Численное интегрирование

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Численное интегрирование используется для вычисления численного приближения для значения , площади под кривой, определяемой .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f (x)}$

В анализе , численное интегрирование включает в себя широкое семейство алгоритмов для расчета численного значения определенного интеграла , и расширением, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений . Эта статья посвящена вычислению определенных интегралов.

Термин « числовая квадратура» (часто сокращенно « квадратура» ) является более или менее синонимом численного интегрирования , особенно применительно к одномерным интегралам. Некоторые авторы называют численное интегрирование по более чем одному измерению кубатурой ; ^[1] другие используют квадратуру для включения многомерного интегрирования.

Основная проблема численного интегрирования - вычислить приближенное решение определенного интеграла

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

с заданной степенью точности. Если f (x) - гладкая функция, проинтегрированная по небольшому количеству измерений, а область интегрирования ограничена, существует множество методов приближения интеграла с желаемой точностью.

Причины численного интегрирования [ править ]

Существует несколько причин для проведения численного интегрирования в отличие от аналитического интегрирования путем нахождения первообразной :

История [ править ]

Термин «численное интегрирование» впервые появился в 1915 году в публикации Дэвида Гибба « Курс интерполяции и численного интегрирования для математической лаборатории » . ^[2]

Квадратура - это исторический математический термин, обозначающий расчет площади. Квадратурные задачи служили одним из основных источников математического анализа . Математики Древней Греции , согласно доктрине Пифагора , понимали вычисление площади как процесс геометрического построения квадрата той же площади ( возведения в квадрат ). Поэтому процесс получил название квадратуры . Например, квадратура круга , Луна Гиппократа , Квадратура Параболы . Это строительство должно выполняться только с помощьюкомпас и линейка .

Древние вавилоняне использовали правило трапеции, чтобы учесть движение Юпитера по эклиптике . ^[3]

Для квадратуры прямоугольника со сторонами через и б необходимо построить квадрат со стороной (The Геометрическое среднее из и б ). Для этой цели можно использовать следующий факт: если мы нарисуем круг с суммой a и b в качестве диаметра, то высота BH (от точки их соединения до пересечения с кругом) равна их среднему геометрическому. Подобная геометрическая конструкция решает задачу о квадратуре параллелограмма и треугольника.${\ Displaystyle х = {\ sqrt {ab}}}$

Задачи квадратуры для криволинейных фигур намного сложнее. Квадратура круга с циркулем и линейкой была доказана в 19 веке невозможно. Тем не менее, для некоторых фигур (например, Луны Гиппократа ) квадратура может быть выполнена. Квадратуры поверхности сферы и отрезка параболы, сделанные Архимедом, стали высшим достижением античного анализа.

• Площадь поверхности сферы равна четырехкратной площади большого круга этой сферы.
• Площадь отрезка параболы, отрезанного от него прямой, составляет 4/3 площади вписанного в этот отрезок треугольника.

Для доказательства результатов Архимед использовал метод исчерпывания из Евдокса .

В средневековой Европе квадратура означала расчет площади любым методом. Чаще использовался Метод неделимых ; он был менее строгим, но более простым и мощным. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли область циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал область под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), а Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сент-Винсента, отметил отношение этой области к логарифмам .

Джон Уоллис изучил этот метод: он написал в своей серии Arithmetica Infinitorum (1656), которую мы теперь называем определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру некоторых тел вращения .

Квадратура гиперболы Сен-Винсента и де Сарасы дала новую критически важную функцию - натуральный логарифм .

С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ термин квадратура стал традиционным, и вместо этого более распространена современная фраза « вычисление одномерного определенного интеграла ».

Методы одномерных интегралов [ править ]

Методы численного интегрирования обычно можно описать как объединение оценок подынтегрального выражения для получения приближения к интегралу. Подынтегральное выражение вычисляется в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования, и взвешенная сумма этих значений используется для аппроксимации интеграла. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и требуемой точности аппроксимации.

