Проблема начального значения

В многофакторном исчислении , начальная задача ^[а] ( ИВП ) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальным условием , которое определяет значение неизвестной функции в заданной точке в домене . Моделирование системы в физике или других науках часто сводится к решению проблемы начального значения. В этом контексте дифференциальное начальное значение - это уравнение, которое определяет, как система развивается с течением времени с учетом начальных условий проблемы.

Определение [ править ]

Начальная задача является дифференциальным уравнением

${\ Displaystyle у '(т) = е (т, у (т))}$ с , где есть открытое множество ,${\ displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ subset \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {п}}$

вместе с точкой в ​​области ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) \ in \ Omega,}$

называется начальным условием .

Решением для начальной задачи является функцией , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

В более высоких измерениях дифференциальное уравнение заменяется семейством уравнений и рассматривается как вектор , чаще всего связанный с положением в пространстве. В более общем смысле, неизвестная функция может принимать значения в бесконечномерных пространствах, таких как банаховы пространства или пространства распределений .${\ displaystyle y_ {i} '(t) = f_ {i} (t, y_ {1} (t), y_ {2} (t), \ dotsc)}$${\ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle (y_ {1} (t), \ dotsc, y_ {n} (t))}$${\ displaystyle y}$

Задачи начального значения расширяются до более высоких порядков, обрабатывая производные таким же образом как независимую функцию, например .${\ Displaystyle у '' (т) = е (т, у (т), у '(т))}$

Существование и уникальность решений [ править ]

Для большого класса задач с начальным значением существование и единственность решения можно проиллюстрировать с помощью калькулятора.

Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем t _0, если ƒ непрерывно на области, содержащей t ₀ и y _0, и удовлетворяет условию Липшица для переменной y . Доказательство этой теоремы проводится путем переформулирования задачи в виде эквивалентного интегрального уравнения . Интеграл можно рассматривать как оператор, который отображает одну функцию в другую, так что решение является фиксированной точкой оператора. Теорема Банаха о неподвижной точке затем вызывается, чтобы показать, что существует единственная фиксированная точка, которая является решением проблемы начального значения.

Более старое доказательство теоремы Пикара – Линделёфа строит последовательность функций, которые сходятся к решению интегрального уравнения и, таким образом, к решению задачи начального значения. Такую конструкцию иногда называют «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы Банаха о неподвижной точке.

Хироши Окамура получил необходимое и достаточное условие единственности решения начальной задачи. Это условие связано с существованием у системы функции Ляпунова .

В некоторых ситуациях функция ƒ не принадлежит классу C ¹ или даже не липшицевому , поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. Теорема существования Пеано, однако, доказывает, что даже для простого непрерывного решения гарантированно существуют локально во времени; проблема в том, что нет гарантии уникальности. Результат можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955, теорема 1.3) или Робинсона (2001, теорема 2.6). Еще более общий результат - теорема существования Каратеодори , доказывающая существование некоторых разрывных функций.

Примеры [ править ]

Простой пример - решить и . Мы пытаемся найти формулу, которая удовлетворяет этим двум уравнениям.${\ Displaystyle у '(т) = 0,85у (т)}$${\ Displaystyle у (0) = 19}$${\ Displaystyle у (т)}$

Переставьте уравнение так, чтобы оно было слева.${\ displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

Теперь проинтегрируем обе части по (это вводит неизвестную константу ).${\displaystyle t}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

Устранить логарифм с возведением в степень с обеих сторон

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

Позвольте быть новой неизвестной постоянной , так что${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

Теперь нам нужно найти значение . Используйте, как указано в начале, и замените 0 и 19 вместо${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

это дает окончательное решение .${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

Второй пример

Решение

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

можно найти

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

В самом деле,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

Примечания [ править ]

См. Также [ править ]

• Краевая задача
• Константа интеграции
• Интегральная кривая

Ссылки [ править ]