ Алекс Смолл, Образец финального проекта: одна сигнатура хаоса в двойном маятнике , (2013). Отчет, созданный в качестве примера для студентов. Включает вывод уравнений движения и сравнение двойного маятника с двумя точечными массами и двойного маятника с двумя стержнями.

Ссылки [ править ]

Мейрович, Леонард (1986). Элементы вибрационного анализа (2-е изд.). McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 0-07-041342-8.
Эрик В. Вайсштейн, Двойной маятник (2005), ScienceWorld (содержит подробные сведения о сложных уравнениях) и « Двойной маятник » Роба Морриса, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (анимация этих уравнений).
Питер Линч , Двойной маятник , (2001). (Моделирование Java-апплета.)
Северо - западный университет, Двойная Pendulum , (Java апплет моделирования) .
Группа теоретической астрофизики высоких энергий в UBC, Двойной маятник , (2005).

Внешние ссылки [ править ]

Анимации и объяснения двойного маятника и физического двойного маятника (две квадратные пластины) Майка Уитленда (Сиднейский университет)

Интерактивное моделирование JavaScript физики с открытым исходным кодом с подробными уравнениями двойной маятник
Интерактивное моделирование двойного маятника в Javascript
Моделирование физики двойного маятника с сайта www.myphysicslab.com с использованием открытого кода JavaScript.
Моделирование, уравнения и объяснение маятника Ротта
Видео сравнения двойного маятника с одинаковыми начальными условиями запуска на YouTube
Симулятор двойного маятника - симулятор с открытым исходным кодом, написанный на C ++ с использованием набора инструментов Qt .
Интернет Java симулятор от мнимой выставки .

[1] Левиен, РБ; Тан, С.М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики . 61 (11): 1038. Bibcode : 1993AmJPh..61.1038L . DOI : 10.1119 / 1.17335 .

[2] Алекс Смолл, Образец финального проекта: одна сигнатура хаоса в двойном маятнике , (2013). Отчет, созданный в качестве примера для студентов. Включает вывод уравнений движения и сравнение двойного маятника с двумя точечными массами и двойного маятника с двумя стержнями.

[1]