Важной частью анализа любого метода численного интегрирования является изучение поведения ошибки аппроксимации в зависимости от числа вычислений подынтегрального выражения. Метод, который дает небольшую ошибку при небольшом количестве оценок, обычно считается лучшим. Уменьшение количества вычислений подынтегрального выражения уменьшает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, уменьшает общую ошибку округления . Кроме того, каждая оценка требует времени, и подынтегральное выражение может быть произвольно сложным.

Численное интегрирование типа «грубой силы» может быть выполнено, если подынтегральное выражение имеет достаточно хорошее поведение (т. Е. Кусочно- непрерывное и ограниченное изменение ), путем вычисления подынтегрального выражения с очень маленькими приращениями.

Квадратурные правила, основанные на интерполяционных функциях [ править ]

Большой класс квадратурных правил можно получить, построив интерполирующие функции, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами . На практике, поскольку многочлены очень высокой степени имеют тенденцию сильно колебаться, используются только многочлены низкой степени, обычно линейные и квадратичные.

Самый простой способ этого типа - позволить интерполирующей функции быть постоянной функцией (полиномом нулевой степени), проходящей через точку . Это называется правилом средней точки или правилом прямоугольника.${\ textstyle \ left ({\ гидроразрыва {a + b} {2}}, f \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) \ right)}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ приблизительно (ba) f \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right).}$

Интерполирующая функция может быть прямой линией ( аффинной функцией , т. Е. Многочленом степени 1), проходящей через точки и . Это называется правилом трапеции.${\ Displaystyle \ влево (а, е (а) \ вправо)}$${\ Displaystyle \ влево (Ь, е (Ь) \ вправо)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, dx \ приблизительно (ба) \ влево ({\ гидроразрыва {е (а) + е (б)} {2}} \ справа) }$

Для любого из этих правил мы можем сделать более точное приближение, разбив интервал на некоторое количество подинтервалов, вычислив приближение для каждого подынтервала, а затем сложив все результаты. Это называется составным правилом , расширенным правилом или повторяющимся правилом . Например, составное правило трапеций можно сформулировать как${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$

где подынтервалы имеют вид с и Здесь мы использовали подынтервалы одинаковой длины, но можно было также использовать интервалы различной длины .${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$

Интерполяция с многочленами, вычисленными в точках, расположенных на одинаковом расстоянии, дает формулы Ньютона – Котеса , примерами которых являются правило прямоугольника и правило трапеций. Правило Симпсона , основанное на полиноме порядка 2, также является формулой Ньютона – Котеса.${\displaystyle [a,b]}$

Квадратурные правила с одинаково расположенными точками обладают очень удобным свойством вложенности . Соответствующее правило с каждым разделенным интервалом включает все текущие точки, поэтому эти значения подынтегральной функции можно использовать повторно.

Если мы позволим интервалу между точками интерполяции изменяться, мы обнаружим другую группу квадратурных формул, например квадратурные формулы Гаусса . Правило квадратуры Гаусса обычно более точное, чем правило Ньютона – Котеса, которое требует того же количества вычислений функции, если подынтегральное выражение является гладким (т. Е. Если оно достаточно дифференцируемое). Другие квадратурные методы с переменными интервалами включают квадратурные методы Кленшоу – Кертиса (также называемые квадратурными методами Фейера), которые имеют гнездо.

Квадратурные правила Гаусса не вложены, в отличие от соответствующих квадратурных формул Гаусса – Кронрода .

