| Дифференциальные уравнения |
|---|
 |
| Классификация |
| Решение |
Фазовый портрет представляет собой геометрическое представление траекторий динамической системы в фазовой плоскости . Каждый набор начальных условий представлен отдельной кривой или точкой.
Фазовые портреты - бесценный инструмент в изучении динамических систем. Они состоят из графика типичных траекторий в пространстве состояний . Это показывает такую информацию, как наличие аттрактора , репеллера или предельного цикла для выбранного значения параметра. Концепция топологической эквивалентности важна для классификации поведения систем, определяя, когда два разных фазовых портрета представляют одно и то же качественное динамическое поведение. Аттрактор - это устойчивая точка, которую еще называют «стоком». Отпугиватель считается неустойчивой точкой, также известной как «источник».
График фазового портрета динамической системы отображает траектории системы (со стрелками) и устойчивые установившиеся состояния (с точками) и нестабильные установившиеся состояния (с кружками) в пространстве состояний. Оси представляют собой переменные состояния.
Примеры [ править ]
- Простой маятник , см. Рисунок (справа).
- Простой гармонический осциллятор, в котором фазовый портрет состоит из эллипсов с центром в начале координат, которое является фиксированной точкой.
- Осциллятор Ван дер Поля см. Рисунок (справа внизу).
- Плоскость параметров (c-плоскость) и множество Мандельброта
Фазовые портреты для визуализации поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]
Фазовый портрет представляет собой направленное поведение системы ODE. Фазовый портрет может свидетельствовать об устойчивости системы. [1]
| Нестабильный | Большинство решений системы со временем стремятся к ∞ |
| Асимптотически устойчивый | Все решения системы со временем стремятся к нулю. |
| Нейтрально стабильный | Ни одно из решений системы не стремится к ∞ с течением времени, но большинство решений также не стремится к 0. |
Поведение фазового портрета системы ОДУ может быть определено собственными значениями или следом и определителем (след = λ 1 + λ 2 , определитель = λ 1 x λ 2 ) системы. [1]
| Собственное значение, след, детерминант | Форма фазового портрета |
|---|---|
| λ 1 и λ 2 действительны и имеют противоположный знак; Определитель <0 | Седло (нестабильное) |
| λ 1 и λ 2 действительны и одного знака, причем λ 1 ≠ λ 2 ; 0 <определитель <(след 2 /4) | Узел (стабильный, если трассировка <0, нестабильная, если трассировка> 0) |
| λ 1 и λ 2 имеют как действительную, так и мнимую составляющие; 0 <(след 2 /4) <определитель | Спираль (стабильно, если след <0, нестабильно, если след> 0) |
См. Также [ править ]
- Фазовое пространство
- Фазовая плоскость
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d Хейнс Миллер и Артур Мэттак. 18.03 Дифференциальные уравнения. Весна 2010 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Лицензия: Creative Commons BY-NC-SA. (Дополнительные примечания 26 Хейнса Миллера: https://ocw.mit.edu/courses/mat Mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf)
- Jordan, DW; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920824-1. Глава 1.
- Стивен Строгац (2001). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . ISBN 9780738204536.
Внешние ссылки [ править ]
- Линейные фазовые портреты , математика Массачусетского технологического института.
