В математике - в частности, в дифференциальных уравнениях - теорема Пикара-Линделёфа , теорема Пикара существования , теорема Коши-Липшица , или существование и единственность теорема дает ряд условий , при которых начальная задача имеет единственное решение.
Теорема названа в честь Эмиля Пикара , Эрнста Линделёфа , Рудольфа Липшица и Огюстена-Луи Коши .
Рассмотрим задачу начального значения
Предположим, что f равномерно липшицево непрерывно по y (что означает, что константа Липшица может быть выбрана независимо от t ) и непрерывна по t , тогда для некоторого значения ε > 0 существует единственное решение y ( t ) начальной задачи на интервале . [1]
Доказательство эскиза
Доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении теории неподвижной точки. Интегрируя обе части, любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять интегральному уравнению
Простое доказательство существования решения получается последовательными приближениями. В этом контексте метод известен как итерация Пикара .
Набор
а также
Это может быть показано, с помощью теоремы Банаха о неподвижной точке , что последовательность «Picard итерации» φ к вне сходится , и что предел является решением проблемы. Применение леммы Гренвалла к | φ ( t ) - ψ ( t ) | , где φ и ψ - два решения, показывает, что φ ( t ) = ψ ( t ) , тем самым доказывая глобальную единственность (локальная единственность является следствием единственности банаховой неподвижной точки).
Метод Пикарда чаще всего формулируется без доказательств и графиков. См. Инструкции в методе последовательного приближения Ньютона .
Пример итерации Пикара
Позволять решение уравнения с начальным условием Начиная с мы повторяем
чтобы :
и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения С имеет полюса на это сходится к локальному решению только при не на всех R .
Пример неединственности
Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. [2] Дифференциальное уравнение может иметь стационарную точку. Например, для уравненияdy/dt= ау () стационарным решением будет y ( t ) = 0 , которое получается при начальном условии y (0) = 0 . Начиная с другого начального условия y (0) = y 0 ≠ 0 , решение y ( t ) стремится к стационарной точке, но достигает ее только в пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (за все конечные времена) равна гарантировано.
Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, единственность не выполняется. Это происходит, например, для уравненияdy/dt= ау 2/3, которая имеет не менее двух решений, соответствующих начальному условию y (0) = 0, например: y ( t ) = 0 или
поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после t = 0. Теорема единственности неприменима, потому что функция f ( y ) = y 2/3имеет бесконечный наклон при y = 0 и, следовательно, не является липшицевым, что нарушает условие теоремы.
Подробное доказательство
Позволять
где:
Это компактный цилиндр, в котором определено f . Позволять
это максимальный наклон функции по модулю. Наконец, пусть L - константа Липшица функции f относительно второй переменной.
Мы продолжим применять теорему Банаха о неподвижной точке, используя метрику на индуцированная равномерной нормой
Мы определяем оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, оператор Пикара, следующим образом:
определяется:
Мы должны показать, что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя, а также является сжимающим отображением .
Сначала покажем, что при определенных ограничениях на берет в себя в пространстве непрерывных функций с равномерной нормой. Здесь, - замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных) функций, «центрированный» на постоянной функции . Следовательно, нам нужно показать, что
подразумевает
где какое-то число в где достигается максимум. Последний шаг верен, если мы наложим требование a < б/M.
Теперь попробуем доказать, что этот оператор является сжатием.
Учитывая две функции , чтобы применить теорему Банаха о неподвижной точке, мы хотим
для некоторого q <1. Итак, пусть t таково, что
то, используя определение Γ
Это сокращение, если
Мы установили, что оператор Пикара является сжатием на банаховых пространствах с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке, чтобы сделать вывод о том, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, есть уникальная функция
такое, что Γ φ = φ . Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I a, где a удовлетворяет условию
Оптимизация интервала решения
Тем не менее, есть следствие теоремы Банаха о неподвижной точке: если оператор T n является сжатием для некоторого n в N , то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:
Лемма: для всех
Доказательство. Индукция по м . Для базы индукции ( m = 1) мы уже видели это, поэтому предположим, что неравенство выполняется для m - 1 , тогда мы имеем:
Принимая ужин Мы видим, что .
Это неравенство гарантирует , что для некоторых больших м ,
а значит, Γ m будет сжатием. Таким образом, согласно предыдущему следствию Γ будет иметь единственную неподвижную точку. Наконец, мы смогли оптимизировать интервал решения, взяв α = min { a , б/M}.
В конце концов, этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.
Другие теоремы существования
Теорема Пикара – Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. Теорема существования Пеано показывает только существование, а не единственность, но предполагает только, что f непрерывна по y , а не липшицево . Например, правая часть уравнения dy/dt= y 1/3с начальным условием y (0) = 0 непрерывно, но не липшицево. В самом деле, это уравнение не является уникальным, а имеет три решения: [3]
- .
Еще более общей является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на f . Хотя этих условий достаточно, существуют также необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение задачи начального значения было единственным, например теорема Окамуры . [4]
Смотрите также
Заметки
- ^ Коддингтон и Левинсон (1955) , теорема I.3.1
- ^ Арнольд, VI (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . MIT Press. ISBN 0-262-51018-9.
- ^ Коддингтон и Левинсон (1955) , стр. 7
- ^ Agarwal, Ravi P .; Лакшмикантам В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений . World Scientific. п. 159. ISBN. 981-02-1357-3.
Рекомендации
- Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл ..
- Линделёф, Э. (1894). "Sur l'application de la méthode des приближений последовательных aux équations différentielles ordinaires du premier ordre" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 116 : 454–457. (В этой статье Линделёф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикарда.)
- Тешл, Джеральд (2012). «2.2. Основной результат существования и единственности» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 38. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .
Внешние ссылки
- Теорема Коши-Липшица в энциклопедии математики .
- Фиксированные точки и алгоритм Пикара , восстановленные с http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html .
- Доказательство теоремы Пикара – Линделёфа.