Формула обобщенного правила средней точки [ править ]

Формула обобщенного правила средней точки дается формулой

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {{{\left({-1}\right)}^{n}}+1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{\left(n\right)}}\left(x\right)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}}$

или же

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=\lim _{M\to \infty }\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{N}{{\frac {{{\left({-1}\right)}^{n}}+1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{\left(n\right)}}\left(x\right)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}},}$

где обозначает -ю производную. Например, подставив и${\displaystyle f^{(n)}(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\theta }{1+\theta ^{2}x^{2}}}}$

в формуле обобщенного правила средней точки мы получаем уравнение обратной касательной

${\displaystyle \tan ^{-1}(\theta )=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{\left(1+2i/\theta \right)^{2n-1}}}-{\frac {1}{\left(1-2i/\theta \right)^{2n-1}}}\right)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(\theta \right)}{a_{n}^{2}\left(\theta \right)+b_{n}^{2}\left(\theta \right)}}},}$

где находится мнимая единица и${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(\theta )&={\frac {2}{\theta }},\\b_{1}(\theta )&=1,\\a_{n}(\theta )&=\left(1-{\frac {4}{\theta ^{2}}}\right)\,a_{n-1}(\theta )+{\frac {4}{\theta }}\,b_{n-1}(\theta ),\\b_{n}(\theta )&=\left(1-{\frac {4}{\theta ^{2}}}\right)\,b_{n-1}(\theta )-{\frac {4}{\theta }}\,a_{n-1}(\theta ).\end{aligned}}}$

Поскольку при каждом нечетном числителе подынтегрального выражения становится , формула обобщенного правила средней точки может быть преобразована как${\displaystyle n}$${\displaystyle (-1)^{n}+1=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{{\left({2M}\right)}^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{(2n)}}(x)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,.}$

В следующем примере кода Mathematica создается график, показывающий разницу между арктангенсом и его аппроксимацией, усеченными до и :${\displaystyle M=5}$${\displaystyle N=10}$

f [ theta_ , x_ ] : = theta / ( 1 + theta ^ 2 * x ^ 2 );     ATAN [ theta_ , М_ , nMax_ ] : = 2 * Сумма [( Функция [ х , Оценка [ D [ ф [ тета , х ], { х , 2 * п }]]] [( т - 1 / 2 ) /            M ]) / (( 2 * n + 1 ) ! * ( 2 * M ) ^ ( 2 * n + 1 )), { m , 1 , M }, { n , 0 , nMax }];          График [{ ArcTan [ theta ] - aTan [ theta , 5 , 10 ]}, { theta , - Pi , Pi }, PlotRange -> All ]           

Для функции, определенной на интервале , ее интеграл равен${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{g(t)dt}=\int _{0}^{b-a}{g(\tau +a)d\tau }=(b-a)\int _{0}^{1}{g((b-a)x+a)dx}.}$

Следовательно, мы можем применить приведенную выше обобщенную формулу интегрирования средней точки, предполагая это .${\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)}$

Адаптивные алгоритмы [ править ]

Если f ( x ) не имеет многих производных во всех точках или если производные становятся большими, то квадратур Гаусса часто бывает недостаточно. В этом случае алгоритм, подобный следующему, будет работать лучше:

def  calculate_definite_integral_of_f ( f ,  initial_step_size ):  "" "  Этот алгоритм вычисляет определенный интеграл функции  от 0 до 1 адаптивно, выбирая меньшие шаги около  проблемных точек.  " ""  x  =  0.0  h  =  initial_step_size  аккумулятор  =  0.0, в  то время как  x  <  1.0 :  если  x  +  h  >  1.0 :  h  =  1.0  -  x  # В конце единичного интервала скорректируйте последний шаг так, чтобы он закончился на 1.  if error_too_big_in_quadrature_of_f_over_range ( е ,  [ х ,  х  +  ч ]):  ч  =  make_h_smaller ( ч )  еще :  аккумулятор  + =  quadrature_of_f_over_range ( е ,  [ х ,  х  +  ч ])  х  + =  ч ,  если  error_too_small_in_quadrature_of_over_range ( е ,  [ х ,  х  +  h ]):  h  =  make_h_larger( h )  # Не тратьте время на крошечные шаги.  возвратный  аккумулятор

Некоторые детали алгоритма требуют тщательного обдумывания. Во многих случаях оценка ошибки по квадратуре на интервале для функции f ( x ) неочевидна. Одним из популярных решений является использование двух разных квадратурных правил и их разность в качестве оценки ошибки по квадратурности. Другая проблема - решить, что означает «слишком большой» или «очень маленький». Локальный критерий «слишком большой» является то , что ошибка квадратурной не должна быть больше , чем т  ·  ч , где т , действительное число, это терпимость мы хотим установить для глобальной ошибки. Опять же, если hуже крошечный, возможно, не стоит делать его еще меньше, даже если квадратурная ошибка очевидно велика. Глобальный критерий является то , что сумма ошибок на всех интервалах должна быть меньше , чем  т . Этот тип анализа ошибок обычно называется «апостериорным», поскольку мы вычисляем ошибку после вычисления приближения.

Эвристика адаптивной квадратурности обсуждается Forsythe et al. (Раздел 5.4).

Методы экстраполяции [ править ]

Точность квадратурного правила типа Ньютона-Котеса обычно зависит от количества точек оценки. Результат обычно бывает более точным по мере увеличения количества точек оценки или, что то же самое, по мере уменьшения ширины шага между точками. Естественно спросить, каков был бы результат, если бы размер шага приблизился к нулю. На это можно ответить, экстраполировав результат из двух или более ненулевых размеров шага, используя методы последовательного ускорения, такие как экстраполяция Ричардсона . Функция экстраполяции может быть полиномиальной или рациональной функцией.. Методы экстраполяции более подробно описаны Stoer и Bulirsch (раздел 3.4) и реализованы во многих подпрограммах библиотеки QUADPACK .

Консервативная (априорная) оценка погрешности [ править ]

Пусть имеет ограниченную первую производную по т . Е. Теорема о среднем значении для где дает${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle x\in [a,b),}$

${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$

для некоторых в зависимости от .${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$${\displaystyle x}$

Если мы проинтегрируем от до с обеих сторон и возьмем абсолютные значения, мы получим${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$

Мы можем дополнительно аппроксимировать интеграл в правой части, добавив абсолютное значение к подынтегральному выражению и заменив член в верхней границе${\displaystyle f'}$

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|\leq {(b-a)^{2} \over 2}\sup _{a\leq x\leq b}\left|f'(x)\right|,}$

( 1 )

где супремум использовался для аппроксимации.

Следовательно, если аппроксимировать интеграл по правилу квадратурной наша ошибка не больше , чем с правой стороны 1 . Мы можем преобразовать это в анализ ошибок для суммы Римана (*), давая верхнюю границу${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle (b-a)f(a)}$

${\displaystyle {n^{-1} \over 2}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$

для погрешности этого конкретного приближения. (Обратите внимание, что это именно та ошибка, которую мы вычислили для примера .) Используя большее количество производных и настраивая квадратурную зависимость, мы можем провести аналогичный анализ ошибок, используя ряд Тейлора (используя частичную сумму с остаточным членом) для f . Этот анализ ошибок дает строгую верхнюю границу ошибки, если доступны производные f .${\displaystyle f(x)=x}$

Этот метод интегрирования можно комбинировать с интервальной арифметикой для получения компьютерных доказательств и проверенных вычислений.

Интегралы по бесконечным интервалам [ править ]

Существует несколько методов приближенного интегрирования по неограниченным интервалам. Стандартный метод включает специально выведенные квадратурные правила, такие как квадратура Гаусса-Эрмита для интегралов по всей действительной прямой и квадратура Гаусса-Лагерра для интегралов от положительных действительных чисел. ^[4] Также могут быть использованы методы Монте-Карло или замена переменных на конечный интервал; например, для всей строки можно использовать

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt,}$

а для полубесконечных интервалов можно использовать

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$

как возможные трансформации.

Многомерные интегралы [ править ]

Все рассмотренные квадратурные правила предназначены для вычисления одномерных интегралов. Чтобы вычислить интегралы в нескольких измерениях, один из подходов состоит в том, чтобы сформулировать кратный интеграл как повторяющиеся одномерные интегралы, применив теорему Фубини (правило тензорного произведения). Этот подход требует, чтобы оценки функций экспоненциально росли по мере увеличения числа измерений. Известно три метода преодоления этого так называемого проклятия размерности .

Множество дополнительных приемов формирования правил многомерного кубатурного интегрирования для различных весовых функций дано в монографии Страуда. ^[5] Интеграция в сфере была рассмотрена Hesse et al (2015). ^[6]

Монте-Карло [ править ]

Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло легко применить к многомерным интегралам. Они могут дать большую точность для того же количества вычислений функций, чем повторные интеграции с использованием одномерных методов. ^{[ необходима цитата ]}

Большой класс полезных методов Монте-Карло - это так называемые алгоритмы Монте-Карло с цепью Маркова , которые включают алгоритм Метрополиса-Гастингса и выборку Гиббса .

Редкие сетки [ править ]

Первоначально разреженные сетки были разработаны Смоляком для квадратур многомерных функций. Метод всегда основан на одномерном квадратурном правиле, но выполняет более сложную комбинацию одномерных результатов. Однако, в то время как правило тензорного произведения гарантирует, что веса всех кубатурных точек будут положительными, если веса квадратурных точек будут положительными, правило Смоляка не гарантирует, что все веса будут положительными.

Байесовская квадратура [ править ]

Байесовская квадратура представляет собой статистический подход к численной проблеме вычисления интегралов и относится к области вероятностных чисел. Он может обеспечить полную обработку неопределенности решения интеграла, выраженного как апостериорная дисперсия Гауссова процесса . Также известно, что он обеспечивает очень высокую скорость сходимости, которая может быть экспоненциальной по количеству квадратных точек n. ^[7]

Связь с дифференциальными уравнениями [ править ]

Проблема вычисления интеграла

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}$

может быть сведена к задаче начального значения для обыкновенного дифференциального уравнения , применяя первую часть основной теоремы исчисления . Продифференцируя обе части вышеупомянутого по аргументу x , видно, что функция F удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}$

Методы, разработанные для обыкновенных дифференциальных уравнений, такие как методы Рунге – Кутта , могут быть применены к переформулированной задаче и, таким образом, могут использоваться для вычисления интеграла. Например, стандартный метод Рунге – Кутты четвертого порядка, примененный к дифференциальному уравнению, дает правило Симпсона сверху.

Дифференциальное уравнение имеет особый вид: правая часть содержит только независимую переменную (здесь ), а не зависимую переменную (здесь ). Это значительно упрощает теорию и алгоритмы. Таким образом, проблема вычисления интегралов лучше всего изучена сама по себе.${\displaystyle F'(x)=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$

См. Также [ править ]

• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Ошибка усечения (численное интегрирование)
• Квадратура Кленшоу – Кертиса
• Квадратура Гаусса-Кронрода
• Сумма Римана или интеграл Римана
• Трапецеидальная линейка
• Метод Ромберга
• Квадратура Таншина

Ссылки [ править ]

• Филип Дж. Дэвис и Филип Рабинович , Методы численного интегрирования .
• Джордж Э. Форсайт , Майкл А. Малкольм, Клив Б. Молер , Компьютерные методы математических вычислений . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1977 г. (см. Главу 5.)
• Нажмите, WH ; Теукольский С.А .; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Глава 4. Интеграция функций» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Йозеф Стоер и Роланд Булирш , Введение в численный анализ . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980. (см. Главу 3.)
• Бойер, CB , История математики , 2-е изд. rev. по Ута С. Мерцбах , Нью - Йорк: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 ПБК ред. ISBN 0-471-54397-7 ).  
• Ивс, Ховард , Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN 0-03-029558-0 , 

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с численной интеграцией .

• Интеграция: фон, моделирование и т. Д. В Институте целостных численных методов
• Квадратура Лобатто из Wolfram Mathworld
• Квадратурная формула Лобатто из энциклопедии математики
• Реализации многих квадратурных и кубатурных формул в бесплатной библиотеке компонентов Tracker .